Cấp số cộng và cấp số nhân: hai nhịp tăng trưởng, một cấu trúc

Hằng ở hiệu hay ở thương: hai nhịp cộng đều và nhân đều sinh ra số hạng tổng quát, cặp đối xứng, tổng n số hạng và cầu nối log.

Cập nhật: 2026-10-10

Môn: Toán · Ôn thi tốt nghiệp THPT 2027

LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN 11

TOÁN 11 · DÃY SỐ · HAI NHỊP TĂNG TRƯỞNG

Cấp số cộng và cấp số nhân: hai nhịp , một cấu trúc

Đừng học hai bảng công thức. Dãy số là một hàm của chỉ số n; cấp số cộng là nhịp "mỗi bước cộng thêm d", cấp số nhân là nhịp "mỗi bước nhân với q". Từ một câu hỏi, hằng số nằm ở hiệu hay ở thương, mọi công thức tự mọc ra: số hạng tổng quát, cặp đối xứng, tổng n số hạng, và cây cầu log nối hai nhịp.

Nhịp cộng · hiệu không đổi, đường thẳng
Nhịp nhân · thương không đổi, đường mũ
Đếm bước · n - k, không học thuộc n - 1
Cầu nối · log biến nhân thành cộng

nhịp: cộng đều và nhân đều

câu hỏi chẩn đoán: hằng ở hiệu hay ở thương?

100

= 1 + 3 + 5 + ... + 19: mười số lẻ đầu, đúng bằng 10 2

1023

= 1 + 2 + 4 + ... + 512: không cần cộng, bằng 2 10 - 1

Bản chất · dãy số là một hàm

Một dãy số, hai nhịp: hằng ở hiệu hay ở thương?

Dãy số không phải một danh sách để ngắm: nó là một hàm số mà biến là chỉ số n = 1, 2, 3, ... Cấp số cộng và cấp số nhân là hai cách đơn giản nhất để đi từ một số hạng sang số hạng kế tiếp: cộng thêm cùng một số , hoặc nhân với cùng một số . Mọi tính chất còn lại là hệ quả của nhịp ấy.

DÃY SỐ Hàm u(n) của chỉ số: các điểm rời, không phải đường liền

HAI HÀNG Lập hàng hiệu u n+1 - u n và hàng thương u n+1 /u n

HẰNG Ở ĐÂU? Ở hiệu: cộng đều. Ở thương: nhân đều. Cả hai: dãy hằng

HỆ QUẢ Đường thẳng hay đường mũ, đếm bước, cặp đối xứng, tổng

1. Bốn cách nhìn cùng một dãy

Lấy hai dãy: u n = 3n - 1 và v n = 3·2 n-1 . Mỗi dãy có bốn gương mặt, và người hiểu dãy số đổi qua lại giữa chúng không cần nghĩ.

DANH SÁCH

2, 5, 8, 11, 14, ...

3, 6, 12, 24, 48, ...

CÔNG THỨC

u n = 3n - 1

v n = 3·2 n-1

TRUY HỒI

u 1 = 2, u n+1 = u n + 3

v 1 = 3, v n+1 = v n ·2

ĐỒ THỊ

Các điểm (n; u n ) rời nhau, nằm trên một đường thẳng; các điểm (n; v n ) nằm trên một đường mũ.

Đường mờ là hàm số cùng công thức trên mọi số thực x. Dãy số chỉ sống ở các chỉ số nguyên dương: không có "số hạng thứ 2,5". Vì thế mọi lập luận về dãy là lập luận về bước nhảy từ n sang n + 1 .

2. Hai nhịp và một phép thử

Cấp số cộng : kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai : u n+1 = u n + d . Cấp số nhân : kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội : u n+1 = u n ·q . Phép thử tương ứng: lập hàng hiệu u n+1 - u n và hàng thương u n+1 /u n , xem hằng số nằm ở hàng nào.

Hai dãy cùng mở đầu bằng 2, 6. Với một bước duy nhất, hiệu 4 và thương 3 đều "hằng" một cách tầm thường: hai số hạng chưa nói gì về nhịp . Số hạng thứ ba (10 hay 18) mới tách hai dãy. Để ý thêm: hàng hiệu của dãy nhân 4, 12, 36, 108 lại là một cấp số nhân cùng công bội 3.

3. Vì sao cộng đều là đường thẳng, nhân đều là đường mũ

Đi n - 1 bước từ u 1 : u n = u 1 + (n - 1)·d = d·n + (u 1 - d) . Đây là một hàm bậc nhất của n với hệ số góc d; ví dụ 3n - 1 có d = 3 và u 1 - d = -1. Nhân đều: u n = u 1 ·q n-1 = (u 1 /q)·q n (q khác 0), một hàm mũ của n ; ví dụ 3·2 n-1 = 1,5·2 n .

Hiệu không đổi nghĩa là tăng cùng một lượng mỗi bước; thương không đổi nghĩa là tăng cùng một tỉ lệ mỗi bước: q = 1,1 là tăng 10 phần trăm, q = 2 là tăng 100 phần trăm. Gấp đôi mãi không phải "cộng mãi cùng một lượng": lượng cộng thêm của dãy nhân tự lớn lên theo chính nó.

Điều ít tài liệu nói · định nghĩa trung thực là truy hồi, không phải phép chia

Nhiều người kiểm tra cấp số nhân bằng cách chia số sau cho số trước. Phép thử ấy chỉ dùng được khi mọi số hạng khác 0 . Dãy 3, 0, 0, 0, ... thỏa u n+1 = u n ·0 ở mọi bước, nên là cấp số nhân với q = 0, dù 0/0 không xác định; dãy 0, 0, 0, ... thỏa với mọi q. Quy ước không thống nhất: có cách trình bày chỉ xét cấp số nhân có các số hạng khác 0 để phép chia luôn có nghĩa, có cách ghi rõ các trường hợp q = 0 và u 1 = 0. Chuyên đề này dùng định nghĩa truy hồi vì nó bao trọn cả hai, và báo rõ chỗ phép chia hỏng.

Không phải dãy nào cũng thuộc một trong hai nhịp

1, 4, 9, 16, 25 có hiệu 3, 5, 7, 9 và thương 4, 9/4, 16/9, 25/16: cả hai đều trôi. Hằng số chỉ hiện ra ở tầng hai: hiệu của hiệu luôn bằng 2, dấu hiệu của hàm bậc hai. Dãy kiểu Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8 cũng không: hiệu 0, 1, 1, 2, 3 và thương 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5.

Lab 1 · Hai nhịp: cộng hay nhân? LAB TRỌNG TÂM · HÀNG HIỆU, HÀNG THƯƠNG

Họ dãy

Số hạng đầu u 1

Công sai d

Công bội q

Họ này là cấp số cộng có u 3 = 0: u n = (n - 3)·d, nên số hạng đầu do d quyết định.

Bình phương n: u n = n 2 + (u 1 - 1). Kiểu Fibonacci: u 2 = 1, mỗi số hạng sau bằng tổng hai số hạng trước.

Số hạng

Hàng hiệu

Hàng thương

Nhịp

Hằng số

Dạng theo n

Tăng hay giảm

Thử: nhân đều với q = 0; cộng đều với u 1 = -3, d = 1 (gặp số 0); nhân đều với q = -0,5; hằng với u 1 = 0.

4. Dấu và độ lớn của q quyết định hành vi

Với cấp số cộng, chỉ dấu của d quyết định. Với cấp số nhân, độ lớn của u n là độ lớn của u 1 nhân độ lớn của q n-1 , còn dấu của u n do dấu của u 1 và q n-1 quyết định. Bảng dưới gom các trường hợp chính.

Trường hợp

Năm số hạng đầu

Hành vi

cộng, d dương

1, 3, 5, 7, 9

tăng đều

cộng, d âm

10, 7, 4, 1, -2

giảm đều

cộng, d = 0

5, 5, 5, 5, 5

hằng (cũng là nhân, q = 1)

nhân, q lớn hơn 1, u 1 dương

1, 2, 4, 8, 16

tăng, ngày càng nhanh

nhân, q giữa 0 và 1, u 1 dương

16, 8, 4, 2, 1 (q = 0,5)

giảm, dần về 0, không chạm 0

nhân, q = 1

5, 5, 5, 5, 5

hằng

nhân, q = 0

7, 0, 0, 0, 0

sụp về 0 sau số hạng đầu

nhân, q giữa -1 và 0

16, -8, 4, -2, 1 (q = -0,5)

đan dấu, độ lớn co về 0

nhân, q = -1

3, -3, 3, -3, 3

đan dấu, độ lớn giữ nguyên

nhân, q nhỏ hơn -1

1, -2, 4, -8, 16

đan dấu, độ lớn bùng nổ

nhân, q lớn hơn 1, u 1 âm

-1, -2, -4, -8, -16

giảm: u 1 âm đảo chiều mọi kết luận

q âm: đổi câu hỏi

Với q âm, "tăng hay giảm?" là câu hỏi sai: dãy nhảy lên xuống, không đơn điệu. Câu hỏi đúng là về độ lớn : độ lớn lớn dần khi q nhỏ hơn -1, giữ nguyên khi q = -1, co dần khi q nằm giữa -1 và 0.

Phòng thí nghiệm · số hạng tổng quát, đối xứng, tổng

Đếm bước, ghép cặp, cộng dồn

Ba công thức quen thuộc, số hạng tổng quát, tính chất số hạng giữa, tổng n số hạng đầu, thật ra là ba câu hỏi về cùng một nhịp: đi bao nhiêu bước , hai bước đối xứng bù trừ nhau thế nào , và cộng dồn thì nhịp biến thành gì .

1. Đếm bước, đừng nhớ n - 1

Muốn đi từ u k tới u n , đi đúng n - k bước , mỗi bước cộng d hoặc nhân q: u n = u k + (n - k)·d và u n = u k ·q n-k , với bất kì số hạng đã biết u k . Công thức quen thuộc u n = u 1 + (n - 1)·d chỉ là trường hợp k = 1: từ u 1 tới u n có n - 1 bước, như hàng rào n cột có n - 1 khoảng. Nếu n nhỏ hơn k, n - k âm: ta đếm lùi.

CỘNG

Giữa u 3 và u 8 có 8 - 3 = 5 bước, nên u 8 = u 3 + 5d và, đi ngược, u 3 = u 8 + (-5)·d. Mỗi cặp chỉ số cho một hệ thức như vậy; u n = u 1 + (n - 1)·d chỉ là cặp (1; n). Hiệu hai số hạng chỉ phụ thuộc số bước : u 8 - u 3 = 5d, dù dãy bắt đầu từ đâu.

NHÂN

Giữa u 2 và u 5 có 3 bước, nên u 5 = u 2 ·q 3 . Thương hai số hạng (khi số chia khác 0) chỉ phụ thuộc số bước: u 5 /u 2 = q 3 . Phép cộng d lặp lại thành phép nhân với số bước; phép nhân q lặp lại thành lũy thừa với số bước.

Điều ít tài liệu nói · d là hệ số góc, và khoảng cách chẵn là chỗ cấp số nhân im lặng

Hai số hạng đã biết là hai điểm (k; u k ) và (m; u m ). Với cấp số cộng, d = (u m - u k )/(m - k) chính là hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm: luôn một đáp án. Với cấp số nhân, q m-k = u m /u k . Khi số hạng đã biết khác 0: khoảng cách lẻ cho đúng một q thực; khoảng cách chẵn với tỉ số dương cho hai q đối nhau, tỉ số âm thì không có q. Nếu số hạng đã biết đứng trước bằng 0, mọi số hạng sau nó bằng 0: không có q nào (nếu số sau khác 0) hoặc vô số q (nếu số sau cũng bằng 0). Biết u 1 = 2, u 3 = 18: hai dãy 2, 6, 18, 54 và 2, -6, 18, -54 đều khớp. Biết u 1 = 2, u 3 = -18: không cấp số nhân nào chứa chúng.

Lab 2 · Đếm bước HAI SỐ HẠNG QUYẾT ĐỊNH TẤT CẢ?

Loại

Hai số hạng đã biết

Số hạng cần tìm

Số bước giữa hai số đã biết

Công sai, công bội

Số hạng cần tìm

Số hạng đầu (k = 1)

Thử với cấp số nhân: u1 = 2 và u3 = 18 rồi tìm u4, sau đó tìm u5; u3 = 16 và u7 = 1; u1 = 0 và u3 = 12.

2. Cặp đối xứng: d triệt tiêu trong tổng, q triệt tiêu trong tích

Trong cấp số cộng, u k-j và u k+j cách u k cùng j bước về hai phía: một số là u k - j·d, số kia là u k + j·d. Cộng lại, d biến mất: u k-j + u k+j = 2·u k , số giữa là trung bình cộng của hai số cách đều nó. Tổng quát: i + j = k + l thì u i + u j = u k + u l . Với 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19: u 2 + u 6 = 4 + 16 = 20 = 2·10; u 1 + u 7 = 1 + 19 = 20; u 3 + u 5 = 7 + 13 = 20.

Trong cấp số nhân, hai số ấy là u k /q j và u k ·q j : nhân lại, q biến mất: u k-j ·u k+j = u k 2 , và i + j = k + l thì u i ·u j = u k ·u l . Với 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64: u 2 ·u 6 = 2·32 = 64 = 8 2 ; u 1 ·u 7 = 1·64 = 64.

Số giữa của cấp số nhân chỉ xác định đến dấu

2, -6, 18 (q = -3): (-6) 2 = 36 = 2·18. Nhưng căn bậc hai của 36 là 6, còn số giữa là -6. Điều đúng là: độ lớn của số giữa bằng căn bậc hai của tích hai số cách đều nó; dấu phải lấy từ chính dãy.

Đặt ẩn ở giữa: tâm đối xứng nuốt mất bước

Ba số liên tiếp của cấp số cộng viết là a - d, a, a + d: tổng của chúng bằng 3a, chỉ phụ thuộc số giữa. Ba số liên tiếp của cấp số nhân viết là a/q, a, a·q (q khác 0): tích của chúng bằng a 3 , cũng chỉ phụ thuộc số giữa. Đặt ẩn ở tâm thay vì ở đầu là dùng chính tính đối xứng: bước đi sang hai phía tự triệt tiêu, nên bớt được một ẩn.

3. Tổng: cộng dồn một nhịp

Cấp số cộng. Viết S xuôi rồi viết ngược bên dưới: mỗi cột cộng lại đều bằng u 1 + u n , có n cột, nên 2S = n·(u 1 + u n ): S n = n·(u 1 + u n )/2 , tức số số hạng x trung bình của số đầu và số cuối . Với 1 + 4 + ... + 19 (7 số hạng): 7·(1 + 19)/2 = 70; n lẻ nên số giữa 10 đứng một mình, và nó đúng bằng trung bình (1 + 19)/2 = 10. Thay u n = u 1 + (n - 1)·d vào: S n = (d/2)·n 2 + (u 1 - d/2)·n , một hàm bậc hai theo n (d khác 0), không có hằng số (vì tổng của 0 số hạng bằng 0). Với các số lẻ 1, 3, 5, ... (u 1 = 1, d = 2): S n = n 2 , nên 1 + 3 + ... + 19 = 100.

Cấp số nhân. S = u 1 + u 1 q + ... + u 1 q n-1 và qS = u 1 q + ... + u 1 q n là cùng một hàng, lệch nhau một ô. Trừ đi, mọi số hạng giữa triệt tiêu: qS - S = u 1 q n - u 1 , nên S n = u 1 ·(q n - 1)/(q - 1) khi q khác 1; q = 1 thì S n = n·u 1 . Ví dụ 1 + 2 + 4 + ... + 512 (10 số hạng) = 2 10 - 1 = 1023. Cấu trúc: S n = A·q n - A với A = u 1 /(q - 1); chẳng hạn 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 = 3·2 5 - 3 (A = 3).

Điều ít tài liệu nói · cộng dồn nâng bậc nhịp cộng, giữ nguyên nhịp nhân

Tổng của một hàm bậc nhất là một hàm bậc hai; tổng của một hàm mũ (q khác 1) vẫn là một hàm mũ (cộng thêm hằng số). Vì thế S n của cấp số cộng (d khác 0) lớn lên như n 2 , còn S n của cấp số nhân lớn lên như chính q n khi q lớn hơn 1: với q = 2, tổng mọi số hạng trước luôn kém số hạng kế tiếp đúng u 1 (1 + 2 + 4 = 8 - 1).

n số hạng là n, không phải n - 1

Trong 1 + 2 + ... + 512, số 512 = 2 9 là số hạng thứ 10 . Tổng là 2 10 - 1 = 1023, không phải 2 9 - 1 = 511. Số mũ trong số hạng cuối đếm bước ; n trong S n đếm số hạng .

Một dòng sang chuyên đề giới hạn

Khi q nằm giữa -1 và 1, q n co về 0 nên S n dần tới u 1 /(1 - q): 1 + 0,5 + 0,25 + ... dần tới 1/(1 - 0,5) = 2. Vì sao và khi nào được nói "dần tới" là việc của chuyên đề giới hạn.

Lab 3 · Cộng cặp, nhân cặp TỔNG VÀ ĐỐI XỨNG

Loại

Số hạng đầu u 1

Công sai d

Công bội q

Số số hạng n

Cặp đối xứng

Cộng thẳng từng số

Công thức đóng

Cấu trúc theo n

Cặp đối xứng

Thử: q = 1 (công thức chia cho 0); d = 0; n lẻ để thấy số giữa đứng một mình; u 1 = 1, d = 2 để thấy S n = n 2 .

Đoán trước khi xem lời giải

Bốn phán đoán bằng trực giác

Bốn tình huống chưa xuất hiện ở trên. Chọn trước, đọc lí do sau; mỗi phương án sai có lời giải thích riêng.

Cộng từng cặp số hạng của hai cấp số cộng 1, 4, 7, ... và 2, 4, 6, ...: được 3, 8, 13, ... Dãy tổng thuộc nhịp nào?

Nhân từng cặp số hạng của hai cấp số nhân 1, 2, 4, ... và 3, 9, 27, ...: được 3, 18, 108, ... Dãy tích thuộc nhịp nào?

Một cấp số nhân có q = -2. Chỉ giữ các số hạng ở vị trí lẻ u 1 , u 3 , u 5 , ... Dãy mới là gì?

Cấp số cộng u n có công sai 3. Dãy 2 u n là gì?

Công cụ tư duy

Tám bí quyết của hai nhịp

Mỗi bí quyết là một lăng kính để suy luận, không phải mẹo để chép. Dòng "khi nào hỏng" quan trọng ngang dòng quy tắc.

BÍ QUYẾT 1

Hai nhịp: hằng ở hiệu hay ở thương

Quy tắc Lập hàng hiệu và hàng thương. Hằng ở hiệu: cấp số cộng, công sai d. Hằng ở thương: cấp số nhân, công bội q.

Vì sao u n+1 = u n + d nói đúng câu "hiệu luôn bằng d"; u n+1 = u n ·q nói "thương luôn bằng q" mỗi khi chia được.