Quan hệ song song trong không gian: giao tuyến, thiết diện và hình lăng trụ
Chuyên đề Toán 11: gom giao tuyến, đường song song, mặt phẳng song song, định lí Thales, thiết diện, hình hộp, lăng trụ và phép chiếu song song vào một việc…
LUKATO AI · TOÁN 11 · QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
GIAO TUYẾN · THIẾT DIỆN · THALES · LĂNG TRỤ · PHÉP CHIẾU SONG SONG
Một việc, ba dụng cụ:
tìm giao tuyến , rồi để song song
và Thales làm nốt
Hình học không gian thường bị học thành một nắm mẹo rời rạc: tìm giao tuyến một kiểu, chứng minh song song một kiểu, dựng thiết diện một kiểu, tính tỉ số một kiểu nữa. Chuyên đề này cho thấy chỉ có một việc : tìm giao tuyến. Giao điểm của đường với mặt, thiết diện, chứng minh song song và tỉ số đều là giao tuyến ngụy trang. Và để tìm giao tuyến chỉ cần ba dụng cụ : hai điểm chung, song song sinh ra giao tuyến, và định lí Thales giữa các mặt phẳng song song. Đi hết bốn bước đọc, giao tuyến, nối, kiểm, em dựng được thiết diện của hình chóp, lăng trụ, hình hộp và nhìn ra cái bẫy trước khi nó kịp sập.
- ① Hai mặt phẳng có hai điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng qua hai điểm ấy, kể cả điểm có được nhờ kéo dài
- ② a\parallel(P), a\subset(Q) thì (P)\cap(Q)\parallel a: song song sinh ra giao tuyến
- ③ Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến những đoạn tỉ lệ; cắt song song đáy theo tỉ số k thì diện tích nhân k^{2}
3 dụng cụ
mọi bài của chương quy về một chuỗi
7 phòng lab
xoay hình, kéo thanh trượt, tự dựng thiết diện
16 bài
đủ ba dạng câu hỏi, giải đủ bốn ô
01
Bản đồ chuyên đề
Một việc và ba dụng cụ cho mọi bài quan hệ song song
Đề thi hỏi bằng nhiều giọng: «xác định giao tuyến», «tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng», «tìm thiết diện», «chứng minh song song», «tính tỉ số». Học sinh thường học mỗi giọng một bộ mẹo. Thật ra mọi câu đều rơi về một việc : tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Giao điểm của đường d với mặt (P) là giao điểm của d với một giao tuyến. Thiết diện là một chuỗi giao tuyến của mặt phẳng cắt với từng mặt của khối. Chứng minh song song là phát biểu về giao tuyến, và tỉ số là Thales giữa các mặt phẳng song song. Còn dụng cụ để tìm giao tuyến chỉ có ba .
Bản đồ chuyên đề: bốn câu hỏi chính (giao tuyến, giao điểm, thiết diện, tỉ số) cùng dựa vào ba dụng cụ; ba dụng cụ ấy lại dựa vào các tiên đề và tính chất của quan hệ song song.
Tám câu hỏi quen thuộc của đề và dụng cụ để trả lời
Câu hỏi đề đặt ra
Dụng cụ
Dấu hiệu nhận ra
Mục
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
① hai điểm chung, kể cả điểm có được nhờ kéo dài hai đường
hai mặt phẳng chứa hai cạnh không song song
Giao tuyến có song song với một đường cho trước không?
② song song sinh ra giao tuyến
có hai đường song song, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng
Chứng minh đường song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song
các dấu hiệu: đường song song với một đường trong mặt phẳng; hai đường cắt nhau cùng song song
«chứng minh \ldots\parallel(\ldots)»
3, 4
Tính tỉ số độ dài, diện tích khi cắt song song
③ Thales giữa các mặt phẳng song song
«mặt phẳng song song với đáy»
Xác định thiết diện
chuỗi giao tuyến, đi một vòng quanh khối
«mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp»
Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
mặt phẳng phụ, rồi dụng cụ ①
«tìm giao điểm của \ldots và (\ldots)»
Tỉ số khi mặt phẳng cắt chứa điểm và song song một đường
mặt phẳng phụ, đường song song phụ, đẳng thức tỉ số
«tính \dfrac{SK}{SC}», «tính \dfrac{FA}{FD}»
Lăng trụ, hình hộp, hình biểu diễn
hai đáy song song cho sẵn các cặp giao tuyến song song; phép chiếu song song giữ tỉ số
«hình hộp», «phép chiếu song song»
7, 8
Vì sao quy về một việc thì ít sai hơn
Khi mỗi dạng bài có một bộ mẹo riêng, em phải nhớ dạng nào đi với mẹo nào, và đề chỉ cần đổi hình là em lạc đường. Khi có một việc và ba dụng cụ, bước đầu của mọi bài đều giống nhau: hai mặt phẳng nào đang gặp nhau, và mình đã có mấy điểm chung? Có hai thì xong. Có một thì hỏi xem có hai đường song song giúp được không. Chưa có thì kéo dài hai đường cho cắt nhau để tạo điểm chung thứ hai. Ba câu hỏi ấy là toàn bộ nghệ thuật của chương.
Ba dụng cụ
Dụng cụ ①
Hai điểm chung
Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm ấy. Vậy hai điểm chung phân biệt cho ta giao tuyến. Điểm chung thứ hai thường phải tạo ra: lấy hai đường, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng, cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba, rồi kéo dài cho cắt nhau.
Dụng cụ ②
Song song sinh ra giao tuyến
Nếu a\parallel(P), a\subset(Q) và (P)\cap(Q)=d thì d\parallel a. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và chứa hai đường song song thì giao tuyến song song với cả hai. Nếu (P)\parallel(Q) và (R) cắt cả hai thì hai giao tuyến song song.
Dụng cụ ③
Thales giữa các mặt phẳng
Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn tỉ lệ. Mặt phẳng song song với đáy cắt hình chóp theo tỉ số k: độ dài nhân k, diện tích nhân k^{2}. Đây là dụng cụ biến «song song» thành con số.
Bốn bước chung cho mọi bài
BƯỚC 1 · ĐỌC Mặt phẳng cần dùng được cho bởi gì: ba điểm, hay một điểm và hai đường song song?
BƯỚC 2 · GIAO TUYẾN Với mỗi mặt của khối, tìm giao tuyến bằng ①, ② hoặc ③.
BƯỚC 3 · NỐI Đi một vòng quanh khối, chỉ nối hai điểm cùng nằm trên một mặt.
BƯỚC 4 · KIỂM Đếm cạnh (không vượt quá số mặt), kiểm song song và tỉ số.
Quy ước dùng suốt chuyên đề
(P), (ABC) mặt phẳng; d=(P)\cap(Q) giao tuyến a\parallel b song song; a\subset(P) nằm trong mặt phẳng S.ABCD hình chóp đỉnh S, ABCD.A'B'C'D' hình hộp «chéo nhau»: không có điểm chung và không đồng phẳng k tỉ số cắt song song với đáy mọi tỉ số \dfrac{XY}{XZ} là tỉ số độ dài đoạn thẳng thập phân viết dấu phẩy: 0{,}5
Đoán trước khi tính
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB\parallel CD và AB\ne CD. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) chỉ có một điểm chung nhìn thấy ngay là S. Giao tuyến của chúng là gì?
Mẹo nhớ: ba cặp mặt phẳng cùng đi qua S cho ba giao tuyến khác nhau. Mỗi cặp dùng một mẹo: SE (kéo dài), SO (hai đường chéo), và đường song song với AB (song song).
Thử tay: tìm giao tuyến và vị trí điểm kéo dài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên AD sao cho AN=\dfrac{1}{3}AD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD), và cho biết điểm E=MN\cap BD nằm ở đâu so với đoạn BD.
Gợi ý 1 · Điểm chung thứ nhất
C thuộc cả (CMN) lẫn (BCD). Cần thêm một điểm chung nữa. MN nằm trong (CMN) và BD nằm trong (BCD): hai đường này có cùng nằm trong một mặt phẳng nào không?
Gợi ý 2 · Mặt phẳng thứ ba
Cả M\in AB và N\in AD đều nằm trong (ABD), còn BD cũng nằm trong (ABD). Trong tam giác ABD hai đường MN và BD không song song (vì \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{1}{3}), nên chúng cắt nhau tại E.
Đáp án
E\in MN\subset(CMN) và E\in BD\subset(BCD), nên E là điểm chung thứ hai và giao tuyến là đường thẳng CE. Để biết vị trí của E, dùng định lí Menelaus: đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB, BD, DA của tam giác ABD tại M, E, N nên \dfrac{MA}{MB}\cdot\dfrac{EB}{ED}\cdot\dfrac{ND}{NA}=1 (tích ba tỉ số độ dài, đi vòng quanh tam giác). Ở đây \dfrac{MA}{MB}=1 và \dfrac{ND}{NA}=2 nên \dfrac{EB}{ED}=\dfrac{1}{2}. Hai điểm M\in AB, N\in AD nằm trong cạnh nên E phải nằm ngoài đoạn BD; mà EB<ED nên E ở phía B và B là trung điểm của ED. Vậy E nằm ngoài đoạn BD, phía B: đúng như bẫy 8 sẽ nhắc, E chỉ là điểm phụ để vẽ đường CE.
02
Dụng cụ ① · Điểm, đường thẳng, mặt phẳng
Hai điểm chung cho một giao tuyến
Mọi thứ trong chương dựng trên bốn mệnh đề rất ngắn. Ba mệnh đề đầu nói khi nào một đường thẳng hay một mặt phẳng được xác định. Mệnh đề thứ tư là chìa khoá: hai mặt phẳng phân biệt đã có một điểm chung thì chúng có chung cả một đường thẳng . Từ đó, muốn biết giao tuyến chỉ cần tìm hai điểm chung phân biệt . Điểm chung thứ nhất thường nằm sẵn trong hình. Điểm thứ hai là chỗ mất điểm của học sinh, và dụng cụ ① là cách tạo ra nó.
Tiên đề thường dùng
Bốn mệnh đề nền
(1) Qua hai điểm phân biệt có một và chỉ một đường thẳng. (2) Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng. (3) Đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì nằm trọn trong mặt phẳng ấy. (4) Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có chung một đường thẳng đi qua điểm đó.
Xác định mặt phẳng
Bốn cách cho một mặt phẳng
Ba điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm ngoài nó; hai đường thẳng cắt nhau; hai đường thẳng song song. Đề cho (MNP) là cách thứ nhất, (SAB) cũng vậy. Mệnh đề (3) cho phép nói MN\subset(MNP) khi M, N cùng thuộc mặt phẳng.
Trái: hai điểm A, B thuộc (P) nên cả đường thẳng AB nằm trong (P). Phải: hai mặt phẳng (P), (Q) có điểm chung I thì có chung đường thẳng d đi qua I, gọi là giao tuyến.
Vị trí tương đối: ba bảng cần thuộc
Hai đường thẳng
Điểm chung
Đồng phẳng?
Gọi là
Cắt nhau
đúng một điểm
có
cắt nhau
Song song
không có
có
song song
Trùng nhau
mọi điểm
có
trùng
Chéo nhau
không có
không
chéo nhau
Đường thẳng a và (P)
Điểm chung
Kí hiệu
Cắt nhau
đúng một điểm
a\cap(P)=\{A\}
Song song
không có
a\parallel(P)
Nằm trong
mọi điểm của a
a\subset(P)
Hai mặt phẳng
Điểm chung
Kí hiệu
Cắt nhau
một đường thẳng (giao tuyến)
(P)\cap(Q)=d
Song song
không có
(P)\parallel(Q)
Trùng nhau
mọi điểm
(P)\equiv(Q)
Bẫy 2 · Không cắt nhau chưa chắc song song
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng không cắt nhau thì song song. Trong không gian có thêm một khả năng: chéo nhau . Ví dụ trong hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, hai đường SB và CD không có điểm chung (nếu có thì S, B, C, D đồng phẳng) và cũng không song song: chúng chéo nhau. Muốn khẳng định «song song», phải chỉ ra hai đường cùng nằm trong một mặt phẳng , rồi mới kiểm không cắt. Phòng lab 7 cho em chính tình huống này.
Dụng cụ ①: ba câu hỏi để tìm giao tuyến
CÂU 1 · ĐIỂM CHUNG NÀO CÓ SẴN? Đỉnh S, hoặc một điểm thuộc cả hai mặt phẳng theo đề.
CÂU 2 · ĐIỂM CHUNG THỨ HAI? Lấy x\subset(P), y\subset(Q) cùng nằm trong mặt phẳng (R); kéo dài cho cắt tại I.
CÂU 3 · KẾT LUẬN I\in x\subset(P) và I\in y\subset(Q) nên I là điểm chung; giao tuyến là đường qua hai điểm chung.
Cái khó nằm ở câu 2. Quy tắc để chọn hai đường: mỗi đường phải nằm trong một mặt phẳng đang xét, và hai đường phải đồng phẳng thì mới cắt nhau. Trong hình chóp, mặt phẳng thứ ba thường là mặt đáy hoặc một mặt phẳng chứa đường chéo như (SAC), (SBD).
Ba ví dụ trên cùng một hình chóp
Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, không có cặp cạnh đối nào song song. Ba cặp mặt phẳng cùng đi qua S cho ba giao tuyến, mỗi giao tuyến cần một điểm chung thứ hai khác nhau: F, O hoặc E đều nằm trong đáy.
Cặp mặt phẳng
Hai đường cùng nằm trong (ABCD)
Điểm chung thứ hai
Giao tuyến
(SAB) và (SCD) khi AB\nparallel CD
AB\subset(SAB), CD\subset(SCD)
F=AB\cap CD
SF
(SAD) và (SBC) khi AD\nparallel BC
AD\subset(SAD), BC\subset(SBC)
E=AD\cap BC
SE
(SAC) và (SBD)
AC\subset(SAC), BD\subset(SBD)
O=AC\cap BD
SO
Bẫy 1 · Một điểm chung chưa đủ để vẽ giao tuyến
Ba cặp mặt phẳng ở trên đều thấy ngay điểm S. Học sinh vội nối S với một điểm «trông có vẻ» nằm trên giao tuyến, thường là một đỉnh của đáy. Hãy nhớ: giao tuyến là đường thẳng, cần hai điểm. Mỗi điểm đưa vào phải có lí do : nó thuộc cả hai mặt phẳng. A thuộc (SAB) nhưng không thuộc (SCD), nên SA không phải giao tuyến của hai mặt phẳng này.
Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD với AB và CD không song song, cắt nhau tại F. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
Phòng lab 1: tìm giao tuyến bằng hai điểm chung
Đoán trước: em hãy nhẩm giao tuyến của (SAD) và (SBC) rồi mới bấm. Sau đó thử các cặp còn lại và để ý: cặp nào có hai điểm chung cho sẵn (đỉnh hoặc điểm O, E), cặp nào chỉ có S và phải nhờ dụng cụ ②. Các vòng vàng đánh dấu những điểm chung tìm được.
Phòng lab 1 · tìm giao tuyến của hai mặt phẳng KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Xoay quanh trục đứng = -30 độ
Nghiêng nhìn từ trên = 30 độ
Điểm chung đã đánh dấu
Giao tuyến
Dụng cụ dùng
Song song với AB?
Thử ba thao tác
(1) Chọn (SAD) và (SBC): vòng vàng nằm ở S và E, điểm E nằm ngoài hình chóp. (2) Chọn (SAC) và (SBD): điểm chung thứ hai là O trong đáy. (3) Chọn (SAB) và (SCD): chỉ còn S, giao tuyến vẽ được vì AB\parallel CD. Tính chất ấy là nội dung của mục 3.
03
Dụng cụ ② · Đường song song
Đường thẳng song song sinh ra giao tuyến
Có những cặp mặt phẳng chỉ cho một điểm chung, mà kéo dài thế nào hai đường cũng không cắt nhau, vì chúng song song . Khi ấy song song không phải là trở ngại mà là món quà: nó cho phương của giao tuyến. Có điểm chung S, lại biết phương, ta vẽ được giao tuyến ngay. Dụng cụ ② có hai dạng: dạng đường song song với đường (mục này) và dạng đường song song với mặt phẳng (cũng ở mục này), sau đó dạng mặt phẳng song song với mặt phẳng ở mục 4.