TOÁN 10 · HÀM SỐ BẬC HAI, DẤU TAM THỨC VÀ VIÈTE — Parabol nói gì về nghiệm và dấu: chỉ cần a, Δ và đỉnh
Bài khái niệm Toán 10 dựng quanh một hình ảnh: đồ thị y = ax² + bx + c là cánh cung đặt trên mặt đất Ox. Dấu của a cho chiều cánh cung, Δ cho biết đỉnh ở…
TOÁN 10 · HÀM SỐ BẬC HAI · LUKATO AI · BÀI KHÁI NIỆM
Parabol nói gì về nghiệm và dấu?
Chỉ cần a, Δ và đỉnh: hàm số bậc hai, dấu của tam thức bậc hai, định lí Viète và mặt phẳng (S, P)
Hãy nhìn đồ thị y = ax 2 + bx + c như một cánh cung đặt trên mặt đất là trục hoành Ox. Cánh cung ngửa hay úp do dấu của a quyết định. Đỉnh của nó nằm trên hay dưới mặt đất do Δ (cùng với a) quyết định. Chỉ ba thông tin ấy là đủ để trả lời gần như mọi câu hỏi của chương: phương trình có mấy nghiệm, tam thức dương ở đâu, âm ở đâu, bất phương trình lấy khoảng nào, hai nghiệm cùng dấu hay trái dấu, tham số m làm cánh cung dịch chuyển ra sao. Bài này dạy em vẽ bức tranh trong đầu trước, rồi mới viết công thức . Mọi hàm số ví dụ và tình huống tự đặt trong bài là hư cấu.
12 SƠ ĐỒ TỰ DỰNG 3 PHÒNG THÍ NGHIỆM THUẦN KHÁI NIỆM 8 CÂU TRẮC NGHIỆM TỰ SOẠN
BẢN ĐỒ BÀI
Cánh cung và mặt đất: ba dữ kiện, sáu cách đọc
Mọi tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) đều vẽ ra cùng một loại hình: một cánh cung đối xứng. Phần cánh cung nằm trên mặt đất Ox là nơi f(x) dương, phần nằm dưới là nơi f(x) âm, chỗ cánh cung chạm mặt đất là nghiệm. Gọi đó là bản đồ vùng dương – âm . Cả bài chỉ dạy em đọc tấm bản đồ ấy cho đúng.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 1. Bản đồ bài: ba dữ kiện (dấu của a, Δ, đỉnh I) dựng nên bức tranh cánh cung trên mặt đất Ox; từ bức tranh, đọc ra nội dung của sáu mục.
Câu hỏi · Nhìn vào đâu trên bức tranh? · Ở mục
Đỉnh ở đâu, trục đối xứng ở đâu, a, b, c ảnh hưởng thế nào đến hình dạng? · Chiều cánh cung (a), vị trí trục x = − b 2a , giao Oy tại (0; c) · 1
Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có mấy nghiệm? "Vô nghiệm" nghĩa là gì? · Đỉnh nằm trên hay dưới mặt đất, so với chiều cánh cung · 2
f(x) dương ở đâu, âm ở đâu? Bất phương trình bậc hai lấy khoảng nào? · Dải dương – âm dọc trục x · 3
Không tính nghiệm, biết được tổng, tích và dấu của hai nghiệm không? · Định lí Viète: S = x 1 + x 2 , P = x 1 x 2 ; nhưng phải có nghiệm thực trước · 4
Khi hệ số chứa tham số m, điều kiện nghiệm, dấu, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất thay đổi thế nào? · m kéo cánh cung lên xuống hoặc kéo đỉnh đi · 5
Làm sao nhìn mọi cặp hai nghiệm cùng một lúc? · Mặt phẳng (S, P) và parabol biên P = S 2 4 · 6
Vuốt ngang để xem hết bảng
Công cụ A · Đỉnh và Δ
Đỉnh I( − b 2a ; − Δ 4a ) với Δ = b 2 − 4ac. Tung độ đỉnh và dấu của a cho biết cánh cung có chạm mặt đất hay không.
Công cụ B · Định lí về dấu
Ngoài hai nghiệm: f(x) cùng dấu a. Giữa hai nghiệm: f(x) trái dấu a. Không có nghiệm thực: f(x) luôn cùng dấu a.
Công cụ C · Viète
Nếu Δ ≥ 0 thì x 1 + x 2 = − b a và x 1 x 2 = c a . Dấu của P, S (cùng với Δ) cho dấu của hai nghiệm.
Cả bài chỉ có một đối tượng, tam thức bậc hai một ẩn, được nhìn từ sáu phía.
Quy ước của bài. (a) Tam thức bậc hai luôn có a ≠ 0; nếu hệ số của x 2 chứa tham số thì phải xét riêng trường hợp nó bằng 0. (b) "Nghiệm" mặc định là nghiệm thực; khi nói về số phức, bài ghi rõ và gắn nhãn MỞ RỘNG . (c) Kí hiệu khoảng theo sách giáo khoa: (p; q), [p; q], (−∞; p), ℝ, ∅ (dùng chữ p, q để khỏi lẫn với hệ số a, b); tọa độ điểm viết (x; y). (d) Số thập phân dùng dấu phẩy; số nào làm tròn thì bài ghi "≈" hoặc "làm tròn".
Về chữ "hư cấu". Mọi hàm số ví dụ, hệ số, tham số và tình huống mẫu trong bài đều do bài tự đặt, được kiểm bằng máy tính, và mang nhãn hư cấu . Chúng chỉ dùng để thấy cơ chế, không phải trích từ đâu. Các công thức, định lí là kiến thức chuẩn của chương trình phổ thông: công thức nghiệm và định lí Viète học ở lớp 9 (bài này nhắc lại để nối với đồ thị); hàm số bậc hai, dấu của tam thức bậc hai và bất phương trình bậc hai học ở lớp 10. Phần ngoài chương trình bắt buộc mang nhãn MỞ RỘNG .
MỤC 1 · PARABOL VÀ VAI TRÒ CỦA a, b, c
Một cánh cung, ba nút điều chỉnh
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức y = ax 2 + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0. Tập xác định là ℝ. Đồ thị của nó là một parabol . Ba hệ số không làm việc giống nhau: a quyết định hình dạng (chiều và độ mở), còn b và c cùng với a quyết định vị trí của cánh cung trên mặt phẳng tọa độ.
1.1 Hệ số a: cánh cung ngửa hay úp, hẹp hay rộng
Bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất, y = ax 2 . Vì x 2 ≥ 0 với mọi x, nên khi a > 0 thì y ≥ 0: đồ thị nằm phía trên Ox, chỉ chạm Ox tại gốc O, và O là điểm thấp nhất . Khi a < 0 thì y ≤ 0: đồ thị nằm phía dưới Ox và O là điểm cao nhất . Đó là lí do dấu của a quyết định chiều của cánh cung.
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 2. Họ parabol y = ax 2 với a = 2; 1; 0,5; −0,5; −1 (hư cấu). Dấu của a quyết định bề lõm quay lên hay xuống; |a| càng lớn, cánh cung càng hẹp.
Vì sao |a| lớn thì cánh cung hẹp? Rời đỉnh một đoạn bằng 1 theo phương ngang, y = ax 2 thay đổi đúng |a| đơn vị theo phương dọc; rời đỉnh một đoạn bằng 2 thì thay đổi 4|a|. Với a = 2 cánh cung lên rất nhanh nên trông hẹp; với a = 0,5 nó lên chậm nên trông rộng. Hai parabol y = ax 2 và y = −ax 2 đối xứng với nhau qua Ox.
a > 0: bề lõm quay lên
Cánh cung "ngửa". Đỉnh là điểm thấp nhất của đồ thị. Hàm số nghịch biến rồi đồng biến.
a < 0: bề lõm quay xuống
Cánh cung "úp", như một cầu vồng. Đỉnh là điểm cao nhất. Hàm số đồng biến rồi nghịch biến.
1.2 Đỉnh và trục đối xứng: vì sao lại là − b 2a ?
Thêm b và c vào, hình dạng không đổi, chỉ vị trí thay đổi. Để thấy điều đó, ta tách bình phương:
ax 2 + bx + c = a(x + b 2a ) 2 − Δ 4a với Δ = b 2 − 4ac Nhân khai triển vế phải sẽ thấy lại vế trái. Đẳng thức này đúng với mọi x, mọi a ≠ 0.
Số hạng a(x + b 2a ) 2 bằng 0 đúng khi x = − b 2a , ở mọi chỗ khác nó cùng dấu a, và (x + b 2a ) 2 chỉ phụ thuộc khoảng cách từ x tới − b 2a . Vì vậy:
- Đồ thị đối xứng qua đường thẳng x = − b 2a (trục đối xứng): hai điểm cách đều trục có cùng tung độ.
- Đỉnh I( − b 2a ; − Δ 4a ). Tung độ đỉnh cũng tính được bằng cách thay hoành độ đỉnh vào hàm số.
- Với a > 0, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ℝ là − Δ 4a , đạt tại x = − b 2a . Với a < 0, đó là giá trị lớn nhất.
- Giao với Oy tại (0; c) . Điểm đối xứng với nó qua trục là ( − b a ; c) , vì hai hoành độ 0 và − b a cách đều − b 2a .
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 3. Giải phẫu parabol y = x 2 − 4x + 3 (hư cấu): trục đối xứng x = 2, đỉnh I(2; −1), giao Oy tại (0; 3) và điểm đối xứng (4; 3), giao Ox tại 1 và 3.
x · x từ −∞ đến − b 2a · tại x = − b 2a · x từ − b 2a đến +∞
y (a > 0) · giảm (nghịch biến) · nhỏ nhất: − Δ 4a · tăng (đồng biến)
y (a < 0) · tăng (đồng biến) · lớn nhất: − Δ 4a · giảm (nghịch biến)
Vuốt ngang để xem hết bảng
MỞ RỘNG Dạng đỉnh và phép tịnh tiến. Đặt h = − b 2a , k = − Δ 4a , ta có y = a(x − h) 2 + k. Như vậy parabol y = ax 2 + bx + c chính là parabol y = ax 2 được tịnh tiến sang phải h đơn vị nếu h > 0 (sang trái |h| đơn vị nếu h < 0) và lên trên k đơn vị nếu k > 0 (xuống dưới |k| đơn vị nếu k < 0). Hệ quả đẹp: mọi parabol có cùng hệ số a là cùng một hình dạng , chỉ khác chỗ đặt. Muốn biết có thể tịnh tiến parabol này để chồng khít lên parabol kia không, chỉ cần so a: cùng a thì tịnh tiến được; nếu một parabol có hệ số a, parabol kia có −a thì phải lật thêm qua một đường thẳng nằm ngang (hai parabol có cùng |a| là bằng nhau). Kĩ thuật tách bình phương này cũng là cách chứng minh công thức nghiệm và định lí về dấu ở các mục sau.
1.3 Đọc dấu của a, b, c từ hình vẽ
Ba câu hỏi, ba chỗ nhìn. Riêng b phải đọc gián tiếp qua trục đối xứng, vì b không có một "chỗ" riêng trên hình.
Hệ số · Nhìn vào · Quy tắc
a · Chiều bề lõm · Quay lên: a > 0. Quay xuống: a < 0.
c · Giao điểm với Oy, (0; c) · Trên gốc O: c > 0. Dưới gốc: c < 0. Đi qua O: c = 0.
b · Trục đối xứng x = − b 2a · Trục bên phải Oy ⇔ − b 2a > 0 ⇔ a và b trái dấu . Trục bên trái Oy ⇔ a, b cùng dấu . Trục trùng Oy ⇔ b = 0.
Vuốt ngang để xem hết bảng
Cái bẫy nằm ở dòng b: "trục bên phải thì b âm" chỉ đúng khi a > 0. Với cánh cung úp (a < 0) mà trục bên phải thì b > 0. Luôn đọc a trước, rồi mới suy ra b.
Chốt ý mục 1: a quyết định hình dạng; đỉnh I( − b 2a ; − Δ 4a ); trục x = − b 2a ; giao Oy tại (0; c) a > 0: ngửa, đỉnh thấp nhất; a < 0: úp, đỉnh cao nhất; |a| lớn thì hẹp. Mọi parabol cùng a là cùng một hình dạng, chỉ khác chỗ đặt. Dấu của b đọc qua vị trí trục, sau khi đã biết dấu của a.
hai parabol y = 3x 2 − 6x + 1 và y = 3x 2 + 1 (hư cấu) có cùng hình dạng không? Đỉnh của chúng khác nhau thế nào?
So hệ số a trước, rồi tính hoành độ đỉnh − b 2a .
Giải thích. Cùng a = 3 nên cùng một hình dạng: parabol này là parabol kia được tịnh tiến. Parabol thứ nhất có trục x = 6 6 = 1 và đỉnh (1; 3 − 6 + 1) = (1; −2). Parabol thứ hai có b = 0 nên trục là Oy và đỉnh (0; 1). Từ đỉnh (0; 1), dời sang phải 1 đơn vị và xuống 3 đơn vị là tới đỉnh (1; −2).
MỤC 2 · Δ, NGHIỆM VÀ VỊ TRÍ SO VỚI Ox
Đỉnh ở trên hay dưới mặt đất?
Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 là hoành độ những điểm cánh cung chạm mặt đất Ox. Muốn biết có chạm hay không, chỉ cần hai câu hỏi: cánh cung ngửa hay úp, và đỉnh nằm trên hay dưới mặt đất. Δ trả lời câu hỏi thứ hai.
2.1 Δ đo "độ cao" của đỉnh
Tung độ đỉnh là k = − Δ 4a . Vì 4a cùng dấu a, công thức này đọc thành một câu: Δ > 0 khi và chỉ khi đỉnh nằm ở phía ngược với chiều mở của cánh cung (k trái dấu a); Δ < 0 thì đỉnh nằm cùng phía với chiều mở (k cùng dấu a). Cụ thể, với a > 0 (cánh cung ngửa), Δ > 0 cho k < 0: đỉnh dưới mặt đất, cánh cung buộc phải xuyên qua Ox hai lần. Với a < 0 (cánh cung úp), Δ > 0 cho k > 0: đỉnh trên mặt đất, cánh cung cũng xuyên qua Ox hai lần. Hai trường hợp khác nhau về hình, nhưng cùng một kết luận. Đó là lí do số nghiệm chỉ phụ thuộc vào Δ .
Δ · Tung độ đỉnh so với chiều cánh cung · Vị trí parabol so với Ox · Phương trình ax 2 + bx + c = 0
Δ > 0 · Đỉnh ở phía ngược chiều mở của cánh cung (a > 0: đỉnh dưới Ox; a < 0: đỉnh trên Ox) · Cắt Ox tại hai điểm · Hai nghiệm phân biệt x 1 , 2 = −b ± √Δ 2a
Δ = 0 · Đỉnh nằm đúng trên Ox · Tiếp xúc Ox tại đỉnh · Nghiệm kép x 0 = − b 2a
Δ < 0 · Đỉnh và cả cánh cung ở cùng một phía của Ox · Không có điểm chung với Ox · Không có nghiệm thực
Vuốt ngang để xem hết bảng
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 4. Parabol y = x 2 − 2x − 3 (hư cấu): Δ = 16, tung độ đỉnh k = − Δ 4a = −4; hai nghiệm −1 và 3 cách trục x = 1 cùng một khoảng √Δ 2|a| = 2.
Hai nghiệm là "đỉnh ± một bước". Công thức nghiệm viết lại thành x 1 , 2 = − b 2a ± √Δ 2|a| : đứng ở trục đối xứng, bước sang trái và sang phải cùng một khoảng √Δ 2|a| . Vì vậy hai nghiệm luôn đối xứng qua trục, và khoảng cách giữa chúng là |x 2 − x 1 | = √Δ |a| . Giữ nguyên a mà tăng Δ thì đỉnh xa Ox hơn và hai nghiệm xa nhau hơn; Δ giảm về 0 thì hai nghiệm chụm lại thành nghiệm kép ngay tại đỉnh.
Δ thu gọn. Viết b = 2b′ (tiện khi b là số chẵn) và dùng Δ′ = b′ 2 − ac. Vì Δ = 4Δ′ nên Δ′ cùng dấu Δ, và x 1 , 2 = −b′ ± √Δ′ a . Đây chỉ là cách tính gọn, không phải một khái niệm mới.
2.2 Sáu bức tranh
Ghép dấu của a (hai khả năng) với dấu của Δ (ba khả năng), ta có đúng sáu bức tranh. Nắm sáu hình này là đủ cho cả mục 2 lẫn mục 3: dải màu dưới mỗi hình chính là dấu của f(x).
Vuốt ngang để xem hết sơ đồ
Hình 5. Sáu bức tranh: a > 0 hoặc a < 0, kết hợp Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0. Dưới mỗi hình là dải dấu của f(x) dọc trục x; vòng tròn rỗng đánh dấu nghiệm. Màu chỉ để minh họa, đọc theo dấu + và −.
Một quan sát quan trọng cho mục 3: trong cả sáu hình, f(x) mang dấu khác dấu a chỉ ở đúng một chỗ, đó là khoảng nằm giữa hai nghiệm (chỉ có ở cột Δ > 0).
2.3 "Vô nghiệm" là vô nghiệm ở đâu?
Khi Δ < 0, câu đúng là "phương trình không có nghiệm thực ". Trong tập số thực ℝ, không có số nào làm ax 2 + bx + c bằng 0, vì cánh cung không chạm Ox. Nói gọn "vô nghiệm" chỉ được hiểu là vô nghiệm trên ℝ, tập số mà chương trình lớp 10 làm việc.
MỞ RỘNG Nghiệm phức. Nếu mở rộng sang tập số phức (có số i với i 2 = −1), phương trình bậc hai với Δ < 0 có hai nghiệm phức liên hợp x = −b ± i√(−Δ) 2a . Ví dụ hư cấu: x 2 − 2x + 5 = 0 có Δ′ = 1 − 5 = −4, hai nghiệm phức 1 + 2i và 1 − 2i; thay vào: (1 + 2i) 2 − 2(1 + 2i) + 5 = (1 + 4i − 4) − 2 − 4i + 5 = 0. Phần thực của chúng, 1, chính là hoành độ đỉnh. Hình học "cánh cung không chạm đất" không mâu thuẫn với điều này: các nghiệm phức không nằm trên trục số thực nên không hiện trên mặt phẳng Oxy.
PHÒNG A Cánh cung điều khiển bằng a, b, c hư cấu
Kéo thanh trượt hoặc gõ số cho a, b, c. Lab vẽ parabol, trục đối xứng, đỉnh I, các nghiệm và tô vùng dương (xanh, dấu +), vùng âm (đỏ, dấu −); bên dưới là dải dấu. Ô đọc ra cho biết đỉnh, Δ, nghiệm và dấu của f(x). Nút "Cho c chạy" kéo cánh cung lên xuống để em thấy số nghiệm đổi khi đỉnh đi qua mặt đất. Phạm vi: a từ −3 đến 3, b và c từ −8 đến 8; hệ số được làm tròn đến 0,1; khung hình x từ −6 đến 6, y từ −8 đến 8 (hai trục khác tỉ lệ).