Bến sông: hiệu khoảng cách và chi phí tối thiểu
Học cách đổi tổng đường cần xây bằng điều kiện hiệu khoảng cách, tìm cận tam giác và kiểm tra điểm đạt trên bờ cong.
XƯỞNG TƯ DUY TOÁN HỌC
HÌNH HỌC VÀ TỐI ƯU
Một bến sông. Hai khoảng cách. Một cận dưới.
Bờ sông cong không buộc ta phải bắt đầu bằng đạo hàm. Khi hiệu khoảng cách đã cố định, hãy đổi cách nhìn để biến hai con đường thành một đường gấp khúc.
- Ý tưởng thay khoảng cách
- Kỹ năng xét dấu bằng
- Kết quả đổi độ dài thành tiền
chặng học nối liền
phòng thí nghiệm tương tác
bài toán được giải trọn vẹn
Đường xanh là cửa sổ của bờ cong. Khi M nằm giữa A và C, đường gấp khúc A-M-C trở thành đoạn thẳng.
01
Từ lời văn tới đối tượng toán học
Ta đang tối thiểu hóa điều gì?
Một vị trí xây bến là một điểm. Mỗi con đường là một đoạn thẳng. Nếu cùng đơn giá, tối thiểu hóa tiền và tối thiểu hóa tổng chiều dài là cùng một bài toán.
Bài toán mở đầu
Bến sông và hai tuyến vận chuyển
Ba địa điểm A, B, C thỏa mãn , và . Mỗi điểm M trên bờ sông cong có khoảng cách đến A lớn hơn khoảng cách đến B đúng . Chọn M để xây hai đường thẳng từ bến đến B và đến C. Đơn giá xây dựng là 700 triệu đồng cho mỗi kilômét. Tìm tổng chi phí nhỏ nhất của hai đường.
Đại lượng thay đổi
M chạy trên bờ cong. Vì vậy , , thay đổi; riêng hiệu giữ nguyên.
Đại lượng cần giảm
Đặt , tính bằng km. Khi đó , tính bằng triệu đồng. Ta tìm trước rồi nhân đơn giá.
Đừng biến điều kiện thành mục tiêu
Đề bài nhắc tới MA vì nó mô tả bờ sông; con đường tới A không nằm trong chi phí cần trả. MA sẽ đóng vai trò đại lượng trung gian. Đây là lý do nên viết riêng hai dòng: một dòng cho tập vị trí cho phép, một dòng cho tổng cần tối thiểu.
VỊ TRÍ M nằm trên bờ cong
RÀNG BUỘC
MỤC TIÊU
ĐƠN GIÁ
Quy tắc 01
Cùng đơn giá dương, cùng vị trí tối ưu
Vì sao đúng? Nhân một tổng chiều dài với số dương giữ nguyên thứ tự lớn nhỏ. Vị trí làm tổng nhỏ nhất cũng làm chi phí nhỏ nhất.
Khi nào dùng? Hai đường có cùng đơn giá theo chiều dài, không có khoản phụ thuộc riêng vào vị trí M.
Giới hạn cần nhớ. Nếu hai đường có đơn giá khác nhau, mục tiêu là tổng có trọng số. Không được tự thay bằng tổng chiều dài không trọng số.
Mục tiêu kiến thức của chặng này: phân biệt ràng buộc quỹ tích và hàm mục tiêu; nhận ra phép biến đổi giữ nguyên bài toán tối ưu. Mức độ vừa, nên dành khoảng 5 phút để tự viết mô hình trước khi xem các bước tiếp theo.
Chi phí hai đường trong bài mở đầu phụ thuộc trực tiếp vào tổng nào?
Một câu hỏi dẫn đường
Nếu thay được MB bằng một biểu thức chứa MA, ta có thể nối A với C qua M. Đó là chỗ mà bất đẳng thức tam giác xuất hiện tự nhiên.
02
Nhìn đúng quỹ tích
Hiệu hai khoảng cách tạo một nhánh hypebol
Điều kiện cho biết mọi vị trí trên bờ đều gần B hơn A đúng một lượng cố định. Đó là một nhánh của quỹ tích hiệu khoảng cách, không phải đường trung trực.
Hai tiêu điểm A và B cố định; nhánh được chọn gồm những điểm có MA lớn hơn MB.
Quy tắc 02
Miền hiệu khoảng cách khả thi
Vì sao đúng? Từ bất đẳng thức tam giác, MA không vượt MB+AB, và MB không vượt MA+AB. Ghép hai bất đẳng thức này được chặn trên cho trị tuyệt đối của hiệu.
Khi nào dùng? Kiểm tra một ràng buộc hiệu khoảng cách trước khi dựng quỹ tích. Với hiệu d dương và hai tiêu điểm phân biệt, nhánh hypebol không suy biến ứng với .
Giới hạn cần nhớ. Khi d bằng 0, quỹ tích là đường trung trực. Khi d bằng AB, quỹ tích suy biến thành một tia. Khi d lớn hơn AB, không có điểm nào thỏa mãn.
Đặt trục để nhìn được nhánh đúng
Chọn , . Trung điểm hai tiêu điểm là . Khi hiệu là d với , đặt , . Nhánh gần B có tham số:
Đây là công cụ mô phỏng, không phải kiến thức bắt buộc để giải bài mở đầu. Hai hàm được định nghĩa bởi và ; chúng thỏa mãn . Vì , toàn nhánh này có hoành độ ít nhất .
Nhánh ở phía đối diện có hiệu . Đồ thị phương trình chứa cả hai nhánh nên chưa đủ để giữ nguyên điều kiện đề bài. Ta cần bổ sung , hoặc giữ tham số nhánh phải như trên.
Phòng 1 - Theo dấu một hiệu không đổi QUỸ TÍCH
Kéo M trên nhánh gần B. Thay d để nhìn bờ cong biến đổi, trong miền không suy biến . C không tham gia điều kiện của phòng này.
Tham số u
Hiệu d (km)
Nút chạy chỉ giúp quan sát; kéo thanh u luôn cho cùng kết quả. Chuyển động không tự khởi động. Chế độ giảm chuyển động giữ mô hình ở trạng thái tĩnh.
Tại sao tham số mô phỏng giữ đúng hiệu?
Với , tính bình phương các khoảng cách đến hai tiêu điểm cho thấy , . Biểu thức thứ hai dương vì . Trừ chúng đi, được . Vì vậy điểm mô phỏng không chỉ trông giống một bờ cong; nó thực sự thỏa mãn ràng buộc ở mỗi vị trí.
Quy tắc 03
Giữ dấu để giữ đúng nhánh
Vì sao đúng? Hiệu dương xác định phía gần B. Khi đổi thành phương trình chứa bình phương, thông tin dấu có thể bị mất và làm xuất hiện nghiệm của nhánh đối diện.
Khi nào dùng? Sau khi giải phương trình tọa độ, thay nghiệm trở lại hiệu hai khoảng cách ban đầu. Với mô hình A=(-4,0), B=(0,0), dùng nhánh có x+2 dương.
Giới hạn cần nhớ. Phương trình hypebol hai nhánh tự nó không mô tả đầy đủ bờ được chọn. Cũng không được gán các đầu mút hữu hạn cho bờ nếu bài toán không cho giới hạn tương ứng.
03
Thay một đoạn bằng một đoạn khác
Từ hai đường đến một đường gấp khúc
Bước quyết định chỉ là một phép chuyển vế: . Sau đó tổng đường cần xây trở thành tổng hai cạnh của tam giác A-M-C, trừ một hằng số.
Ta chưa đổi vị trí M và cũng chưa thêm một tuyến đường cần trả tiền. Đây là đẳng thức số học đúng với mọi điểm trên bờ.
Hãy hình dung việc đi từ A tới C qua M. Nếu M nằm lệch khỏi đoạn AC, đường gấp khúc A-M-C dài hơn đoạn thẳng AC. Nếu M nằm trên đoạn AC, hai chặng ghép lại đúng thành AC. Chính so sánh này cho một cận dưới mà không cần biết phương trình bờ sông.
Thay MB bằng MA-2 làm lộ đường gấp khúc A-M-C. Phần trừ 2 km là hằng số của ràng buộc.
Quy tắc 04
Đổi mục tiêu bằng đúng ràng buộc
Vì sao đúng? Chuyển vế được MB=MA-d, rồi cộng MC vào hai vế. Đẳng thức đúng từng điểm, nên hai biểu thức luôn có cùng vị trí tối ưu trên cùng tập cho phép.
Khi nào dùng? Bài toán cần giảm tổng MB+MC, trong khi quỹ tích cho hiệu MA-MB cố định. Ta muốn nối hai tiêu điểm đầu A và C bằng một đường gấp khúc.
Giới hạn cần nhớ. Nếu ràng buộc đổi thành MB-MA=d, phải dùng MB=MA+d. Trừ nhầm dấu sẽ làm cận dưới và chi phí sai ngay từ đầu.
Cận dưới có thể mang ý nghĩa nào?
Bất đẳng thức tam giác cho . Vì thế . Trong bài mở đầu, d bằng 2. Vế phải độc lập với M nên là một cận dưới chung cho toàn bờ. Tuy nhiên, một số là cận dưới không tự động biến thành giá trị nhỏ nhất. Bước tiếp theo phải kiểm tra xem có điểm hợp lệ tạo được dấu bằng hay không.
Vì sao không nên lấy rồi dừng lại?
Bước 1
Bất đẳng thức đó đúng, nhưng dấu bằng cần M thuộc đoạn BC. Chưa có lý do để bờ cong đi qua vị trí phù hợp trên đoạn này.
Bước 2
Dùng ràng buộc MA-MB=2 để thay MB. Tổng mục tiêu trở thành MA+MC-2, có cận dưới AC-2.
Bước 3
Trong dữ kiện hiện tại, BC=2 còn AC-2 lớn hơn 3. Đẳng thức mới sử dụng thêm thông tin về bờ cong và tạo được cận dưới chặt hơn. Sau đó vẫn cần chứng minh điểm đạt.
Phép biến đổi nào giữ đúng dấu của hiệu ?
So với cách đặt tọa độ ngay
Viết trực tiếp tổng hai căn thức rồi đạo hàm có thể làm bài toán dài hơn, trong khi điều kiện hiệu khoảng cách đã cho phép loại một căn. Tọa độ vẫn hữu ích để kiểm tra hình và dựng điểm, nhưng không nhất thiết là phương pháp tối ưu hóa đầu tiên.
04
Chứng minh điểm đạt
Dấu bằng là một điều kiện vị trí
Muốn được , M phải nằm trên đoạn AC. Thẳng hàng thôi chưa đủ: nếu M nằm ngoài đoạn, đường gấp khúc vẫn dài hơn AC.
Quy tắc 05
Cận dưới và dấu bằng của tam giác
Vì sao đúng? Đổi mục tiêu thành MA+MC-d rồi dùng MA+MC không nhỏ hơn AC. Dấu bằng trong bất đẳng thức tam giác xảy ra khi M nằm trên đoạn AC.
Khi nào dùng? Tạo cận dưới cho mọi điểm hợp lệ, đồng thời xác định ứng viên đạt bằng bằng giao của đoạn AC với nhánh MA-MB=d.
Giới hạn cần nhớ. Nếu đoạn AC không gặp nhánh được chọn, AC-d chỉ là cận dưới. Không được gắn ký hiệu nhỏ nhất cho nó hoặc coi giao với đường thẳng AC kéo dài là đủ.
Bài mở đầu thật sự có giao điểm cần thiết
Đặt , xét X chuyển động trên đoạn AC. Tại A, . Tại C, . Ta sẽ tính , nên . Hiệu khoảng cách biến thiên liên tục. Vì 2 nằm giữa giá trị ở A và giá trị ở C, có ít nhất một điểm M trên đoạn AC thỏa mãn .
Vì sao giao điểm ở đây là duy nhất?
Gọi , . Nếu , thì . Mặt khác, . Lấy hiệu hai dòng cho thấy f không giảm dọc đoạn AC. Trong bài mở đầu, B không nằm trên đường thẳng AC; tam giác tương ứng không suy biến, nên bất đẳng thức là nghiêm và f tăng nghiêm. Vì vậy mức 2 được cắt đúng một lần.
M tối ưu nằm giữa hai đầu đoạn AC nên AM+MC=AC. Vị trí trên đoạn được vẽ đúng theo tỉ lệ khoảng cách.
Phòng 2 - Đo độ vòng của một đường gấp khúc CẬN DƯỚI VÀ ĐẠT BẰNG
Giữ dữ kiện bài mở đầu. Đổi vị trí M để quan sát tổng đường và phần dài thêm. Nút “Đến dấu bằng” đặt đúng giao điểm M của đoạn AC với bờ.
Vị trí M qua tham số u
Độ vòng luôn không âm. Trên bờ, cũng có . Khi E bằng 0, tổng hai đường đạt cận dưới.
Nếu thẳng hàng nhưng M nằm ngoài đoạn AC, có được dấu bằng không?
Bước 1
Tách hai vị trí ngoài đoạn: M vượt qua A hoặc M vượt qua C. Cả hai đều tạo một đoạn phải đi rồi quay lại.
Bước 2
Chẳng hạn M vượt qua C thì MA=AC+CM, nên MA+MC=AC+2MC. Tổng này lớn hơn AC nếu M khác C.
Bước 3
Dấu bằng cần M thuộc đoạn đóng AC. M có thể trùng một đầu đoạn nếu đầu đó hợp lệ, nhưng không thể nằm trên phần kéo dài ngoài đoạn.
Điều kiện hình học chính xác để là gì?
05
Một lời giải gọn nhưng hoàn chỉnh
Tính đoạn AC, rồi quy đổi chi phí
Một lời giải tốt có ba phần: tính cận dưới, kiểm tra dấu bằng, đổi đơn vị. Ba phần này ngắn nhưng không phần nào được bỏ.
Ví dụ 1 - Bài mở đầu
Chi phí tối thiểu cho bến sông
Mức độ vừa; khoảng 8 phút. Kiến thức: định lý côsin, hiệu khoảng cách, bất đẳng thức tam giác, điều kiện đạt dấu bằng.
Bước 1. Tìm khoảng cách trực tiếp AC
Góc đã biết nằm tại B, giữa BA và BC. Trong tam giác ABC:
Vì , thay số được:
Góc tù làm cạnh đối diện dài hơn kết quả khi dùng góc nhọn bù nó. Dấu âm trước tích côsin và giá trị âm của côsin tạo một phần cộng 8, chứ không phải trừ 8.
Bước 2. Chặn dưới tổng chiều dài
Trên bờ có . Bởi vậy:
Mọi vị trí cho phép đều có tổng chiều dài ít nhất bằng biểu thức này.
Bước 3. Chỉ ra vị trí đạt cận
Trên đoạn AC, hiệu liên tục. Ở đầu A, hiệu bằng -4; ở đầu C, hiệu bằng . Vậy có M trên đoạn AC với hiệu bằng 2. M thuộc nhánh bờ đã cho và cho . Do đó:
Bước 4. Nhân đúng đơn giá
Giá trị gần đúng là 2304,05 triệu đồng, tương đương khoảng 2,30405 tỷ đồng. Nếu cần làm tròn đến triệu đồng thì là 2304 triệu đồng.
Giữ căn thức tới bước cuối giúp tránh làm tròn chiều dài quá sớm. Chẳng hạn làm tròn S thành 3,3 km trước khi nhân sẽ cho 2310 triệu đồng, lệch khoảng 5,95 triệu so với giá trị chưa làm tròn.
Quy tắc 06
Định lý côsin phải gắn đúng góc
Vì sao đúng? Cạnh AC đối diện góc tại B; hai cạnh kề góc đó là AB và BC. Công thức luôn trừ hai lần tích cạnh kề với côsin của góc xen giữa.
Khi nào dùng? Tính cạnh chưa biết khi cho hai cạnh và góc xen giữa; ở đây dùng 4, 2 và 120 độ.
Giới hạn cần nhớ. Không đổi góc ABC thành góc giữa hai vectơ AB và BC. Vectơ BA và AB ngược hướng, nên việc đảo vectơ làm đổi dấu côsin.
Kiểm tra riêng bằng tọa độ
Với , , tia BA hướng sang trái. Để góc giữa BA và BC bằng 120 độ, chọn . Khi đó , và tích vô hướng của BA với BC là -4. Chia cho được -1/2, đúng côsin góc đã cho. Khoảng cách AC là , trùng với cách tính hình học.
Hệ tọa độ dùng B làm gốc. A ở bên trái; C có hoành độ dương để góc tại B bằng 120 độ.
Nếu đặt nhầm , góc giữa BA và BC trở thành 60 độ và . Sai số này không xuất phát từ bất đẳng thức tối ưu; nó là lỗi mô hình hình học ngay từ đầu.
Để định vị bến mà không cần đưa vào lời giải chính, đặt . Có . Bình phương đẳng thức và rút gọn cho:
Công thức này dùng B làm gốc; sau khi tính phải kiểm tra và , rồi thay lại hiệu ban đầu. Trong dữ kiện hiện tại, , xấp xỉ 0,637146. Ta được M xấp xỉ , với xấp xỉ 3,371459 km và xấp xỉ 1,371459 km. Khoảng cách MC xấp xỉ 1,920043 km; tổng hai đường xấp xỉ 3,291503 km.
Nếu tổng nhỏ nhất là km, biểu thức chi phí đúng theo triệu đồng là gì?
Vai trò của cách giải thứ hai
Tọa độ xác nhận góc, độ dài và điểm đạt. Nó là kiểm tra độc lập cho lời giải ngắn. Không cần dùng tọa độ M để tìm chi phí nếu đã chứng minh dấu bằng bằng tính liên tục.
06
Chuyển giao ý tưởng
Ba biến thể, ba điều cần kiểm tra khác nhau
Giữ cùng cấu trúc “hiệu khoảng cách cố định” nhưng thay dữ kiện. Điều còn nguyên là phép đổi mục tiêu; điều phải xét lại là khả năng gặp đoạn AC.
Ví dụ 2 - Đổi kích thước và đơn giá
Hai địa điểm cách nhau 6 km, hiệu vẫn là 2 km
Cho , , . Bến M chạy trên nhánh . Đơn giá cả hai đường M-B và M-C là 500 triệu đồng/km. Tính tổng chi phí nhỏ nhất.