CHỦ ĐỀ 06 - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Tài liệu CHỦ ĐỀ 06 - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
01 / 16
CHỦ ĐỀ 06
Giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất
của hàm số
GTLN · GTNN · Trên đoạn [a;b] · Trên khoảng · Phép đặt ẩn phụ · Bài toán thực tế tối ưu hóa
Nối tiếp Chủ đề 05 về đơn điệu và cực trị, hôm nay em biến BBT thành máy tính max/min tự động . GTLN/GTNN là dạng bài xuất hiện trực tiếp trong cả ba Phần đề thi THPTQG — và là đòn bẩy để giải bài toán thực tế.
Ba ý tưởng cần ghi nhớ: (1) GTLN/GTNN là khái niệm toàn cục — khác cực trị. (2) Trên [a;b]: so sánh f(a), f(b), f(x_i). (3) Trên khoảng mở: BBT là bản đồ — một CĐ duy nhất là GTLN, một CT duy nhất là GTNN.
Đối tượng
Lớp 12 THPTQG 2026
Thời lượng
10 phút có thể chia 2 ngày
Số trang
16 trang 6 khái niệm + tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC 6 khái niệm · 2 trang tổng kết
1 Định nghĩa GTLN · GTNN Khái niệm toàn cục · phân biệt cực trị TR.02-03
2 GTLN · GTNN trên đoạn [a;b] Thuật toán 3 bước · 4 trang TR.04-07
3 GTLN · GTNN trên khoảng mở Dùng BBT · 3 trang TR.08-10
4 Phép đặt ẩn phụ Lượng giác · căn · mũ · lôgarit TR.11-12
5 Bài toán thực tế tối ưu Lập hàm · tìm min/max TR.13
6 Chiến thuật 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng TR.14
✓ Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm · 3 cốt lõi TR.15-16
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA GTLN · GTNN · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
02 / 16
01 KHÁI NIỆM 1/2 · ĐỊNH NGHĨA
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất — định nghĩa bằng bất đẳng thức
Hai khái niệm toàn cục : so sánh f(x) với mọi điểm trong miền. Đây là sự khác biệt cốt lõi với cực trị — chỉ so sánh trong lân cận.
① Định nghĩa GTLN
Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D. Số M gọi là giá trị lớn nhất của f trên D nếu:
f(x) \le M với mọi x \in D và \exists x_{0} \in D: f(x_{0}) = M
Kí hiệu: M = \displaystyle\max_{x\in D} f(x). Phải có đồng thời : chặn trên và đạt được.
② Định nghĩa GTNN
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên D nếu:
f(x) \ge m với mọi x \in D và \exists x_{1} \in D: f(x_{1}) = m
Kí hiệu: m = \displaystyle\min_{x\in D} f(x). Chặn dưới và đạt được.
FIG.01 · Điểm cao nhất & thấp nhất toàn cục
⦿ Ý nghĩa trực quan
GTLN = " điểm cao nhất tuyệt đối " của đồ thị trên toàn miền D. GTNN = " điểm thấp nhất tuyệt đối ". Khác cực đại/cực tiểu — chúng chỉ là điểm cao/thấp địa phương .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 1 · PHÂN BIỆT VỚI CỰC TRỊ · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
03 / 16
01 KHÁI NIỆM 2/2 · PHÂN BIỆT VỚI CỰC TRỊ
GTLN/GTNN không phải cực đại/cực tiểu — khác hẳn
Đây là lỗi số 1 của học sinh. Cực trị là khái niệm địa phương (so với lân cận). GTLN/GTNN là khái niệm toàn cục (so với toàn miền). Một hàm có thể có nhiều cực trị nhưng chỉ có một GTLN và một GTNN.
★ So sánh · Cực trị vs GTLN/GTNN
Tiêu chí · Cực đại / Cực tiểu · GTLN / GTNN
Phạm vi · Chỉ lân cận x_{0} · Toàn miền D
Tính chất · Địa phương (local) · Toàn cục (global)
Số lượng · Có thể nhiều · Duy nhất một
Cách tìm · Dấu f^{\prime} đổi · So sánh tại điểm then chốt
Có luôn tồn tại? · Có thể không · Có thể không
⚠ Quan hệ một chiều
GTLN có thể là cực đại, nhưng cực đại chưa chắc là GTLN. Một hàm có 3 cực đại — GTLN là cái cao nhất trong 3 cái đó (hoặc lớn hơn nữa ở biên).
⦿ Định lí Weierstrass
Nếu hàm y=f(x) liên tục trên đoạn đóng [a;b], thì f luôn tồn tại GTLN và GTNN trên [a;b].
Liên tục + Đoạn [a;b] dẫn đến \max, \min đều có.
✓ Khi nào không tồn tại?
1. Trên khoảng mở (0;1): f(x)=x tiến đến 1 nhưng không đạt.
2. Trên miền vô hạn \mathbb{R}: f(x)=x không có max/min.
3. Hàm không liên tục trên đoạn đóng — Weierstrass không còn bảo đảm.
★ Ghi nhớ duy nhất
GTLN/GTNN = so sánh với tất cả . Khi đề hỏi GTLN/GTNN, phải xem cả biên miền , không chỉ cực trị bên trong.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 2 · TRÊN ĐOẠN [a;b] · LÝ THUYẾT · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
04 / 16
02 KHÁI NIỆM 1/4 · LÝ THUYẾT & THUẬT TOÁN
GTLN/GTNN trên đoạn [a;b] — thuật toán 3 bước vàng
Đây là dạng bài dễ nhất và chắc chắn nhất — theo Weierstrass, đáp án luôn tồn tại. Em chỉ cần so sánh giá trị hàm tại ba loại điểm : hai biên a, b và các nghiệm của f^{\prime}(x)=0 bên trong khoảng (a;b).
⦿ Ý tưởng cốt lõi
Trên [a;b] liên tục, GTLN và GTNN chỉ có thể đạt tại một trong hai loại điểm :
(i) Hai đầu mút x=a hoặc x=b | (ii) Các điểm x_{i}\in(a;b) mà f^{\prime}(x_{i})=0 hoặc f^{\prime} không xác định
Không cần xét điểm nào khác — chỉ cần tính f tại các điểm này rồi chọn số lớn nhất (GTLN) và số nhỏ nhất (GTNN).
★ Thuật toán 3 bước vàng
- Tính f^{\prime}(x). Tìm các điểm x_{i} \in (a;b) mà f^{\prime}(x_{i})=0 hoặc f^{\prime} không xác định tại x_{i}. Loại bỏ mọi điểm ngoài (a;b).
- Tính giá trị hàm tại các điểm ứng cử viên: f(a), f(b), f(x_{1}), f(x_{2}), ...
- So sánh các giá trị. Số lớn nhất là \displaystyle\max_{[a;b]} f = M. Số nhỏ nhất là \displaystyle\min_{[a;b]} f = m.
✓ Tại sao thuật toán này đúng?
Hàm liên tục trên đoạn đóng chắc chắn đạt GTLN/GTNN (Weierstrass). Tại điểm đạt cực trị bên trong (a;b) thì bắt buộc f^{\prime}=0 (điểm dừng). Còn lại chỉ có thể đạt ở biên . Vậy chỉ có 2 loại điểm ứng cử viên — đúng theo thuật toán.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 2 · HÌNH MINH HỌA & 2 LỖI · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
05 / 16
02 KHÁI NIỆM 2/4 · 5 ỨNG CỬ VIÊN · 2 LỖI HAY GẶP
Năm ứng cử viên cho GTLN/GTNN — không để sót điểm nào
Trên đoạn [a;b], nếu f^{\prime}(x)=0 có 3 nghiệm bên trong, em có 5 ứng cử viên : f(a), f(b), và 3 giá trị tại nghiệm. Sót một cái là sai đáp án.
FIG.02 · 5 ứng cử viên: f(a), f(b), f(x_{1}), f(x_{2}), f(x_{3})
⚠ Lỗi 1 · Quên biên f(a), f(b)
Nhiều học sinh chỉ tính f tại nghiệm của f^{\prime}=0 rồi kết luận — sai hoàn toàn nếu GTLN/GTNN rơi vào biên.
Cách sửa: Thuật toán 3 bước bắt buộc tính f(a) và f(b), không được bỏ qua.
⚠ Lỗi 2 · Không loại nghiệm ngoài (a;b)
Nếu f^{\prime}(x)=0 cho x=5 mà đoạn là [-2;3], phải bỏ x=5. Chỉ giữ nghiệm thuộc (a;b).
Cách sửa: Sau khi giải f^{\prime}=0, kiểm từng nghiệm xem có thuộc (a;b) không.
★ Mẹo tiết kiệm thời gian
Nếu f^{\prime}(x)=0 có nhiều nghiệm, em có thể lập BBT nhanh để loại ngay các nghiệm không phải cực trị (không đổi dấu). Nhưng không bắt buộc — thuật toán 3 bước vẫn cho đáp án đúng, chỉ cần tính thêm vài giá trị.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 2 · BÀI MẪU · LỜI GIẢI · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
06 / 16
02 KHÁI NIỆM 3/4 · BÀI MẪU · LỜI GIẢI
Bài mẫu · Tìm \max, \min của f(x)=x^{3}-3x^{2}+1 trên [-1;3]
Áp dụng thuật toán 3 bước. Quan sát cẩn thận: GTLN rơi vào cả cực đại bên trong lẫn biên phải , còn GTNN rơi vào cả biên trái lẫn cực tiểu bên trong — tình huống điển hình.
① Lời giải từng bước
- Tính đạo hàm. f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x-2).
- Giải f^{\prime}(x)=0. Phương trình có nghiệm x=0 và x=2. Cả hai nghiệm đều thuộc (-1;3) nên giữ cả hai .
- Tính f tại 4 điểm ứng cử viên:
f(-1) = -1 - 3 + 1 = -3 · f(0) = 1 · f(2) = 8 - 12 + 1 = -3 · f(3) = 27 - 27 + 1 = 1.
- So sánh. Bốn giá trị: -3;\; 1;\; -3;\; 1. Lớn nhất là 1. Nhỏ nhất là -3.
- Kết luận. \displaystyle\max_{[-1;3]} f = 1 (đạt tại x=0 và x=3). \displaystyle\min_{[-1;3]} f = -3 (đạt tại x=-1 và x=2).
✓ Quan sát quan trọng
GTLN và GTNN có thể đạt tại nhiều điểm khác nhau. Ở đây GTLN đạt tại x=0 (cực đại bên trong) và x=3 (biên phải), giá trị cả hai cùng bằng 1. Khi đề hỏi "điểm đạt GTLN", phải liệt kê hết — nếu chỉ viết một điểm sẽ mất điểm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 2 · BÀI MẪU · PHÂN TÍCH · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
07 / 16
02 KHÁI NIỆM 4/4 · BẢNG SO SÁNH & BBT
Bài mẫu tiếp · Phân tích 4 ứng cử viên và BBT xác nhận
Sau khi tính xong, lập bảng so sánh và BBT — đây là bước giúp em tránh sai sót khi trình bày trong bài thi Phần II (Đúng/Sai).
② Bảng so sánh 4 ứng cử viên
Điểm x · Loại · f(x)
x=-1 · Biên trái · -3 (GTNN)
x=0 · Bên trong · f^{\prime}=0 · 1 (GTLN)
x=2 · Bên trong · f^{\prime}=0 · -3 (GTNN)
x=3 · Biên phải · 1 (GTLN)
⚠ Đừng nhầm cực trị với GTLN/GTNN
x=2 là cực tiểu (địa phương) của hàm, đồng thời x=2 cũng là điểm đạt GTNN trên [-1;3]. Hai khái niệm trùng nhau ở đây , nhưng nói chung chúng là hai thứ khác nhau — cần viết rõ.
⦿ Bảng biến thiên xác nhận
-1 · · 0 · · 2 · · 3
f^{\prime}(x)
· + · 0 · - · 0 · + ·
f(x)
-3 · ↗ · 1 · ↘ · -3 · ↗ · 1
Đọc BBT: hàm tăng — giảm — tăng. GTLN = 1 tại hai điểm x=0, x=3. GTNN = -3 tại hai điểm x=-1, x=2.
★ Kinh nghiệm
Lập BBT tuy không bắt buộc trong thuật toán 3 bước, nhưng rất hữu ích khi đề bài yêu cầu xác định cả khoảng đơn điệu, cực trị và GTLN/GTNN cùng lúc — một BBT đủ cho cả bốn câu hỏi.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 3 · TRÊN KHOẢNG MỞ · LÝ THUYẾT · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
08 / 16
03 KHÁI NIỆM 1/3 · LÝ THUYẾT · BBT
GTLN/GTNN trên khoảng mở — BBT là bản đồ duy nhất
Trên khoảng mở (a;b), (-\infty;a) hoặc (a;+\infty), định lí Weierstrass không còn bảo đảm . Phải lập BBT để nhìn tận mắt xem GTLN/GTNN có tồn tại không, và nếu có thì đạt ở đâu.
⦿ Quy trình 4 bước qua BBT
- Tìm tập xác định D. Tính f^{\prime}(x).
- Giải f^{\prime}(x)=0 và tìm các điểm f^{\prime} không xác định thuộc D.
- Lập BBT đầy đủ trên D. Tính các giới hạn \lim tại biên mở và tại \pm\infty.
- Đọc BBT: điểm cao nhất trong BBT là GTLN; điểm thấp nhất là GTNN. Nếu hàm tiến đến một giá trị nhưng không đạt — tương ứng GTLN hoặc GTNN không tồn tại .
★ Định lí "một cực trị duy nhất"
Nếu hàm f liên tục trên khoảng D và BBT cho thấy f có duy nhất một cực đại tại x_{0} (không còn cực trị nào khác trên D), thì:
\displaystyle\max_{D} f = f(x_{0}) — đạt duy nhất tại x_{0}.
Tương tự: f liên tục trên D và có duy nhất một cực tiểu tại x_{1} dẫn đến \displaystyle\min_{D} f = f(x_{1}). Điều kiện liên tục là bắt buộc — không được bỏ qua.
⚠ Sai lầm lớn nhất · Quên giới hạn biên
Không xét giới hạn tại biên mở . Nếu f tiến đến -5 khi x tiến đến biên nhưng không đạt giá trị -5, thì -5 không phải GTNN. Hàm không có GTNN trong trường hợp này. BBT vẽ đúng sẽ cho em thấy ngay.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 3 · 2 VÍ DỤ PHẢN · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
09 / 16
03 KHÁI NIỆM 2/3 · 2 VÍ DỤ PHẢN · HIỆU HAY KHÔNG
Hai ví dụ phản — khi nào hàm không có GTLN hoặc GTNN
Không phải hàm nào cũng có đủ GTLN và GTNN. Em phải nhận ra khi nào không tồn tại và kết luận chính xác. Hai ví dụ dưới đây là kinh điển — xuất hiện thường xuyên trong đề thi.
⦿ Ví dụ 1 · Có GTNN nhưng không có GTLN
Xét f(x)=x^{2}+1 trên \mathbb{R}.
x · -\infty · · 0 · · +\infty
f^{\prime}(x) · · - · 0 · + ·
f(x) · +\infty · ↘ · 1 · ↗ · +\infty
Kết luận: \min f = 1 đạt tại x=0. Không có GTLN (vì f tiến đến +\infty ở cả hai biên).
✓ Bài học từ Ví dụ 1
Khi BBT có duy nhất một cực tiểu và hai biên đều đi tới +\infty — GTNN = giá trị cực tiểu, GTLN không tồn tại.
⦿ Ví dụ 2 · Không có cả hai
Xét f(x)=x trên (0;1).
x · 0 · · 1
f^{\prime}(x) · · + ·
f(x) · 0 · ↗ · 1
Vì x=0 và x=1 không thuộc (0;1), f tiến đến 0 và 1 nhưng không đạt. Không có GTLN, không có GTNN.
✓ Cách đọc BBT chính xác
Mũi tên tiến vào một số cụ thể c tại điểm x_{0}\in D: giá trị c đạt được — là ứng viên.
Mũi tên tiến đến \pm\infty hoặc đến một số tại biên không thuộc D : không đạt được .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 06 · KHÁI NIỆM 3 · BÀI MẪU · AM-GM · study.thptai.kr
LUKATO AI · HỌC 10 PHÚT MỖI NGÀY · Chủ đề 06 · GTLN và GTNN
10 / 16
03 KHÁI NIỆM 3/3 · BÀI MẪU · 2 CÁCH GIẢI
Bài mẫu · Tìm GTNN của f(x) = x + \dfrac{4}{x} trên (0;+\infty)
Dạng hàm x + \dfrac{k}{x} với k>0 là cổ điển . Có hai cách giải — đạo hàm và bất đẳng thức AM-GM. Cả hai đều cho kết quả giống nhau.
① Cách 1 · Dùng đạo hàm + BBT
- Tập xác định: D=(0;+\infty).
- Đạo hàm: f^{\prime}(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}}.
- f^{\prime}(x)=0 khi x^{2}=4, tức x=2 (loại x=-2 vì ngoài D).
- Dấu f^{\prime}: âm trên (0;2), dương trên (2;+\infty). Giới hạn: khi x tiến đến 0^{+} và +\infty, f đều tiến đến +\infty. f(2)=2+2=4.
⦿ Bảng biến thiên
0 · · 2 · · +\infty
f^{\prime}(x)
· - · 0 · + ·
f(x)
+\infty · ↘ · 4 · ↗ · +\infty