Hai vật chuyển động: khoảng cách nhỏ nhất
Làm chủ khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật chuyển động bằng một đồng hồ chung, tam thức bậc hai và phép chiếu vectơ; tự khám phá nghiệm trong tương lai, cửa…
LUKATO · TOÁN HỌC
CHUYỂN ĐỘNG · VECTƠ · CỰC TIỂU
Hai vật chuyển động Khi nào gần nhất?
Từ xe trên cầu và thuyền dưới nước đến một công thức chung: đồng bộ thời gian, theo dõi vectơ tương đối, rồi tìm điểm gần gốc nhất.
- 3 phòng khám phá
- 6 ví dụ có lời giải
- 8 quy tắc dùng lại
2 s
thời điểm của bài mở đầu
30 m
khoảng cách nhỏ nhất
đồng hồ cho hai vật
Minh họa không gian định tính; độ cao là một thành phần thật của khoảng cách.
01
MÔ HÌNH
Đo khoảng cách tại cùng một thời điểm
Hai vật chuyển động không cần gặp nhau để có một thời điểm gần nhau nhất. Điều phải đồng bộ trước tiên là chiếc đồng hồ.
Bài toán mở đầu
Xe trên cầu, thuyền trên nước
Một thuyền chạy thẳng từ nam lên bắc với tốc độ . Một ô tô chạy thẳng từ tây sang đông trên cầu với tốc độ . Điểm nằm trên mặt nước, điểm nằm ngay phía trên , và .
Chọn lúc bắt đầu quan sát là . Khi ấy thuyền ở phía nam , cách một đoạn ; xe ở phía tây , cách một đoạn . Hai phương chuyển động vuông góc nhau. Bỏ qua kích thước của hai vật và coi vận tốc không đổi.
Mục tiêu: tìm khoảng cách Euclid nhỏ nhất giữa xe và thuyền khi . Thời gian dùng giây, tọa độ dùng mét.
Từ câu chuyện đến cấu trúc
Khoảng cách có ba thành phần: lệch theo hướng đông - tây, lệch theo hướng bắc - nam, và chênh lệch độ cao. Cả ba phải thuộc cùng thời điểm.
Xe qua sau giây. Thuyền qua sau giây. Hai con số này không tạo thành một cặp vị trí đồng thời.
Ở thời điểm gần nhất, xe có thể đã qua , trong khi thuyền chưa đến . Vì vậy cần tọa độ có dấu, thay vì chỉ giữ các đoạn đường chưa đi hết.
Ba mốc trên cùng trục thời gian. Mốc gần nhất sẽ được suy ra từ hàm khoảng cách, không từ thời điểm đến giao điểm.
01. ĐỒNG BỘ Một biến cho cả hai vật.
02. LẤY HIỆU Vectơ nối hai vị trí đồng thời.
03. TỐI ƯU Tối thiểu hóa bình phương độ dài.
04. ĐỐI CHIẾU Kiểm tra miền thời gian và đơn vị.
Để biến bài toán thành đại số, ta không cần biết chiều dài toàn bộ cầu hay kích thước hồ. Ta cần biết vị trí ban đầu, hướng và vận tốc trong khoảng xét. Giả thiết chuyển động thẳng đều cho phép kéo dài công thức vị trí; nếu vật dừng hoặc đổi hướng, phải chia thời gian thành các chặng riêng.
Quy tắc 1
Khoảng cách là độ dài của vectơ nối
Vì sao? Mỗi thành phần của là một hiệu tọa độ. Định lý Pythagore trong hệ trực chuẩn cho độ dài của vectơ đó.
Dùng khi: Hai vị trí được viết trong cùng hệ tọa độ, cùng đơn vị và cùng thời điểm.
Giới hạn: Đổi thứ tự hai vật chỉ đổi dấu vectơ, không đổi khoảng cách. Không được lấy vị trí của hai vật ở hai thời điểm khác nhau.
Nếu xe đã đến Q còn thuyền chưa đến P, có thể kết luận khoảng cách nhỏ nhất bằng 20 m không?
02
TỌA ĐỘ
Giải đầy đủ bài toán xe - thuyền
Một hệ trục tốt giữ nguyên dấu sau khi vật đi qua giao điểm. Ta sẽ tối ưu một công thức duy nhất, không cần tách trước và sau khi qua P, Q.
Ví dụ 1 · Cơ bản · 6 phút
Chọn hệ trục và viết vị trí
Năng lực luyện: mô hình hóa chuyển động thẳng đều trong hệ tọa độ không gian và tìm cực tiểu của một tam thức bậc hai.
Đặt gốc tại , trục hướng đông, hướng bắc và hướng lên. Khi đó . Gọi là thuyền, là xe.
Thuyền chỉ thay đổi tọa độ ; xe chỉ thay đổi tọa độ . Chênh lệch độ cao luôn là . Hiệu hai vị trí là
Bước 1 · Bình phương khoảng cách. Ba hướng trực giao nên ba bình phương cộng lại:
Bước 2 · Khai triển có kiểm soát. Hệ số của là tổng bình phương hai tốc độ; hệ số của đến từ hai tích chéo.
Bước 3 · Hoàn thành bình phương. Tách hệ số , rồi bổ sung và bù lại hằng số cần thiết:
Với mọi thời gian, . Giá trị nhỏ nhất của bình phương khoảng cách là , đạt tại . Vì , thời điểm này thuộc miền đang quan sát.
Bước 4 · Thay ngược để hiểu kết quả. Khi , xe ở và thuyền ở . Ba độ lệch là , , mét, nên
Xe đã đi qua một đoạn , còn thuyền vẫn ở phía nam một đoạn . Đây là cấu hình đồng thời làm tổng ba bình phương nhỏ nhất.
Hình chiếu ngang ở t = 0. Trên hình, đường xe là trục x, đường thuyền là trục y; độ cao không được xóa khỏi công thức khoảng cách.
Quy tắc 2
Tối ưu bình phương trước, lấy căn sau
Vì sao? Hàm căn bậc hai tăng trên miền số không âm. Nếu một giá trị bình phương nhỏ hơn, độ dài tương ứng cũng nhỏ hơn.
Dùng khi: Khoảng cách luôn không âm và công thức bình phương đã đúng về hình học.
Giới hạn: Giá trị nhỏ nhất của có đơn vị mét vuông. Đáp số khoảng cách phải lấy căn và có đơn vị mét.
Phòng khám phá 1 · Theo dõi một đồng hồ XE VÀ THUYỀN
Kéo thời gian rồi so sánh vị trí, ba thành phần và khoảng cách. Đường trắng nối đúng hai điểm đang xét. Hình không gian là phép chiếu song song để nhìn rõ độ cao; số đo được tính trong hệ tọa độ thật.
Thời gian t (s) 0,00 s
Lệch x
Lệch y
Độ cao
20 m
Khoảng cách
Mô phỏng bắt đầu ở trạng thái dừng. Có thể dùng hoàn toàn thanh trượt và các nút mốc; chế độ giảm chuyển động cũng giữ trạng thái dừng.
Tại t = 1,5 s xe ở Q. Vì sao đây chưa phải thời điểm gần nhất?
Bước 1
Tính vị trí của thuyền bằng cùng giá trị , không lấy vị trí của nó ở giây thứ 4.
Bước 2
Thuyền còn cách một đoạn . Do đó .
Bước 3
Ở , . Dịch thêm một chút sau lúc xe qua làm phần lệch theo giảm mạnh hơn phần lệch theo tăng.
03
ĐẠI SỐ
Nhận diện parabol phía sau chuyển động
Với chuyển động thẳng đều, vectơ nối phụ thuộc tuyến tính vào thời gian. Bình phương độ dài của nó luôn là một tam thức bậc hai lồi, trừ trường hợp vận tốc tương đối bằng 0.
Hoàn thành bình phương
Với , , việc viết lại dưới dạng một bình phương cộng hằng số cho thấy ngay cả thời điểm lẫn giá trị nhỏ nhất.
Trong bài xe - thuyền, , , . Vì vậy trục đối xứng là và đỉnh có tung độ . Phương pháp này không cần đạo hàm, đồng thời chứng minh cực tiểu toàn cục.
Đạo hàm
Cũng có thể xét tốc độ thay đổi của bình phương khoảng cách. Trước đỉnh, nó giảm; sau đỉnh, nó tăng.
Phương trình cho . Nhưng giải phương trình đạo hàm chỉ tạo ra một ứng viên; vẫn cần kiểm tra hệ số và miền thời gian. Đỉnh nằm ở quá khứ thì không thể chọn trong quan sát tương lai.
Đồ thị dùng F = d bình phương. Các tọa độ đường cong được lấy từ F(t) = 500(t - 2) bình phương + 900; trục đứng được cắt để nhìn rõ đỉnh.
Quy tắc 3
Đỉnh của bình phương khoảng cách
Vì sao? Bình phương không âm và triệt tiêu tại . Đây là thời điểm tối ưu nếu xét trên toàn trục thời gian.
Dùng khi: Hai vật chuyển động thẳng đều và bình phương khoảng cách có hệ số bậc hai dương.
Giới hạn: là nghiệm tự do. Với hoặc một cửa sổ quan sát, phải điều chỉnh theo biên; nếu , không chia cho .
Ví dụ 2 · Trung bình · 5 phút
Hai đường vuông góc, tốc độ bằng nhau
Hai thiết bị được coi là chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng ngang vuông góc; đường thứ nhất cao hơn đường thứ hai . Tại , thiết bị phía trên còn cách giao điểm , thiết bị phía dưới còn cách giao điểm . Cả hai tiến về giao điểm với tốc độ , tiếp tục đi thẳng sau khi qua đó. Tìm khoảng cách nhỏ nhất từ .
Mô hình: chọn các tọa độ tương ứng để vectơ nối là .
Chọn thời điểm: giây là số không âm nên được nhận. Khi ấy hai thành phần ngang lần lượt là và mét. Thiết bị phía dưới đã qua giao điểm, còn thiết bị phía trên chưa tới.
Kiểm tra trực tiếp: tổng khớp với giá trị tại đỉnh. Hai thiết bị đến giao điểm sau và giây; thời điểm giây nằm giữa hai mốc này vì ở đây hai tốc độ bằng nhau.
Không suy rộng quá mức: 'lấy trung bình hai thời gian đến giao điểm' chỉ hợp trong cấu hình trực giao có hai tốc độ bằng nhau. Nếu thay một tốc độ, các bình phương có trọng số khác nhau và trung bình cộng không còn đúng.
Trong ví dụ xe - thuyền, vì sao không lấy trung bình của 1,5 s và 4 s?
Dạng trọng số giúp nhìn nhanh
Nếu , đặt và là hai thời điểm đi qua giao điểm. Khi hai hướng vuông góc và độ cao cố định, nghiệm tự do là trung bình có trọng số , :
Với xe - thuyền, . Độ cao cố định thêm vào hàm một hằng số nên không thay đổi thời điểm này.
04
VECTƠ
Một vật đứng yên trong hệ tương đối
Thay vì theo dõi hai vị trí, hãy theo dõi vectơ từ thuyền đến xe. Trong hệ tương đối, bài toán trở thành tìm điểm trên một đường thẳng hoặc một tia gần gốc nhất.
Giả sử và . Lấy hiệu tọa độ cho
Đây là một đường thẳng trong không gian vectơ vị trí tương đối khi cho chạy trên toàn trục số. Nếu chỉ xét từ bây giờ, nó là tia bắt đầu tại . Vectơ có thể có hướng và độ dài rất khác từng vận tốc riêng.
Sơ đồ vận tốc trong mặt phẳng ngang. Với hai phương vuông góc, vận tốc tương đối có thành phần u và -v.
Khai triển bằng tích vô hướng
Độ dài bình phương là tích vô hướng của vectơ với chính nó. Phân phối tích vô hướng, ta có
Trong ký hiệu tam thức, , , . Như vậy công thức đỉnh và phép chiếu là cùng một kết quả viết bằng hai ngôn ngữ.
Quy tắc 4
Chiếu vuông góc, rồi nhận thời gian tương lai
Vì sao? Tại cực tiểu trong miền trong, . Vectơ nối vuông góc với hướng chuyển động tương đối; nếu chân chiếu ở quá khứ, điểm đầu tia gần nhất.
Dùng khi: Vectơ vận tốc tương đối khác , chuyển động thẳng đều, miền thời gian .
Giới hạn: Nếu , công thức phân số không xác định và mọi thời điểm có cùng khoảng cách. Với đoạn thời gian hữu hạn cần chặn cả biên trên.
Hình minh họa định tính cho chân chiếu trên một đường thẳng. Đoạn màu xanh từ O tới chân chiếu vuông góc với đường tương đối; trên tia còn phải kiểm tra hướng thời gian.
Kiểm tra lại ví dụ 1 trong ba dòng
Ta có và . Do đó và .
Chân chiếu thuộc tương lai, nên . Vectơ lúc gần nhất là ; tích vô hướng xác nhận tính vuông góc.
Dấu của tích vô hướng nói gì?
Nếu , bình phương khoảng cách đang giảm ở lúc đầu. Nếu tích này dương, hai vật đang tách xa ngay khi bắt đầu quan sát. Nếu bằng 0 và , lúc đầu chính là đỉnh.
Điều này xét tốc độ thay đổi của khoảng cách giữa hai vật, không phải việc mỗi vật có đang tiến về một mốc cố định hay không. Hai vật có thể cùng chạy về một giao điểm nhưng đến vào hai lúc khác nhau.
Chỉ là cực tiểu trên toàn đường thẳng; trên tia phải kiểm tra t0 có được nhận hay không.
Biểu thức trên là định lý Pythagore cho phép tách thành phần song song và phần vuông góc với . Phần song song có thể bị triệt tiêu bằng cách chọn thời gian; phần vuông góc không đổi. Không được dùng ngay giá trị này nếu thời điểm triệt tiêu nằm ngoài miền quan sát.
Phòng khám phá 2 · Tự thiết kế chuyển động TỐI ƯU THẬT
Hai đường vẫn vuông góc, chênh lệch độ cao h không đổi. a và b là khoảng cách ban đầu trước giao điểm. Vận tốc u, v dương nghĩa là tiến về giao điểm; số âm nghĩa là đi xa giao điểm. Khi cả hai bằng 0, khoảng cách giữ nguyên.
a: lệch ban đầu của xe (m)
b: lệch ban đầu của thuyền (m)
u: vận tốc xe có dấu (m/s)
v: vận tốc thuyền có dấu (m/s)
h: chênh độ cao (m)
t: thời điểm đang xem (s)
Hình dùng cùng tỷ lệ trên hai trục ngang. Đường mảnh là đường thẳng tương đối đầy đủ; đoạn đậm bắt đầu từ t = 0. Độ cao h được cộng trong các số đo, không thể hiện bằng độ dài trên hình phẳng.
Nghiệm tự do
Thời điểm nhận
Khoảng cách nhỏ nhất
Khoảng cách đang xem
Giữ các độ lệch và vận tốc, tăng độ cao h từ 20 m lên 30 m. Điều gì thay đổi?
05
ĐIỀU KIỆN
Cửa sổ thời gian có thể đổi đáp số
Một thời điểm tối ưu trên cả đường thẳng có thể không thuộc lúc ta được quan sát. Hãy xác định miền trước khi kết luận.
Nếu đề chỉ cho quan sát trong , với , chuyển động tương đối đi trên một đoạn thẳng. Ta tìm điểm gần gốc nhất trên đoạn ấy. Vì bình phương khoảng cách giảm đến đỉnh rồi tăng, nghiệm tự do chỉ cần được chặn về đoạn cho phép.
Quy tắc 5
Chặn nghiệm tự do vào cửa sổ
Vì sao? Nếu đỉnh ở trước đoạn, hàm tăng trên cả đoạn nên chọn . Nếu đỉnh ở sau đoạn, hàm giảm trên cả đoạn nên chọn . Nếu đỉnh nằm trong đoạn, giữ .
Dùng khi: , chuyển động thẳng đều và một cửa sổ đóng không rỗng .
Giới hạn: Nếu , miền rỗng. Nếu , chỉ có một thời điểm để xét. Nếu vận tốc thay đổi trong đoạn, phải xét từng chặng.
Ba tình huống của phép chặn. Chấm xanh lam là nghiệm tự do; chấm xanh lá là nghiệm được nhận trong đoạn màu vàng.
Ví dụ 1 trong [0; 1]
Đỉnh nằm sau cửa sổ. Khoảng cách còn đang giảm nên chọn biên cuối .
Đây là kết quả tốt nhất trong giây đầu tiên, dù chưa tốt nhất nếu được quan sát lâu hơn.
Ví dụ 1 trong [3; 5]
Đỉnh ở trước cửa sổ. Khoảng cách đang tăng suốt đoạn nên chọn biên đầu .
Hai cửa sổ trên có cùng giá trị tối ưu do hai thời điểm và đối xứng quanh .
Ví dụ 1 chỉ tại t = 4
Miền chỉ có một điểm. Không có quyền di chuyển về đỉnh ở giây thứ 2.
Thuyền ở , nhưng xe đã ở phía đông một đoạn .
Phòng khám phá 3 · Giới hạn thời gian quan sát ĐOẠN HAY ĐƯỜNG?
Chọn một mô hình chuyển động tương đối rồi đổi hai biên L, U. Điểm xanh là nghiệm nhận trong đoạn; đường nét đứt chỉ nghiệm tự do nếu có. Khi L lớn hơn U, cửa sổ không hợp lệ và không có kết quả tối ưu.