CHỦ ĐỀ 11 - Vectơ trong không gian
Các phép toán vectơ trong không gian (quy tắc hình hộp, trung điểm, trọng tâm) · Tích vô hướng · Sự đồng phẳng của ba vectơ · Tích có hướng và ứng dụng hình…
Chủ đề 11
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
01 /13
CHỦ ĐỀ 11
Vectơ trong không gian Nền tảng hình học
Các phép toán vectơ cơ bản · Tích vô hướng · Sự đồng phẳng · Tích có hướng
Trong 10 phút , em sẽ ôn lại vectơ trong không gian : định nghĩa, quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp, quy tắc trung điểm – trọng tâm, tích vô hướng và sự đồng phẳng của ba vectơ.
Đây là nền tảng bắt buộc trước khi bước vào hệ tọa độ Oxyz trong Đề Bộ GD kỳ thi THPTQG 2026. Toàn bộ bài này dùng thuần suy luận hình học , chưa cần tọa độ — hãy đọc thật chậm .
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Vectơ trong không gian Định nghĩa · Phép toán cơ bản
TR.02-03
Tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa · Tính chất · Ứng dụng
TR.04-05
Sự đồng phẳng của ba vectơ Điều kiện · Chứng minh 4 điểm đồng phẳng
TR.06
Tích có hướng của hai vectơ Định nghĩa hình học · Ứng dụng
TR.07-08
Bài tập tổng hợp Vận dụng các phép toán vectơ
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Vectơ trong không gian là gì?
Định nghĩa, ba khái niệm liên quan và ba phép toán: cộng, trừ, nhân với số thực.
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A,B. Vectơ \overrightarrow{AB} là một đoạn thẳng có hướng, với điểm đầu là A và điểm cuối là B. Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ, kí hiệu |\overrightarrow{AB}|.
Ba khái niệm cần phân biệt
Hai vectơ bằng nhau — \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài .
Vectơ đối — vectơ đối của \overrightarrow{AB} là \overrightarrow{BA}, kí hiệu -\overrightarrow{AB}: cùng độ dài, ngược hướng.
Vectơ-không — kí hiệu \vec{0}=\overrightarrow{AA}, điểm đầu trùng điểm cuối, độ dài bằng 0, quy ước cùng hướng với mọi vectơ .
HÌNH HỘP ABCD.A'B'C'D' · QUY TẮC HÌNH HỘP
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'} — ba cạnh xuất phát từ A cộng thành đường chéo AC'
PHÉP CỘNG VECTƠ · HAI QUY TẮC
Quy tắc ba điểm (với A,B,C bất kỳ): \;\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
Quy tắc hình hộp (hình hộp ABCD.A'B'C'D'): \;\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}
PHÉP TRỪ VÀ PHÉP NHÂN VỚI SỐ THỰC
Phép trừ (gốc chung O bất kỳ): \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}. Đặc biệt \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.
Phép nhân với số thực k: vectơ k\vec{a} luôn cùng phương với \vec{a}; nếu k>0 thì k\vec{a} cùng hướng \vec{a}, nếu k ngược hướng \vec{a}; độ dài |k\vec{a}|=|k|\cdot|\vec{a}|$.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA & PHÉP TOÁN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Quy tắc trung điểm và trọng tâm
Hai công cụ dùng liên tục trong các bài chứng minh vectơ — áp dụng cùng quy tắc hình hộp.
QUY TẮC TRUNG ĐIỂM
M là trung điểm AB \;\Leftrightarrow\;\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}
Với điểm O bất kỳ: \;\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\bigr)
QUY TẮC TRỌNG TÂM TAM GIÁC
G là trọng tâm tam giác ABC. Với điểm O bất kỳ:
\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\bigl(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\bigr)
BÀI MẪU · KẾT HỢP TRỌNG TÂM VÀ HÌNH HỘP 4 BƯỚC
Đề: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm tam giác BDA'. Biểu diễn \overrightarrow{AG} theo \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA'} và cho biết vị trí điểm G trên đường chéo AC'.
BƯỚC 1 G là trọng tâm tam giác BDA'. Áp dụng quy tắc trọng tâm với gốc A: \;\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\bigl(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\bigr).
BƯỚC 2 Theo quy tắc hình hộp: \;\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'} (C' là đỉnh đối diện A).
BƯỚC 3 Thay vào bước 1: \;\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC'}.
BƯỚC 4 Vì \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC'} nên G nằm trên đoạn AC' và chia đoạn này theo tỉ lệ AG:GC'=1:2.
\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC'} — G thuộc đường chéo AC' , với AG=\dfrac{1}{3}AC'
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 1 · TRUNG ĐIỂM & TRỌNG TÂM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Tích vô hướng của hai vectơ
Một phép toán biến hai vectơ thành MỘT SỐ THỰC — chìa khóa để xét vuông góc và tính độ dài.
Trong không gian, cho hai vectơ \vec{a},\vec{b} khác \vec{0}. Tích vô hướng của \vec{a} và \vec{b} là một số thực, kí hiệu \vec{a}\cdot\vec{b}, xác định bởi \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(\vec{a},\vec{b}). Quy ước \vec{a}\cdot\vec{b}=0 nếu \vec{a}=\vec{0} hoặc \vec{b}=\vec{0}.
Góc giữa hai vectơ trong không gian
Để xác định góc (\vec{a},\vec{b}), ta chọn một điểm O bất kỳ , dựng \overrightarrow{OA}=\vec{a} và \overrightarrow{OB}=\vec{b}. Khi đó (\vec{a},\vec{b})=\widehat{AOB}, với 0^{\circ}\le\widehat{AOB}\le180^{\circ}.
Góc này không phụ thuộc vào việc chọn điểm O — dựng từ điểm nào cũng ra cùng một góc.
GÓC GIỮA HAI VECTƠ · DỰNG TỪ ĐIỂM CHUNG O
(\vec{a},\vec{b})=\widehat{AOB} — dựng từ một điểm gốc O chung bất kỳ
GHI NHỚ · KẾT QUẢ LÀ MỘT SỐ
\vec{a}\cdot\vec{b} luôn là một số thực (có thể âm, bằng 0, hoặc dương) — hoàn toàn khác với phép cộng, trừ vectơ (kết quả là một vectơ).
TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Giao hoán: \;\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}.
Phân phối với phép cộng: \;\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Kết hợp với số thực k: \;(k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(k\vec{b}).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 2 · ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Ứng dụng của tích vô hướng
Tính góc, xét vuông góc, và tính độ dài vectơ tổng – hiệu bằng bình phương vô hướng.
GÓC GIỮA HAI VECTƠ
\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC
\vec{a}\perp\vec{b}\;\Leftrightarrow\;\vec{a}\cdot\vec{b}=0
BÌNH PHƯƠNG VÔ HƯỚNG · TÍNH ĐỘ DÀI
\vec{a}^{2}=\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^{2}\ge0 — dùng để tính độ dài vectơ tổng, hiệu:
|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}
|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}
BÀI MẪU · ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CHÉO HÌNH HỘP 5 BƯỚC
Đề: Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng 60^{\circ} (tức \widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^{\circ}). Tính độ dài đường chéo AC'.
BƯỚC 1 Đặt \vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{AA'}; theo giả thiết |\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=a, góc giữa từng cặp bằng 60^{\circ}.
BƯỚC 2 Quy tắc hình hộp: \;\overrightarrow{AC'}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
BƯỚC 3 AC'^{2}=|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^{2}=|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}+|\vec{w}|^{2}+2(\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}).
BƯỚC 4 Mỗi tích cặp: \;\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}=a\cdot a\cdot\cos60^{\circ}=\dfrac{a^{2}}{2}.
BƯỚC 5 Thay vào: \;AC'^{2}=3a^{2}+2\cdot3\cdot\dfrac{a^{2}}{2}=6a^{2}, suy ra AC'=a\sqrt{6}.
AC'=a\sqrt{6}
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 2 · ỨNG DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Sự đồng phẳng của ba vectơ
Ba vectơ có giá song song với cùng một mặt phẳng — công cụ chứng minh 4 điểm đồng phẳng.
Ba vectơ \vec{a},\vec{b},\vec{c} trong không gian được gọi là đồng phẳng nếu giá của ba vectơ đó cùng song song với một mặt phẳng .
ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG
Cho \vec{a},\vec{b} không cùng phương. Khi đó \vec{c} đồng phẳng với \vec{a},\vec{b}
\;\Leftrightarrow\; tồn tại duy nhất cặp số thực m,n để \;\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}
BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG · CHUNG MỘT MẶT PHẲNG
\vec{a},\vec{b},\vec{c} cùng nằm trong một mặt phẳng — \vec{c} luôn viết được qua \vec{a},\vec{b}
MẸO NHẬN BIẾT
Dựng ba vectơ từ cùng một điểm gốc . Nếu ba điểm ngọn cùng với điểm gốc cùng thuộc một mặt phẳng thì ba vectơ đồng phẳng.
BÀI MẪU · CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG 4 BƯỚC
Đề: Trong không gian, cho bốn điểm A,B,C,D sao cho \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}. Chứng minh bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng (cùng thuộc một mặt phẳng).
BƯỚC 1 Xét ba vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} — cùng chung điểm đầu A.
BƯỚC 2 Theo giả thiết, \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+(-1)\overrightarrow{AC}, tức tồn tại m=2,\,n=-1 để \overrightarrow{AD}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}.
BƯỚC 3 Theo điều kiện đồng phẳng, ba vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} đồng phẳng.
BƯỚC 4 Vì ba vectơ này có chung điểm đầu A và đồng phẳng nên bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng.
A,B,C,D đồng phẳng vì \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 3 · SỰ ĐỒNG PHẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Tích có hướng của hai vectơ
Phép toán duy nhất biến hai vectơ thành MỘT VECTƠ MỚI — khác hẳn tích vô hướng.
Trong không gian, cho hai vectơ \vec{a},\vec{b} không cùng phương. Tích có hướng (tích véctơ) của \vec{a} và \vec{b} là một vectơ, kí hiệu [\vec{a},\vec{b}] (hay \vec{a}\times\vec{b}), xác định bởi: (1) vuông góc với cả \vec{a} và \vec{b}; (2) độ dài |[\vec{a},\vec{b}]|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},\vec{b}); (3) hướng theo quy tắc bàn tay phải.
Ý nghĩa hình học của độ dài
Về độ lớn, |[\vec{a},\vec{b}]| đúng bằng diện tích hình bình hành dựng bởi hai vectơ \vec{a},\vec{b} (hai cạnh kề xuất phát từ cùng một đỉnh).
TÍCH CÓ HƯỚNG · VECTƠ VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
\vec{n}=[\vec{a},\vec{b}] vuông góc mặt phẳng chứa \vec{a},\vec{b}; |\vec{n}| = diện tích hình bình hành
⚠ TÍCH CÓ HƯỚNG KHÁC TÍCH VÔ HƯỚNG
\vec{a}\cdot\vec{b} là MỘT SỐ . [\vec{a},\vec{b}] là MỘT VECTƠ . Nhầm lẫn hai khái niệm này là một trong những sai lầm phổ biến nhất của chủ đề.
LIÊN HỆ VỚI SỰ ĐỒNG PHẲNG
Ba vectơ \vec{a},\vec{b},\vec{c} đồng phẳng khi và chỉ khi [\vec{a},\vec{b}]\cdot\vec{c}=0 — tức tích có hướng của hai vectơ đầu vuông góc với vectơ thứ ba. Ở bài này, khi chưa dùng hệ tọa độ Oxyz, ta chỉ cần hiểu ý nghĩa hình học này; công thức tính tích có hướng theo tọa độ sẽ học ở Chủ đề 12 .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 11 · KHÁI NIỆM 4 · ĐỊNH NGHĨA TÍCH CÓ HƯỚNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 11 · Vectơ trong không gian
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Ứng dụng: diện tích và thể tích
Từ tích có hướng suy ra công thức diện tích tam giác và thể tích tứ diện.
DIỆN TÍCH TAM GIÁC
S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\bigl|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\bigr|
BÀI MẪU · ÁP DỤNG 3 BƯỚC
Đề: Tam giác ABC có AB=4,\,AC=5,\,\widehat{BAC}=60^{\circ}. Tính S_{ABC}.
BƯỚC 1 \bigl|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\bigr|=AB\cdot AC\cdot\sin\widehat{BAC}=4\cdot5\cdot\sin60^{\circ}.
BƯỚC 2 =20\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}.
BƯỚC 3 S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot10\sqrt{3}=5\sqrt{3} — đúng bằng công thức quen thuộc \dfrac{1}{2}ab\sin C.
S_{ABC}=5\sqrt{3}
THỂ TÍCH TỨ DIỆN
V_{ABCD}=\dfrac{1}{6}\Bigl|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\cdot\overrightarrow{AD}\Bigr|
Ý NGHĨA & GIỚI HẠN CỦA BÀI NÀY
Công thức trên tổng quát hóa V=\dfrac{1}{3}S_{\text{đáy}}\cdot h: diện tích đáy S_{ABC}=\dfrac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]| đã "gói" sẵn hướng vuông góc với đáy, nên nhân với \overrightarrow{AD} (tích vô hướng) sẽ chiếu ra đúng phần chiều cao.