Mô hình hóa Toán 12: bốn bước biến câu chuyện thành phương trình
Chuyên đề Toán 12 về mô hình hóa theo cấu trúc đề thi mới: bốn bước Đọc, Dựng, Tính, Kiểm để biến câu chuyện thực tế thành hàm số, hình học tọa độ hoặc cây…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12
MÔ HÌNH HÓA · ĐỀ THI THEO CẤU TRÚC MỚI
Từ câu chuyện đến phương trình:
bốn bước mô hình hóa
Một cây non lớn qua hai giai đoạn, một bể chứa hình cầu đặt sát tường dưới mái che, một lớp học có tỉ lệ bạn nam và bạn nữ, một đoàn xe tải chở đất. Đề mới không hỏi em nhớ công thức nào. Đề hỏi em có biến được lời kể thành phép tính , tính cho đúng, rồi trả kết quả về đúng nghĩa của câu chuyện hay không. Mọi bài đều đi qua cùng một vòng lặp: Đọc, Dựng, Tính, Kiểm.
- 1. Đọc: tách đại lượng, điều kiện và câu hỏi
- 2. Dựng: chọn hàm, hệ trục hoặc cây xác suất
- 3. Tính rồi Kiểm: đối chiếu lại với câu chuyện
4 bước
một vòng lặp dùng cho mọi bài
3 phòng lab
ghép hàm, quả cầu và mái che, cây xác suất
16 bài
giải đủ bốn bước, phân tích từng ý, từng phương án
01
Tổng quan
Một câu chuyện, bốn bước, và một vòng quay trở về câu chuyện
Mở phần Đúng/Sai và phần trả lời ngắn của đề mới, em sẽ thấy hầu như không còn phương trình trần trụi. Thay vào đó là chiều cao của một cây non, bể chứa hình cầu, tỉ lệ bạn giỏi trong lớp, chuyến xe chở đất. Phép tính ở giữa thường là kiến thức quen thuộc. Chỗ dễ trượt nằm ở hai đầu: đọc đề thành toán và đọc kết quả thành lời .
1 · ĐỌC Tách đại lượng, điều kiện, câu hỏi. Đổi mỗi cụm từ thành một đối tượng toán.
2 · DỰNG Chọn hàm số, hệ trục tọa độ hoặc cây xác suất cho đúng đại lượng.
3 · TÍNH Dùng đúng công cụ, giữ giá trị chính xác, chỉ làm tròn ở bước cuối.
4 · KIỂM Đối chiếu bối cảnh, đơn vị, độ lớn, loại nghiệm không hợp lý.
Ba thế giới khác nhau, cùng một bộ khung
Sinh trưởng
Hàm số mũ và giới hạn
Cây non lớn nhanh rồi chậm dần. Đề cho hai công thức nối nhau. Chỗ khó: hiểu từ "khớp nhau" nghĩa là gì để lập đúng hai phương trình.
Không gian
Tọa độ, mặt phẳng, mặt cầu
Bể cầu sát tường, mái che nghiêng. Đề cho hình ảnh. Chỗ khó: đặt hệ trục và nhận ra "chạm" nghĩa là khoảng cách bằng bán kính.
Ngẫu nhiên
Xác suất có điều kiện
Tỉ lệ nam, nữ, người tham gia câu lạc bộ. Đề cho phần trăm lồng nhau. Chỗ khó: biết phần trăm nào là "trong số", phần trăm nào là "trên tất cả".
Vì sao bốn bước chứ không phải hai
Nếu chỉ có "đọc" và "tính", em sẽ nộp ra một con số mà không biết nó có hợp lý hay không. Một chiều cao âm, một xác suất lớn hơn 1, một số xe tải lẻ nửa chiếc đều là con số tính đúng nhưng trả lời sai. Bước Kiểm chính là chỗ đưa con số quay về câu chuyện, và nó nhanh hơn em tưởng: thường chỉ vài giây ước lượng.
Đoán trước khi tính
Cây non có chiều cao h(t)=8e^{0{,}4t} cm trong 5 tuần đầu. Từ tuần 5, chiều cao theo g(t)=a-be^{-0{,}25t} và nối mượt với giai đoạn trước. Ở tuần 5 cây cao khoảng 59 cm và đang lớn khoảng 23{,}6 cm mỗi tuần. Theo em, chiều cao tối đa cây có thể đạt gần nhất với giá trị nào?
Mẹo vừa dùng ở đáp án đúng là một phép ước lượng độ lớn. Bước Kiểm của vòng lặp sẽ dạy em dùng nó cho mọi bài.
02
Bước 1 · Đọc
Gạch chữ trước khi viết số: ba loại chữ và một cuốn từ điển dịch
Đọc đề thực tế giống đọc bản đồ: em phải biết mỗi kí hiệu chỉ cái gì thì mới đi được. Bước Đọc không cần tính toán nào, nhưng nó quyết định em có đủ phương trình để giải hay không.
Một cây non được theo dõi chiều cao. Trong 5 tuần đầu, chiều cao (đơn vị cm) sau t tuần là h(t)=8e^{0{,}4t} . Từ tuần thứ 5 trở đi, cây lớn chậm dần theo quy luật g(t)=a-be^{-0{,}25t} với a,b là hằng số dương , sao cho chiều cao và tốc độ lớn của cây không bị gián đoạn tại thời điểm t=5 . Hỏi chiều cao tối đa cây có thể đạt là bao nhiêu cm, làm tròn đến hàng đơn vị?
Đại lượng và công thức đã cho Điều kiện ràng buộc Câu hỏi cuối cùng, đơn vị, làm tròn
Đọc xong, em phải trả lời được ba câu ngắn. Có những ẩn nào? Hai ẩn, a và b. Có bao nhiêu điều kiện? "Chiều cao không gián đoạn" là một phương trình, "tốc độ lớn không gián đoạn" là phương trình thứ hai, vậy đủ hai phương trình cho hai ẩn. Hỏi cái gì? Chiều cao tối đa, tức giá trị mà g(t) tiến tới khi t rất lớn, chứ không phải g(5).
KỸ THUẬT 1
Gạch ba loại chữ, rồi đếm ẩn và đếm điều kiện
Quy tắc
Đọc hai lượt. Lượt một gạch ba màu: vàng cho đại lượng và công thức đã cho, xanh cho điều kiện ràng buộc (các chữ như "sao cho", "khớp", "chạm", "đặt sát"), tím cho câu hỏi cuối cùng cùng đơn vị và yêu cầu làm tròn. Lượt hai đếm: số ẩn phải bằng số điều kiện viết được thành phương trình.
Lý do
Đề thực tế nói điều kiện bằng lời chứ không bằng kí hiệu. Điều kiện chưa được dịch thành phương trình thì rất dễ bị bỏ sót, mà thiếu một điều kiện nghĩa là thiếu một phương trình và bài toán có vô số đáp án.
Khi gãy
Khi đề có dữ kiện ẩn : không có chữ nào nói, nhưng hình vẽ hoặc ngữ cảnh cho biết. Ví dụ bể cầu đặt trên mặt đất thì cao độ tâm bằng bán kính. Khi đó hãy tự hỏi: vật này đang nằm ở đâu, chạm vào cái gì?
Cuốn từ điển: cụm từ trong đề và đối tượng toán tương ứng
Mỗi cụm từ khóa dưới đây gắn với đúng một đối tượng toán. Học thuộc cột giữa, vì nó là thứ em phải viết ra ngay sau khi đọc.
Cụm từ trong đề
Dịch thành
Công cụ và lưu ý
tốc độ lớn, tốc độ thay đổi tại thời điểm t_0
f'(t_0)
Đạo hàm. Không phải f(t_0).
chiều cao tối đa, về lâu dài, không thể vượt quá
\lim_{t→+\infty}g(t)
Tiệm cận ngang của đồ thị.
hai hàm khớp nhau, nối mượt tại t_0
g(t_0)=h(t_0) và g'(t_0)=h'(t_0)
Hai phương trình, giải hai ẩn.
đặt sát tường, chạm, tiếp xúc
d(I,(P))=R
Khoảng cách từ tâm đến mặt bằng bán kính.
an toàn, cách ít nhất, không va chạm
d(I,(E))-R>0
Khoảng cách trừ bán kính, so với 0.
trong số các bạn nam có 20% tham gia
P(B\mid A)=0{,}2
Nhánh thứ hai của cây xác suất.
ít nhất, tối thiểu, cần thêm
làm tròn lên, rồi trừ phần đã có
Đại lượng đếm được phải là số nguyên.
xuất phát cùng lúc, gặp nhau lần đầu
\int_0^{T}(v_P-v_Q)\,dt=0, T>0 nhỏ nhất
Tích phân vận tốc cho độ dời.
đường đi ngắn nhất qua các điểm trên trục
lấy đối xứng qua trục
Biến đường gấp khúc thành đoạn thẳng.
KỸ THUẬT 2
Từ khóa thành công cụ: viết ngay một dòng "đối tượng = giá trị"
Quy tắc
Với mỗi cụm từ khóa vừa gạch, viết ngay một dòng dịch sang kí hiệu theo bảng trên, chẳng hạn h'(5)=? hay d(I,(E))=?. Chỉ khi mọi cụm đã có dòng của mình mới bắt đầu tính.
Lý do
Dịch từng cụm ngay giúp em không lẫn lộn các đại lượng gần nhau như độ cao và tốc độ, độ dời và quãng đường, khoảng cách và khoảng hở. Mỗi dòng cũng là một dấu mốc để kiểm tra ở bước cuối.
Khi gãy
Khi từ khóa có hai nghĩa. "Tốc độ" có thể là tức thời (đạo hàm tại một thời điểm) hoặc trung bình (quãng đường chia thời gian). "Cách ít nhất" có thể là khoảng cách tới tâm hoặc khoảng hở sau khi trừ bán kính. Hãy xem đơn vị và hình vẽ để chọn.
Cái bẫy quen thuộc
"Tốc độ lớn tại t=5" là h'(5)=3{,}2e^{2}\approx23{,}6 cm/tuần, còn h(5)=8e^{2}\approx59{,}1 cm là chiều cao. Hai con số cùng nằm trong một bài, cùng được tính từ e^{2}, và rất dễ bị đặt nhầm vào chỗ của nhau. Dòng dịch "đối tượng = giá trị" chính là hàng rào chặn lỗi này.
Thử gạch chữ: đoạn đề về mái che
Một bể chứa hình cầu bán kính 4 m đặt trên mặt đất, sát một bức tường thẳng đứng. Một mái che phẳng có hai mép dưới chạm đất tại hai điểm cách tường 13 m, và tựa trên hai cột cao 12 m dựng cách tường 4 m. Hỏi mái che cách bể ít nhất bao nhiêu mét?
Gợi ý 1 · Đại lượng
Bán kính R=4 m. Chiều cao cột 12 m, dựng cách tường 4 m. Mép dưới mái che cách tường 13 m.
Gợi ý 2 · Dữ kiện ẩn
Đề không viết tọa độ tâm, nhưng "đặt trên mặt đất" cho biết tâm cách đất 4 m, và "sát tường" cho biết tâm cách tường 4 m. Đó là hai tọa độ của tâm.
Đáp án của bước Đọc
Câu hỏi "cách ít nhất" là khoảng hở, tức d(I,(E))-R, trong đó (E) là mặt phẳng mái che. Cần: tọa độ tâm I (từ hai dữ kiện ẩn), phương trình (E) (từ ba điểm), rồi khoảng cách. Bước Dựng sẽ làm đúng việc đó ở mục 4.
03
Bước 2 · Dựng · Phòng thí nghiệm 1
Ghép hai hàm: khớp giá trị chưa đủ, phải khớp cả độ dốc
Khi một hiện tượng đổi quy luật giữa chừng, mô hình là hai hàm số nối nhau tại một thời điểm. Điều đề hỏi là nối thế nào cho đúng với chữ "không bị gián đoạn". Hãy tự tay kéo để thấy hai mức nối khác nhau ra sao.
Phòng ghép hàm · cây non hai giai đoạn KÉO ĐỂ THỬ
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Thời điểm nối: T = 5 tuần
Hằng số b bằng 100 % mức khớp mượt
Chiều cao tại T
59,1 cm
Độ dốc bên trái
23,6 cm/tuần
Độ dốc bên phải
0 cm/tuần
Hằng số a
0 cm
Hằng số b
Điều kiện độ dốc
Chưa đạt
Ở chế độ "chỉ khớp chiều cao", em có thể chọn bao nhiêu giá trị của b cũng được, đồ thị vẫn liền nét, nhưng chỉ một giá trị làm hai đoạn nối trơn tru. Vì thế mô hình có thêm điều kiện về tốc độ lớn: đó là phương trình thứ hai, và đó là lý do đề cho đúng hai hằng số a,b cần tìm.
Viết điều kiện thành phương trình, rồi giải
Tại t=5: giá trị bằng nhau và đạo hàm bằng nhau. Với h'(t)=3{,}2e^{0{,}4t} và g'(t)=0{,}25\,be^{-0{,}25t}:
a-be^{-1{,}25}=8e^{2}\qquad\text{và}\qquad 0{,}25\,be^{-1{,}25}=3{,}2e^{2}.
Phương trình thứ hai cho ngay be^{-1{,}25}=12{,}8e^{2}, tức b=12{,}8e^{3{,}25}\approx330{,}1. Thay vào phương trình thứ nhất: a=8e^{2}+12{,}8e^{2}=20{,}8e^{2}\approx153{,}7. Vì e^{-0{,}25t}→0 khi t→+\infty nên chiều cao tối đa là a\approx154 cm.
KỸ THUẬT 3
Ghép hàm: khớp giá trị trước, khớp đạo hàm sau
Quy tắc
"Liên tục" cho một phương trình g(t_0)=h(t_0). "Mượt", "không gấp khúc", "tốc độ không đổi đột ngột" cho thêm g'(t_0)=h'(t_0). Số ẩn của hàm thứ hai bằng số điều kiện đã dịch được.
Lý do
Đồ thị liền nét chỉ cần giá trị trùng nhau. Đồ thị không bị gập khúc cần cả hướng đi trùng nhau, tức đạo hàm trùng nhau. Lab 1 cho thấy mỗi giá trị b khác mức khớp mượt đều tạo một góc gập.
Khi gãy
Nếu đề chỉ nói "liên tục" mà hàm thứ hai có hai ẩn thì không đủ điều kiện, hãy đọc lại xem còn chữ nào bị bỏ sót. Ngược lại nếu đề cho thêm một điều kiện thứ ba (ví dụ chiều cao ở một tuần khác) thì kiểm tra xem hệ có mâu thuẫn không.
Mẹo ước lượng để kiểm kết quả
Với g(t)=a-be^{-kt} ta có g'(t)=k\,(a-g(t)), nên phần chiều cao còn thiếu so với mức tối đa bằng tốc độ chia cho k . Tại t=5: còn thiếu 23{,}6\div0{,}25\approx94{,}6 cm, vậy mức tối đa \approx59{,}1+94{,}6=153{,}7 cm. Phép nhẩm này trùng với kết quả giải chính xác, và nó tốn chưa đầy mười giây.
04
Bước 2 và 3 · Dựng và Tính · Phòng thí nghiệm 2
Hình học trong câu chuyện: đặt hệ trục, rồi đo khoảng cách bằng bán kính
Bài hình không gian trong đề mới thường mở đầu bằng một đồ vật quen thuộc: bể chứa, mái che, cốc nước. Nhiệm vụ của em là gắn đồ vật ấy vào một hệ trục sao cho các dữ kiện bằng lời trở thành tọa độ, rồi dùng khoảng cách để nói chuyện "có chạm hay không".
Dựng mô hình cho bể cầu và mái che
Chọn mặt đất là mặt phẳng (Oxy), tường là mặt phẳng y=0, trục z hướng lên. Bể cầu bán kính 4 m nằm trên đất và sát tường nên tâm cách đất 4 m, cách tường 4 m. Chọn I(-5;4;4), khi đó bể tiếp xúc với tường tại T(-5;0;4) và có phương trình (x+5)^{2}+(y-4)^{2}+(z-4)^{2}=16. Mái che đi qua A(0;13;0), B(-10;13;0) và đỉnh hai cột C(0;4;12), D(-10;4;12). Hai véc-tơ trong mặt mái là \vec{AB}=(-10;0;0) và \vec{AC}=(0;-9;12), nên véc-tơ pháp tuyến là
\vec n=[\vec{AB},\vec{AC}]=(0;120;90)=30\,(0;4;3),
suy ra mặt phẳng mái che (E) có dạng 4y+3z+d=0, đi qua A nên d=-52. Phương trình (E)\colon 4y+3z-52=0, và điểm D cũng thỏa phương trình (16+36-52=0).
Phòng khoảng cách · bể cầu và mái che nhìn từ bên hông KÉO MÁI CHE
Vuốt ngang để xem toàn bộ hình.
Mặt phẳng song song với mái che: 4y + 3z = 52
Khoảng cách d từ tâm
4,8 m
Bán kính R
4 m
Khoảng hở d trừ R
0,8 m
Tình trạng
An toàn
Kéo thanh trượt đến đúng hai vị trí mà khoảng cách bằng bán kính: 4y+3z=48 và 4y+3z=8. Có hai mặt phẳng song song với mái che cùng tiếp xúc với bể, vì \dfrac{|4\cdot4+3\cdot4-c|}{5}=4 cho |28-c|=20, tức c=48 hoặc c=8. Mặt phẳng 4y+3z=8 cắt vát cái góc giữa tường và mặt đất, rõ ràng không phải một mái che. Bật nút bối cảnh để thấy phép loại nghiệm này.
KỸ THUẬT 4
Chọn góc nhìn có lợi: hệ trục theo đối xứng, hoặc cắt phần thừa bù phần thiếu
Quy tắc
Đặt gốc hoặc trục vào chỗ có nhiều dữ kiện nhất: tâm cầu làm gốc, đỉnh nằm trên trục Oz, tường là mặt phẳng tọa độ. Với vật bị cắt xiên, thay hình xiên bằng hình đều có cùng thể tích: phần nhô lên ở một bên bằng phần khuyết ở bên kia, nên thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao trung bình .
Lý do
Hệ trục có lợi làm nhiều tọa độ bằng 0 hoặc bằng nhau, phép tính ngắn lại, và đáp án thường không phụ thuộc cách đặt. Phép cắt phần thừa bù phần thiếu thay một tích phân bằng một phép nhân.
Khi gãy
Khi hình không đối xứng hoặc mặt cắt chạm vào đáy. Công thức "chiều cao trung bình" chỉ đúng nếu mặt cắt không cắt qua mặt đáy, tức chiều cao thấp nhất vẫn lớn hơn 0.