Conic là quỹ tích: elip, hypebol, parabol và đường tròn từ một định nghĩa tiêu điểm - đường chuẩn - tâm sai, thống nhất trong tọa độ Oxy
Chuyên đề Toán 10: đường tròn, elip, parabol và hypebol đều là quỹ tích của điểm M thỏa MF = e · h, với F là tiêu điểm, h là khoảng cách tới đường chuẩn và e…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN 10
ELIP · HYPEBOL · PARABOL · TÂM SAI · TỌA ĐỘ OXY
Một định nghĩa,
bốn gương mặt conic
Từ một luật duy nhất (MF = e · h: khoảng cách tới tiêu điểm bằng e lần khoảng cách tới đường chuẩn), bạn dựng cả hệ thống: đường tròn, elip, parabol và hypebol; cách nói bằng hai ghim và một sợi dây; phương trình chính tắc với tam giác a, b, c; tiếp tuyến tách đôi và tính chất gương.
- 1. Đổi tâm sai e là đổi cả họ đường
- 2. Tổng hay hiệu hai khoảng cách phải qua cổng tam giác
- 3. Cùng bộ ba 3, 4, 5, hai cạnh huyền khác nhau
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản biện
01
Khái niệm lõi
Một định nghĩa, bốn gương mặt
Parabol, elip, hypebol và cả đường tròn thường được dạy thành bốn bài riêng, mỗi bài một công thức. Nhưng cả bốn sinh ra từ một luật duy nhất : cho một điểm F ( tiêu điểm ), một đường thẳng ( đường chuẩn ) và một số e không âm ( tâm sai ). Quỹ tích là tập hợp mọi điểm M thỏa MF = e · h , trong đó h là khoảng cách từ M đến . Chỉ đổi e là đổi cả họ đường.
Cùng một phép thử, ba kết quả. Parabol y 2 = 4x: tiêu điểm F(1; 0), đường chuẩn x = -1, M(4; 4) có MF = 5 và h = 5. Elip x 2 /25 + y 2 /9 = 1: F2(4; 0), đường chuẩn x = 25/4, M(3; 2,4) có MF2 = 2,6 và h = 3,25, tỉ số 0,8. Nhánh phải hypebol x 2 /9 - y 2 /16 = 1: F2(5; 0), đường chuẩn x = 9/5, M(5; 16/3) có MF2 = 16/3 và h = 3,2, tỉ số 5/3.
Tâm sai e · Tên đường · M so với tiêu điểm và đường chuẩn · Dạng chính tắc trên Oxy
e = 0 · Đường tròn · đường chuẩn ở vô cực; MF không đổi · x 2 + y 2 = R 2
0 < e < 1 · Elip · M gần tiêu điểm hơn đường chuẩn · x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (a > b > 0)
e = 1 · Parabol · M cách tiêu điểm đúng bằng cách đường chuẩn · y 2 = 2px (p > 0)
e > 1 · Hypebol · M xa tiêu điểm hơn đường chuẩn · x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 (a, b > 0)
món 1
Tiêu điểm F
Một điểm cố định. Mọi khoảng cách MF đều đo từ đây. Đường tròn có F ở tâm; các đường còn lại có F lệch khỏi tâm.
món 2
Đường chuẩn
Một đường thẳng cố định. Khoảng cách h từ M đến đo theo phương vuông góc. Với đường tròn, đã chạy ra vô cực nên không còn nhìn thấy.
món 3
Tâm sai e
Tỉ số MF / h nên không có đơn vị : phóng to hay thu nhỏ hình vẽ không đổi e. Hai conic đồng dạng thì cùng tâm sai.
Vì sao gọi là conic
Từ thời Hy Lạp cổ, bốn đường này được tìm thấy khi cắt một mặt nón bằng mặt phẳng: cắt vuông góc với trục cho đường tròn, cắt nghiêng cho elip, cắt song song với một đường sinh cho parabol, cắt cả hai phần của nón cho hai nhánh hypebol. Định nghĩa tiêu điểm - đường chuẩn - tâm sai là cách viết cùng sự thật ấy bằng khoảng cách, nên làm được trên mặt phẳng tọa độ.
Bản đồ của chuyên đề
1 Một tiêu điểm, một đường chuẩn, tỉ số e
2 Hai tiêu điểm, tổng hoặc hiệu không đổi
3 Phương trình chính tắc trên Oxy
4 Tiếp tuyến và tính chất gương
Vì sao e càng gần 0 thì elip càng tròn, và e càng gần 1 thì elip càng dẹt?
Gợi ý 1 · Đổi e thành tỉ số trục
Với elip, c = e·a và b 2 = a 2 - c 2 = a 2 (1 - e 2 ), nên b/a = 1 - e 2 .
Gợi ý 2 · Thử hai đầu mút
Khi e tiến đến 0 thì b/a tiến đến 1: hai trục gần bằng nhau. Khi e tiến đến 1 thì b/a tiến đến 0: trục nhỏ co lại.
Kết luận
Tâm sai đo độ lệch của tiêu điểm khỏi tâm: hai tiêu điểm cách nhau 2c = 2ea. e = 0 thì hai tiêu điểm trùng nhau ở tâm (đường tròn); e tiến đến 1 thì các tiêu điểm trượt về hai đỉnh và elip bị kéo thành đoạn thẳng. Với e = 0,8 thì b/a = 0,6, đúng elip x 2 /25 + y 2 /9 = 1.
02
Cách nói thứ nhất
Một tiêu điểm, một đường chuẩn, một tỉ số
Phòng lab này dựng sẵn luật MF = e · h. Mọi đường đều đi qua gốc O (đỉnh gần tiêu điểm nhất), có trục là Ox và cùng độ rộng tại tiêu điểm (dây qua F vuông góc với trục dài 4). Bạn chỉ vặn núm e. Hãy xem: e = 0 là đường tròn; tăng e thì tròn kéo dài thành elip; đến e = 1 đỉnh xa chạy mất ra vô cực, chỉ còn parabol; vượt qua 1 thì đường bẻ thành hai nhánh hypebol.
Phòng thí nghiệm 1 · Máy một tiêu điểm, một đường chuẩn LAB 1
Tiêu điểm và đường chuẩn thứ hai
Tâm sai e
Vị trí điểm M
Loại đường
MF
h (tới đường chuẩn)
MF / h
Tiêu điểm
Đường chuẩn
Một phương trình cho cả bốn
Đặt đỉnh gần tiêu điểm nhất ở gốc và trục là Ox: mọi điểm thỏa MF = e · h có tọa độ thỏa y 2 = 2ℓx - (1 - e 2 )x 2 , trong đó ℓ = 2 ở lab. Hệ số (1 - e 2 ) quyết định loại đường: khi e < 1 nó dương, chuyển vế được (1 - e 2 )x 2 + y 2 = 2ℓx, tổng hai bình phương, đường khép kín (elip; riêng e = 0 là đường tròn); khi e = 1 mất hẳn số hạng x 2 , còn y 2 = 2ℓx (parabol); khi e > 1 nó âm, hai bình phương trái dấu (hypebol).
· e = 0,6 (elip) · e = 1,6 (hypebol)
Tiêu điểm F · (1,25; 0) · (0,77; 0)
Tiêu điểm thứ hai F' · (5; 0) · (-3,33; 0)
Đường chuẩn của F · x = -2,08 · x = -0,48
Đường chuẩn của F' · x = 8,33 · x = -2,08
Tâm và độ dài a · tâm (3,125; 0), a = 3,125 · tâm (-1,28; 0), a = 1,28
Vì sao khi e = 1 chỉ còn một tiêu điểm?
Gợi ý 1 · Vị trí của F'
Tiêu điểm thứ hai nằm ở x = ℓ/(1 - e), còn tiêu điểm thứ nhất ở x = ℓ/(1 + e). Với ℓ = 2 và e = 0,6 thì F' = 5; với e = 0,9 thì F' = 20.
Gợi ý 2 · Cho e tiến đến 1
Mẫu 1 - e tiến đến 0 nên F' chạy ra vô cực; đường chuẩn thứ hai và đỉnh xa cũng chạy ra vô cực.
Kết luận
Parabol là trường hợp giới hạn: một nửa của họ elip (và của họ hypebol) đã bị đẩy ra xa vô tận. Vì vậy parabol chỉ có một tiêu điểm, một đường chuẩn và một đỉnh, còn elip và hypebol có hai tiêu điểm, hai đường chuẩn.
03
Cách nói thứ hai
Hai ghim và một sợi dây: tổng, hiệu và cổng tam giác
Cách thứ hai nói về cùng các đường ấy không cần đường chuẩn: đóng hai ghim F1, F2 rồi quan sát điểm M mà tổng (hoặc hiệu ) hai khoảng cách tới hai ghim không đổi. Tổng không đổi cho elip, hiệu không đổi cho hypebol; hằng số luôn viết là 2a.
Bên trái: đóng hai ghim ở F1(-4; 0), F2(4; 0), buộc sợi dây vào hai ghim rồi căng bằng đầu bút M sao cho MF1 + MF2 luôn bằng 10: M(3; 2,4) cho 7,4 + 2,6 = 10, vẽ ra elip. Bên phải: hai tiêu điểm F1(-5; 0), F2(5; 0), hiệu khoảng cách luôn là 6; M(5; 16/3) cho 34/3 - 16/3 = 6, tạo ra hai nhánh hypebol.
Điều kiện trên M · So hằng số 2a với 2c = F1F2 · Quỹ tích · Quan hệ
MF1 + MF2 = 2a · a > c · elip (c = 0: đường tròn) · b 2 = a 2 - c 2
MF1 + MF2 = 2a · a = c · đoạn thẳng F1F2 · suy biến
MF1 + MF2 = 2a · a < c · tập rỗng · không tồn tại
|MF1 - MF2| = 2a · a < c · hypebol (hai nhánh) · b 2 = c 2 - a 2
|MF1 - MF2| = 2a · a = c · hai tia trên đường thẳng F1F2 · suy biến
|MF1 - MF2| = 2a · a > c · tập rỗng · không tồn tại
Phòng thí nghiệm 2 · Máy hai ghim: tổng hay hiệu LAB 2
Nhánh đang theo dõi:
Nửa khoảng cách hai ghim c
Nửa hằng số a
Vị trí điểm M
Quỹ tích
MF1
MF2
MF1 + MF2
Hằng số và F1F2
Phương trình
Người gác cổng: bất đẳng thức tam giác
Với ba điểm M, F1, F2 luôn có MF1 + MF2 lớn hơn hoặc bằng F1F2, và |MF1 - MF2| nhỏ hơn hoặc bằng F1F2. Vì vậy hằng số 2a phải vượt qua cổng trước khi nói đến elip hay hypebol: tổng phải không nhỏ hơn 2c, hiệu phải không lớn hơn 2c. Hằng số đứng đúng ở mép cổng cho hình suy biến (đoạn thẳng, hai tia); vượt sang phía kia thì không có điểm nào.
Vì sao tổng hai khoảng cách tới hai tiêu điểm của elip luôn là 2a?
Gợi ý 1 · Dùng đường chuẩn
Elip có hai đường chuẩn x = a/e và x = -a/e, và với mỗi tiêu điểm ta có MF1 = e · h1, MF2 = e · h2 (h1, h2 là khoảng cách từ M đến hai đường chuẩn).
Gợi ý 2 · M nằm giữa hai đường chuẩn
Elip nằm hẳn giữa hai đường chuẩn nên h1 + h2 bằng khoảng cách giữa chúng, tức 2a/e. Ví dụ elip 5 - 3 - 4: 9,25 + 3,25 = 12,5 = 10/0,8.
Kết luận
MF1 + MF2 = e(h1 + h2) = e · 2a/e = 2a . Với hypebol, M nằm ngoài dải giữa hai đường chuẩn nên h1 - h2 = 2a/e và hiệu MF1 - MF2 = 2a. Hai cách nói (một tiêu điểm cùng đường chuẩn, hay hai tiêu điểm) là một.
04
Tọa độ Oxy
Đọc phương trình chính tắc bằng tam giác a, b, c
Trên mặt phẳng Oxy ta đặt trục theo hai trục đối xứng và tâm ở gốc, khi đó mỗi đường có phương trình chính tắc . Chìa khóa đọc chúng là một tam giác vuông: các số a, b, c luôn tạo thành tam giác vuông, chỉ khác ở chỗ cạnh nào là cạnh huyền .
Cùng ba số 3, 4, 5 nhưng vai trò khác nhau. Elip x 2 /25 + y 2 /9 = 1: đầu mút trục nhỏ B(0; 3) cách tiêu điểm F2(4; 0) đúng a = 5, nên a là cạnh huyền (a 2 = b 2 + c 2 ). Hypebol x 2 /9 - y 2 /16 = 1: đường chéo OP của hình chữ nhật cơ sở có độ dài c = 5, nên c là cạnh huyền (c 2 = a 2 + b 2 ).
· Elip x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (a > b > 0) · Hypebol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 · Parabol y 2 = 2px (p > 0)
Quan hệ a, b, c · c 2 = a 2 - b 2 (a là cạnh huyền) · c 2 = a 2 + b 2 (c là cạnh huyền) · không có a, b, c; chỉ có p
Tiêu điểm · F1(-c; 0), F2(c; 0) · F1(-c; 0), F2(c; 0) · F(p/2; 0)
Đỉnh · (+/-a; 0) và (0; +/-b) · (+/-a; 0) · O(0; 0)
Tâm sai · e = c/a, 0 < e < 1 · e = c/a, e > 1 · e = 1
Đường chuẩn · x = a/e và x = -a/e · x = a/e và x = -a/e · x = -p/2
Tiệm cận · không có · y = (b/a)x và y = -(b/a)x · không có
Bán kính qua tiêu · MF1 = a + e·x, MF2 = a - e·x · nhánh phải: MF1 = e·x + a, MF2 = e·x - a · MF = x + p/2
Hằng số đặc trưng · MF1 + MF2 = 2a · |MF1 - MF2| = 2a · MF = khoảng cách tới đường chuẩn
elip 5 - 3 - 4
x 2 /25 + y 2 /9 = 1
a = 5, b = 3, c = 25 - 9 = 4. Tiêu điểm (+/-4; 0), tâm sai e = 4/5 = 0,8, đường chuẩn x = +/-25/4. Tỉ số hai trục b/a = 0,6 = 1 - e 2 .
hypebol 3 - 4 - 5
x 2 /9 - y 2 /16 = 1
a = 3, b = 4, c = 9 + 16 = 5. Tiêu điểm (+/-5; 0), tâm sai e = 5/3, đường chuẩn x = +/-9/5, tiệm cận y = (4/3)x và y = -(4/3)x. Hệ số góc tiệm cận b/a = e 2 - 1 = 4/3.
Cùng bộ ba, khác cạnh huyền
Elip luôn có a lớn hơn cả b lẫn c; hypebol luôn có c lớn hơn cả a lẫn b (còn a và b của hypebol so sánh với nhau thế nào cũng được, ví dụ hypebol x 2 /4 - y 2 /9 = 1 có a < b). Gặp 3, 4, 5 phải hỏi ngay: đây là elip hay hypebol, rồi mới quyết định số nào là a.
Vì sao hai tiệm cận của hypebol có hệ số góc +/- b/a?
Gợi ý 1 · Giải y theo x
Từ x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 suy ra y = +/-(b/a) x 2 - a 2 .
Gợi ý 2 · Cho x rất lớn
Khi |x| lớn, x 2 - a 2 gần bằng |x|, hiệu giữa chúng tiến đến 0. Đường cong tiến sát hai đường thẳng y = (b/a)x và y = -(b/a)x mà không cắt.
Kết luận
Hai tiệm cận chính là hai đường chéo kéo dài của hình chữ nhật cơ sở (a; b). Hệ số góc b/a càng lớn (tiệm cận càng dốc) thì e = 1 + (b/a) 2 càng lớn; ví dụ b/a = 4/3 cho e = 5/3.
05
Tiếp tuyến và gương
Tiếp tuyến tách đôi, tia từ tiêu điểm
Có một phép thử cuối cho thấy ba đường thật sự là một họ: biến chúng thành gương và đặt nguồn sáng ở tiêu điểm. Trước hết là tiếp tuyến, vì gương phẳng nhỏ xíu tại M chính là tiếp tuyến ở M.
Đường tại M0(x0; y0) nằm trên đường · Phương trình tiếp tuyến · Ví dụ
Elip x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 · x·x0/a 2 + y·y0/b 2 = 1 · elip 5 - 3 - 4 tại (3; 2,4): 9x + 20y = 75
Hypebol x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 · x·x0/a 2 - y·y0/b 2 = 1 · hypebol 3 - 4 - 5 tại (5; 16/3): 5x - 3y = 9
Parabol y 2 = 2px · y·y0 = p(x + x0) · y 2 = 4x tại (4; 4): x - 2y + 4 = 0
Quy tắc tách đôi: trong phương trình của đường, thay x 2 bằng x·x0, thay y 2 bằng y·y0 và thay x bằng (x + x0)/2. Ba công thức trên đều ra từ một quy tắc.
Phòng thí nghiệm 3 · Tiếp tuyến là gương LAB 3
Tâm sai e
Tham số p (y 2 = 2px)
Vị trí điểm M
Phương trình
Tiêu điểm
Tâm sai
Tiếp tuyến tại M
Góc tới và góc phản xạ
Sai lệch của tia phản xạ
Gương · Tia tới từ · Tia phản xạ · Tiếp tuyến tại M là
Elip (mặt trong) · tiêu điểm F1 · đi qua tiêu điểm F2 · phân giác ngoài của góc F1MF2
Hypebol (mặt ngoài nhánh) · tiêu điểm F1 · đường kéo dài ngược đi qua F2 · phân giác trong của góc F1MF2
Parabol (mặt trong) · tiêu điểm F · song song với trục · phân giác ngoài của góc giữa MF và tia song song trục
Vì sao tia từ F1 chạm elip rồi phản xạ đi qua F2?
Gợi ý 1 · Mọi điểm khác của tiếp tuyến nằm ngoài elip
Điểm P bất kì khác M trên tiếp tuyến nằm ngoài elip, nên PF1 + PF2 lớn hơn 2a; còn tại M thì MF1 + MF2 = 2a. Vậy M làm tổng nhỏ nhất trên tiếp tuyến.
Gợi ý 2 · Đường đi ngắn nhất qua gương phẳng
Đường ngắn nhất đi từ F1 chạm gương phẳng rồi tới F2 là đường có góc tới bằng góc phản xạ (nguyên lí Heron).
Kết luận
Hai ý trùng nhau: góc tới bằng góc phản xạ tại M, nên tia từ F1 phản xạ rồi đi đúng qua F2. Với parabol, F2 ở vô cực nên tia ra song song với trục; với hypebol, tiếp tuyến là phân giác trong nên tia ra như thể đến từ F2.
06
Bộ khung suy luận
Tám bí kíp: quy tắc, lí do và chỗ vỡ
Tám bí kíp theo trình tự của một bài: nhận dạng, tam giác a b c, tâm sai, bán kính qua tiêu, cực trị khoảng cách, tổng và hiệu, tiếp tuyến, gương. Mỗi bí kíp có quy tắc, lí do và điều kiện khiến nó vỡ.
Đọc loại conic từ dấu của hai bình phương