CHỦ ĐỀ 13 - Số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
Tài liệu CHỦ ĐỀ 13 - Số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 13
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
01 /13
CHỦ ĐỀ 13
Số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu ghép nhóm
Khoảng biến thiên · Khoảng tứ phân vị · Phương sai · Độ lệch chuẩn
Trong 10 phút , em sẽ hiểu cách đo mức độ phân tán của một mẫu số liệu ghép nhóm: khoảng biến thiên , khoảng tứ phân vị , phương sai và độ lệch chuẩn .
Đây là kiến thức thống kê Chương III Toán 12, xuất hiện dày đặc ở cả 3 phần của đề thi THPTQG. Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 5 khái niệm + chiến thuật + tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Năm khái niệm cốt lõi
Kèm chiến thuật & tổng kết
Ôn tập mẫu ghép nhóm & số trung bình Giá trị đại diện · Công thức x̄
TR.02-03
Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị R · ΔQ
TR.04-05
Công thức tính tứ phân vị Qj Xác định nhóm chứa Qj
TR.06
Phương sai của mẫu ghép nhóm Công thức · Ví dụ
TR.07-08
Độ lệch chuẩn & Ý nghĩa các số đo So sánh độ ổn định
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Ôn tập mẫu ghép nhóm & giá trị đại diện
Nền tảng bắt buộc trước khi đo mức độ phân tán. Đọc chậm phần định nghĩa.
Mẫu số liệu ghép nhóm gồm k nhóm [a_{1};a_{2}), [a_{2};a_{3}), \ldots, [a_{k};a_{k+1}) với tần số lần lượt n_{1},n_{2},\ldots,n_{k}, cỡ mẫu n=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{k}. Giá trị đại diện của nhóm i là c_{i}=\dfrac{a_{i}+a_{i+1}}{2}.
Mổ xẻ từng thành phần
Nhóm [a_{i};a_{i+1}) — nửa khoảng chứa mọi giá trị từ a_{i} (kể cả) đến a_{i+1} (không kể).
Tần số n_{i} — số số liệu gốc rơi vào nhóm i. Tổng mọi tần số bằng cỡ mẫu n.
Giá trị đại diện c_{i} — trung điểm của nhóm, thay thế cho các số liệu gốc (đã mất) khi tính toán trên mẫu ghép nhóm.
BẢNG TẦN SỐ GHÉP NHÓM · MINH HOẠ
Thời gian tự học Toán mỗi ngày của 40 học sinh lớp 12A1 (phút)
MẸO ĐỌC BẢNG · GHÉP NHÓM NGHĨA LÀ GÌ
Khi đề chỉ cho khoảng [a_{i};a_{i+1}) và tần số n_{i} mà không cho số liệu gốc , em bắt buộc dùng giá trị đại diện c_{i} để thay thế — đây chính là bản chất của "ghép nhóm".
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 1 · MẪU GHÉP NHÓM & GIÁ TRỊ ĐẠI DIỆN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Số trung bình của mẫu ghép nhóm
Số đo xu hướng trung tâm quen thuộc — điểm khởi đầu để nói về phân tán.
CÔNG THỨC
\bar{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_{i}c_{i}=\dfrac{n_{1}c_{1}+n_{2}c_{2}+\cdots+n_{k}c_{k}}{n}
BÀI MẪU · TÍNH SỐ TRUNG BÌNH 5 BƯỚC
Đề: Bảng thời gian tự học Toán mỗi ngày (phút) của 40 học sinh lớp 12A1 có tần số n_{1},\ldots,n_{5}=5,9,13,10,3 trên 5 nhóm [5;15),[15;25),[25;35),[35;45),[45;55). Tính \bar{x}.
BƯỚC 1 Giá trị đại diện: c_{1}=10,\;c_{2}=20,\;c_{3}=30,\;c_{4}=40,\;c_{5}=50.
BƯỚC 2 Cỡ mẫu: n=5+9+13+10+3=40.
BƯỚC 3 Tính n_{i}c_{i}: 5(10)=50;\;9(20)=180;\;13(30)=390;\;10(40)=400;\;3(50)=150.
BƯỚC 4 Tổng: \sum n_{i}c_{i}=50+180+390+400+150=1170.
BƯỚC 5 \bar{x}=\dfrac{1170}{40}=29{,}25 (phút).
Số trung bình: \bar{x}=29{,}25 phút
ĐIỂM CỐT LÕI · HAI NHÓM SỐ ĐẶC TRƯNG KHÁC NHAU
Xu hướng trung tâm (số trung bình, trung vị, mốt) cho biết dữ liệu tập trung quanh đâu .
Mức độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn) — nội dung của toàn bộ bài học này — cho biết dữ liệu trải rộng hay tập trung quanh giá trị trung tâm đó.
Hai mẫu có thể có cùng số trung bình nhưng mức độ phân tán khác hẳn nhau — xem lại ví dụ so sánh 2 lớp ở trang 10.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 1 · SỐ TRUNG BÌNH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Khoảng biến thiên
Số đo phân tán đơn giản nhất — nhưng cũng dễ bị đánh lừa nhất bởi giá trị bất thường.
CÔNG THỨC
R=a_{k+1}-a_{1}
Cách tính — dùng ĐẦU MÚT, không dùng giá trị đại diện
R là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối (a_{k+1}) và đầu mút trái của nhóm đầu (a_{1}). Đây là hai biên của toàn bộ mẫu số liệu, không phải giá trị đại diện c_{1} hay c_{k}.
ÁP DỤNG · MẪU LỚP 12A1
Bảng thời gian tự học có nhóm đầu [5;15) và nhóm cuối [45;55), nên a_{1}=5 và a_{6}=55 (với k=5 nhóm thì có 6 đầu mút a_{1},\ldots,a_{6}).
R=a_{6}-a_{1}=55-5=50 (phút)
⚠ SAI LẦM HAY GẶP
Nhiều em lấy nhầm giá trị đại diện: c_{5}-c_{1}=50-10=40 — SAI . Giá trị đại diện là trung điểm của nhóm, không phải biên của toàn mẫu. R luôn dùng a_{1} và a_{k+1}.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 2 · KHOẢNG BIẾN THIÊN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Khoảng tứ phân vị
Chỉ dùng 50% dữ liệu ở giữa — số đo phân tán "bền" hơn khoảng biến thiên.
Tứ phân vị Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} chia mẫu số liệu (đã sắp xếp) thành bốn phần có số lượng bằng nhau. Q_{2} chính là trung vị . Khoảng tứ phân vị: \Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}.
Ba mốc chia bốn phần
Q1
Tứ phân vị thứ nhất — mốc 25\% dữ liệu (tính từ dưới lên).
Q2
Tứ phân vị thứ hai — mốc 50\%, chính là số trung vị .
Q3
Tứ phân vị thứ ba — mốc 75\% dữ liệu.
R VÀ ΔQ TRÊN CÙNG MẪU LỚP 12A1
Vùng vàng (giữa Q_{1} và Q_{3}) chứa đúng 50\% dữ liệu ở giữa
TẠI SAO ΔQ "BỀN" HƠN R
\Delta_{Q} ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường (ngoại lệ) hơn R, vì \Delta_{Q} chỉ dùng 50\% dữ liệu ở giữa — các giá trị cực đại/cực tiểu (dễ bị nhiễu) đã bị loại khỏi phép tính. Trong khi đó R dùng đúng hai đầu mút a_{1}, a_{k+1}, nên chỉ một giá trị bất thường ở biên cũng đủ làm R tăng vọt.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 2 · KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Công thức tính tứ phân vị Q_{j}
Hai bước: xác định nhóm chứa Q_{j}, rồi nội suy tuyến tính trong nhóm đó.
BƯỚC 1 · NHÓM CHỨA Qj
Nhóm chứa Q_{j} là [a_{p};a_{p+1}) mà:
C tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm chứa Q_{j} (không tính nhóm p$).
BƯỚC 2 · CÔNG THỨC
Q_{j}=a_{p}+\dfrac{\frac{jn}{4}-C}{n_{p}}\cdot(a_{p+1}-a_{p}), j=1,2,3
BÀI MẪU · TÌM Q_{1} 4 BƯỚC
Đề: Với bảng thời gian tự học lớp 12A1 (n=40, nhóm [5;15),[15;25),[25;35),[35;45),[45;55), tần số 5,9,13,10,3), tìm Q_{1}.
BƯỚC 1 j=1: \;\dfrac{jn}{4}=\dfrac{1\times40}{4}=10.
BƯỚC 2 Tần số tích lũy: sau nhóm 1 là 5; sau nhóm 2 là 5+9=14.
BƯỚC 3 Vì $5
BƯỚC 4 Q_{1}=15+\dfrac{10-5}{9}\times(25-15)=15+\dfrac{5}{9}\times10\approx15+5{,}56.
Q_{1}\approx20{,}56 (phút)
TÍNH TƯƠNG TỰ CHO Q_{2} VÀ Q_{3}
Làm đúng quy trình 2 bước ở trên, ta tính được Q_{2}\approx29{,}62 (thuộc nhóm [25;35), vì $14 LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 3 · CÔNG THỨC TÍNH Qj
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Phương sai của mẫu ghép nhóm
Đo mức độ "lệch" trung bình (có trọng số) của các nhóm so với \bar{x}.
CÔNG THỨC 1
s^{2}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_{i}(c_{i}-\bar{x})^{2}
Công thức tương đương · thường dùng khi tính tay
s^{2}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}n_{i}c_{i}^{2}-\bar{x}^{2}
VÌ SAO PHẢI BÌNH PHƯƠNG ĐỘ LỆCH
Các độ lệch (c_{i}-\bar{x}) có thể âm hoặc dương. Nếu cộng trực tiếp, chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau . Bình phương lên trước khi cộng đảm bảo mọi độ lệch đều đóng góp dương vào phương sai, bất kể nhóm đó nằm trên hay dưới \bar{x}.
ĐỘ LỆCH TỪNG NHÓM SO VỚI x̄
Mỗi độ lệch (c_{i}-\bar{x}) được bình phương rồi nhân trọng số n_{i} trước khi lấy trung bình
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 4 · PHƯƠNG SAI
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Áp dụng · Tính phương sai từ bảng
Tiếp tục mẫu lớp 12A1 — đã có \bar{x}=29{,}25 ở trang 3.
BÀI MẪU · TÍNH PHƯƠNG SAI 5 BƯỚC
Đề: Tính phương sai s^{2} của mẫu thời gian tự học lớp 12A1, biết \bar{x}=29{,}25.
BƯỚC 1 Độ lệch c_{i}-\bar{x}: -19{,}25;\;-9{,}25;\;0{,}75;\;10{,}75;\;20{,}75.
BƯỚC 2 Bình phương: 370{,}5625;\;85{,}5625;\;0{,}5625;\;115{,}5625;\;430{,}5625.
BƯỚC 3 Nhân tần số n_{i}: 1852{,}8125;\;770{,}0625;\;7{,}3125;\;1155{,}625;\;1291{,}6875.
BƯỚC 4 Tổng: \sum n_{i}(c_{i}-\bar{x})^{2}=5077{,}5.
BƯỚC 5 s^{2}=\dfrac{5077{,}5}{40}=126{,}9375\approx126{,}94.
Phương sai: s^{2}\approx126{,}94\ (\text{phút}^{2})
⚠ ĐƠN VỊ CỦA PHƯƠNG SAI
Kết quả s^{2}\approx126{,}94 có đơn vị phút bình phương — bình phương đơn vị dữ liệu gốc.
Vì đơn vị đã bị bình phương, s^{2} không thể so sánh trực tiếp với dữ liệu gốc (đơn vị "phút"). Muốn có một số đo phân tán cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu, em cần lấy căn bậc hai của s^{2} — đó chính là độ lệch chuẩn , học ở trang tiếp theo.
KIỂM TRA NHANH BẰNG CÔNG THỨC 2
\sum n_{i}c_{i}^{2}=5(100)+9(400)+13(900)+10(1600)+3(2500)=39300.
s^{2}=\dfrac{39300}{40}-29{,}25^{2}=982{,}5-855{,}5625=126{,}9375 — khớp với kết quả ở BƯỚC 5.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 4 · VÍ DỤ TÍNH PHƯƠNG SAI
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Độ lệch chuẩn & Ý nghĩa các số đo phân tán
Đưa phương sai trở về đúng đơn vị dữ liệu gốc — số đo phân tán dùng để so sánh giữa các mẫu.
CÔNG THỨC
s=\sqrt{s^{2}}
Vì sao lấy căn bậc hai
s^{2} có đơn vị bình phương đơn vị dữ liệu gốc. Lấy căn bậc hai đưa s về cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu (ví dụ: phút, điểm, kg…), nên s mới là số đo dùng để so sánh mức độ đồng đều / ổn định giữa các mẫu số liệu khác nhau.
Ý NGHĨA CHUNG CỦA BỐN SỐ ĐO PHÂN TÁN
Cả bốn đại lượng R, \Delta_{Q}, s^{2}, s đều đo mức độ "trải rộng" của số liệu quanh giá trị trung tâm. Quy tắc chung:
R,\Delta_{Q},s^{2},s càng NHỎ → dữ liệu càng ĐỒNG ĐỀU , ít phân tán quanh \bar{x}
Ngược lại, các giá trị này càng lớn thì số liệu càng trải rộng , kém ổn định, kém đồng đều.
DÙNG KHI NÀO
R — ước lượng nhanh, dễ tính, nhưng nhạy với ngoại lệ.
\Delta_{Q} — ổn định hơn R, dùng khi nghi ngờ có giá trị bất thường.
SO SÁNH GIỮA CÁC MẪU
s^{2}, s — dùng toàn bộ dữ liệu, là công cụ chuẩn để so sánh độ ổn định giữa hai hay nhiều mẫu (xem trang sau).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 5 · ĐỘ LỆCH CHUẨN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
So sánh độ ổn định giữa hai lớp
Độ lệch chuẩn là công cụ chuẩn để trả lời câu hỏi: "Lớp nào học đều hơn?"
BẢNG SỐ LIỆU LỚP 12A2 · ĐỐI CHỨNG
Cùng 5 nhóm thời gian [5;15),[15;25),[25;35),[35;45),[45;55), lớp 12A2 (n=40) có tần số 3,12,16,7,2.
Tính tương tự KN01, KN04: \bar{x}_{B}=28{,}25 (phút) và s_{B}^{2}=94{,}44.
BÀI MẪU · SO SÁNH ĐỘ ỔN ĐỊNH SO SÁNH
Đề: Lớp 12A1 có \bar{x}_{A}=29{,}25,\;s_{A}^{2}=126{,}94. Lớp 12A2 có \bar{x}_{B}=28{,}25,\;s_{B}^{2}=94{,}44. Lớp nào học tập đồng đều hơn?
BƯỚC 1 s_{A}=\sqrt{126{,}94}\approx11{,}27 (phút).
BƯỚC 2 s_{B}=\sqrt{94{,}44}\approx9{,}72 (phút).
BƯỚC 3 So sánh: $s_{B}\approx9{,}72
Lớp 12A2 học tập đồng đều hơn (độ lệch chuẩn nhỏ hơn)
Lớp
\bar{x} (phút)
s^{2}
s (phút)
12A1 · 29,25 · 126,94 · 11,27
12A2 · 28,25 · 94,44 · 9,72
NHẬN XÉT
Hai lớp có số trung bình gần bằng nhau (29{,}25 và 28{,}25), nhưng độ lệch chuẩn khác nhau rõ rệt . Nếu chỉ nhìn \bar{x}, em sẽ nghĩ hai lớp "giống nhau" — đây chính là lý do vì sao số đo phân tán là bắt buộc , không thể chỉ dùng số trung bình để đánh giá một mẫu số liệu.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 13 · KHÁI NIỆM 5 · SO SÁNH ĐỘ ỔN ĐỊNH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 13 · Số đặc trưng đo mức độ phân tán
11 /13
06 KHÁI NIỆM
3 Phần — 3 cách ra đề
Cùng một chủ đề nhưng ba phần thi khai thác theo ba hướng khác nhau.
PHẦN I · TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT
Định dạng: Một câu - bốn lựa chọn A/B/C/D.
Kiểu hỏi:
- Đọc bảng tần số ghép nhóm, xác định n_{i}, c_{i}.
- Nhận biết công thức R,\Delta_{Q},s^{2},s.