CHỦ ĐỀ 17 - Xác suất có điều kiện
Tài liệu CHỦ ĐỀ 17 - Xác suất có điều kiện trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 17
12345678910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
01 /13
CHỦ ĐỀ 17
Xác suất có điều kiện
Định nghĩa P(A|B) · Công thức nhân xác suất · Biến cố độc lập · Sơ đồ cây xác suất
Trong 10 phút , em sẽ hiểu xác suất có điều kiện là gì, cách dùng công thức nhân xác suất , phân biệt biến cố độc lập với biến cố xung khắc , và cách dùng sơ đồ cây để giải bài toán nhiều giai đoạn.
Đây là nền tảng bắt buộc cho Chủ đề 18 · Bayes ngay sau đây. Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 5 khái niệm + chiến thuật + tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Năm khái niệm cốt lõi
Kèm chiến thuật & 2 trang tổng kết
Xác suất có điều kiện là gì? Định nghĩa · Ý nghĩa thu hẹp không gian mẫu
TR.02-03
Công thức nhân xác suất P(A∩B) = P(B)·P(A|B)
TR.04-05
Biến cố độc lập Phân biệt với biến cố xung khắc
TR.06
Sơ đồ cây xác suất Nhân theo nhánh · Cộng theo lá
TR.07-08
Bài toán ứng dụng thực tế Kiểm tra sản phẩm lỗi
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Xác suất có điều kiện là gì?
Khi biết một biến cố đã xảy ra, không gian mẫu bị thu hẹp lại. Đây là ý tưởng cốt lõi của cả chủ đề.
Cho hai biến cố A,B với P(B)>0. Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B, kí hiệu P(A\mid B), là xác suất để A xảy ra, biết rằng B đã xảy ra .
CÔNG THỨC ĐỊNH NGHĨA
P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad\bigl(P(B)>0\bigr)
Mổ xẻ từng phần
"P(A\mid B)" — đọc là "xác suất của A với điều kiện B" . Dấu \mid đọc là "với điều kiện" hoặc "biết rằng".
Tử số P(A\cap B) — xác suất để CẢ HAI A và B cùng xảy ra.
Mẫu số P(B) — xác suất của biến cố đã biết là xảy ra. Bắt buộc P(B)>0, nếu không phép chia vô nghĩa.
Ý NGHĨA · KHÔNG GIAN MẪU THU HẸP
Khi biết B đã xảy ra, ta chỉ còn quan tâm đến các kết quả thuộc B — không gian mẫu "thu nhỏ" lại từ \Omega xuống còn B.
P(A\mid B) chính là tỉ lệ của phần A\cap B bên trong không gian mẫu mới (là B) này.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA P(A|B)
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Minh hoạ & Ví dụ áp dụng
Sơ đồ Venn cho thấy trực quan việc "thu hẹp không gian mẫu". Sau đó áp dụng vào bài toán hộp bi.
SƠ ĐỒ VENN · A GIAO B TRONG KHÔNG GIAN MẪU B
Khi B đã xảy ra, không gian mẫu thu hẹp về vùng B (tô vàng); P(A\mid B) là tỉ lệ phần A\cap B (tô đậm) trong vùng B đó
⚠ ĐỪNG NHẦM · P(A|B) khác P(A)
P(A\mid B) và P(A) (không điều kiện) thường KHÁC NHAU . Biết B xảy ra có thể làm thay đổi hẳn xác suất của A — xem ví dụ bên cạnh.
BÀI MẪU · HỘP BI ĐỎ & XANH 5 BƯỚC
Đề: Một hộp có 20 viên bi: 12 bi đỏ và 8 bi xanh. Trong 12 bi đỏ có 5 bi đánh số chẵn; trong 8 bi xanh có 3 bi đánh số chẵn. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Gọi A: "bi lấy được đánh số chẵn", B: "bi lấy được màu đỏ". Biết bi lấy được màu đỏ, tính P(A\mid B).
BƯỚC 1 P(B)=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5} (xác suất lấy được bi đỏ).
BƯỚC 2 P(A\cap B)=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4} (xác suất lấy được bi đỏ VÀ số chẵn).
BƯỚC 3 Áp dụng công thức: P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1/4}{3/5}.
BƯỚC 4 Tính toán: \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{12}.
BƯỚC 5 Kiểm tra trực giác: trong 12 bi đỏ có 5 bi số chẵn \Rightarrow\dfrac{5}{12}. Khớp!
P(A\mid B)=\dfrac{5}{12} — trong khi P(A)=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 1 · MINH HOẠ & VÍ DỤ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Công thức nhân xác suất
Biến đổi trực tiếp từ định nghĩa — dùng để TÍNH P(A∩B) khi đã biết một xác suất có điều kiện.
CÔNG THỨC NHÂN
Từ P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, suy ra: P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)=P(A)\cdot P(B\mid A)
Vì sao có hai cách viết
Ta có thể "điều kiện hoá" theo B (nhân P(B) với P(A\mid B), cần P(B)>0) hoặc theo A (nhân P(A) với P(B\mid A), cần P(A)>0). Cả hai cách đều cho cùng một kết quả P(A\cap B) — chọn cách nào tiện hơn theo dữ kiện đề bài.
MỞ RỘNG CHO BA BIẾN CỐ
P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B)
Mỗi bước nhân thêm một xác suất có điều kiện, dựa trên tất cả các biến cố đã xảy ra trước đó : trước tiên A xảy ra, rồi B xảy ra biết A đã xảy ra, rồi C xảy ra biết cả A và B đã xảy ra.
⚠ CÓ HOÀN LẠI vs KHÔNG HOÀN LẠI
Rút CÓ hoàn lại (trả bi lại rồi mới rút tiếp): hai lần rút độc lập , dùng thẳng P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
Rút KHÔNG hoàn lại (không trả lại): xác suất lần 2 phụ thuộc kết quả lần 1, bắt buộc dùng P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A) — không được dùng P(A)\cdot P(B).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 2 · CÔNG THỨC NHÂN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Ví dụ áp dụng · Rút không hoàn lại
Bài toán kinh điển: rút liên tiếp 2 bi không hoàn lại từ cùng một hộp.
GHI NHỚ
Không hoàn lại, 2 lần rút: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)
TẠI SAO LẦN 2 PHỤ THUỘC LẦN 1
Sau khi rút lần 1 mà không trả lại , tổng số bi trong hộp giảm đi 1. Nếu lần 1 lấy được bi đỏ, số bi đỏ còn lại trong hộp cũng giảm đi 1.
Vì thành phần của hộp đã thay đổi, xác suất lần 2 không còn như ban đầu — nó phụ thuộc vào kết quả của lần 1.
Nhận diện đề bài "không hoàn lại"
"không hoàn lại" / "không trả lại" / "lấy liên tiếp không thay thế" — dùng P(B\mid A), kết quả lần trước ảnh hưởng lần sau.
"có hoàn lại" / "trả lại rồi rút tiếp" / "độc lập" — hai lần không ảnh hưởng nhau, P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).
Đề nói "lấy đồng thời" nhiều viên cùng lúc cũng tương đương không hoàn lại .
BÀI MẪU · RÚT 2 BI KHÔNG HOÀN LẠI 3 BƯỚC
Đề: Một hộp có 10 viên bi: 6 bi đỏ, 4 bi xanh. Rút liên tiếp 2 bi, không hoàn lại. Gọi A: "bi thứ nhất màu đỏ", B: "bi thứ hai màu đỏ". Tính xác suất cả hai lần đều rút được bi đỏ.
BƯỚC 1 P(A)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
BƯỚC 2 Sau khi rút 1 bi đỏ (không trả lại), hộp còn 9 bi với 5 bi đỏ \Rightarrow P(B\mid A)=\dfrac{5}{9}.
BƯỚC 3 Công thức nhân: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{1}{3}.
P(\text{cả 2 lần đều đỏ})=\dfrac{1}{3}
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 2 · VÍ DỤ KHÔNG HOÀN LẠI
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Biến cố độc lập
Khi nào việc B xảy ra hay không KHÔNG ảnh hưởng đến xác suất của A?
ĐIỀU KIỆN ĐỘC LẬP
Hai biến cố A,B độc lập khi và chỉ khi P(A\mid B)=P(A), tương đương P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
Biến cố xung khắc A\cap B=\varnothing
Khi nào: A và B không thể cùng xảy ra trong một phép thử.
Nói về quan hệ giữa hai tập kết quả — hoàn toàn không liên quan đến xác suất.
Ví dụ: Gieo 1 xúc xắc. A: "ra mặt 1", B: "ra mặt 6". Không thể vừa ra mặt 1 vừa ra mặt 6 \Rightarrow xung khắc.
Biến cố độc lập P(A\mid B)=P(A)
Khi nào: Biết B xảy ra hay không không làm thay đổi xác suất của A.
Nói về quan hệ giữa hai xác suất — hai biến cố vẫn có thể cùng xảy ra.
Ví dụ: Tung 2 đồng xu. A: "đồng 1 ra ngửa", B: "đồng 2 ra ngửa". Kết quả đồng 2 không ảnh hưởng đồng 1 \Rightarrow độc lập.
KIỂM TRA ĐỘC LẬP BẰNG SỐ LIỆU
Gieo 1 xúc xắc cân đối. A: "ra mặt chẵn" (P(A)=\dfrac{1}{2}), B: "ra mặt lớn hơn 3" (P(B)=\dfrac{1}{2}). A\cap B=\{4;6\} nên P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
So sánh: P(A)\cdot P(B)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\ne\dfrac{1}{3}=P(A\cap B) \Rightarrow A,B KHÔNG độc lập .
⚠ HAI KHÁI NIỆM HOÀN TOÀN KHÁC NHAU
"Xung khắc" và "độc lập" là hai khái niệm khác nhau , rất dễ nhầm. Thực ra chúng gần như đối lập : nếu A,B xung khắc và P(A)>0,P(B)>0 thì P(A\cap B)=0 trong khi P(A)\cdot P(B)>0, hai giá trị không thể bằng nhau.
Kết luận: nếu A,B xung khắc và đều có xác suất dương thì A,B KHÔNG BAO GIỜ độc lập .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 3 · BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Sơ đồ cây xác suất
Công cụ trực quan hoá các giai đoạn liên tiếp của một phép thử nhiều bước.
QUY TẮC NHÂN TRÊN CÂY
Xác suất của một đường đi từ gốc đến lá bằng TÍCH các xác suất trên các nhánh của đường đi đó
Cách đọc sơ đồ cây
Mỗi tầng — biểu diễn một giai đoạn của phép thử (ví dụ: tầng 1 là chọn hộp, tầng 2 là rút bi).
Mỗi nhánh — gắn một xác suất có điều kiện, dựa trên các nhánh đã đi qua trước đó .
Mỗi đường đi đầy đủ (từ gốc đến lá) — xác suất bằng tích các nhánh trên đường đi; tổng xác suất tất cả các nhánh xuất phát từ cùng một nút luôn bằng 1.
SƠ ĐỒ CÂY 2 TẦNG · CHỌN HỘP → RÚT BI
Mỗi đường từ gốc đến lá là tích các xác suất trên nhánh
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 4 · SƠ ĐỒ CÂY
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Bài toán 2 giai đoạn với sơ đồ cây
Vẽ cây, gắn xác suất, nhân theo từng nhánh, cộng theo các đường đi cùng kết quả.
BÀI MẪU · CHỌN HỘP RỒI RÚT BI 5 BƯỚC
Đề: Có 2 hộp: Hộp I có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; Hộp II có 4 bi đỏ, 1 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 hộp (khả năng như nhau), rồi rút ngẫu nhiên 1 bi từ hộp đã chọn. Tính xác suất rút được bi đỏ.
BƯỚC 1 Vẽ sơ đồ cây 2 tầng: tầng 1 là "chọn hộp" (Hộp I / Hộp II), tầng 2 là "rút bi" (Đỏ / Xanh) — như FIG.17-02 ở trang trước.
BƯỚC 2 Gắn xác suất tầng 1: P(\text{Hộp I})=\dfrac{1}{2}, P(\text{Hộp II})=\dfrac{1}{2}.
BƯỚC 3 Gắn xác suất tầng 2 (có điều kiện theo hộp): P(\text{Đỏ}\mid\text{Hộp I})=\dfrac{3}{5}, P(\text{Đỏ}\mid\text{Hộp II})=\dfrac{4}{5}.
BƯỚC 4 Nhân theo từng nhánh dẫn tới "Đỏ": P(\text{Hộp I}\cap\text{Đỏ})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{10}; P(\text{Hộp II}\cap\text{Đỏ})=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5}.
BƯỚC 5 Cộng hai nhánh cùng dẫn đến "Đỏ" (vì "chọn Hộp I" và "chọn Hộp II" xung khắc): P(\text{Đỏ})=\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{7}{10}.
P(\text{rút được bi đỏ})=\dfrac{7}{10}
QUY TẮC TỔNG HỢP · NHÂN DỌC · CỘNG NGANG
NHÂN các xác suất dọc theo một đường đi từ gốc đến lá. CỘNG các đường đi khác nhau nhưng cùng dẫn tới một kết quả.
Đây chính là ý tưởng nền tảng sẽ dẫn tới công thức xác suất toàn phần ở Chủ đề 18 — nhưng ở đây ta chỉ cần vẽ cây và tính trực tiếp, không cần thuộc thêm công thức nào khác.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 4 · BÀI TOÁN SƠ ĐỒ CÂY
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 17 · Xác suất có điều kiện
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Kiểm tra sản phẩm lỗi · Thiết lập bài toán
Đọc kỹ dữ liệu, đặt tên biến cố, nhận diện cụm từ điều kiện trước khi tính.
Đề bài
Một nhà máy có 2 dây chuyền sản xuất . Dây chuyền 1 sản xuất 60\% tổng sản phẩm với tỉ lệ lỗi 2\%. Dây chuyền 2 sản xuất 40\% tổng sản phẩm với tỉ lệ lỗi 5\%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho.
a) Tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi.
b) Biết sản phẩm đó bị lỗi, tính xác suất nó được sản xuất từ Dây chuyền 2.
Dây chuyền · Tỉ lệ sản xuất · Tỉ lệ sản phẩm lỗi
Dây chuyền 1 · 60\%=\dfrac{3}{5} · 2\%=\dfrac{1}{50}
Dây chuyền 2 · 40\%=\dfrac{2}{5} · 5\%=\dfrac{1}{20}
Đặt biến cố
D_{1}: "sản phẩm được sản xuất từ Dây chuyền 1". P(D_{1})=0.6=\dfrac{3}{5}.
D_{2}: "sản phẩm được sản xuất từ Dây chuyền 2". P(D_{2})=0.4=\dfrac{2}{5}.
L: "sản phẩm bị lỗi". Đã cho sẵn hai xác suất có điều kiện : P(L\mid D_{1})=0.02, P(L\mid D_{2})=0.05.
MẸO NHẬN DIỆN ĐỀ BÀI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Các cụm từ "biết rằng" , "với điều kiện" , "nếu đã biết" luôn báo hiệu một xác suất có điều kiện P(\cdot\mid\cdot). Biến cố đứng sau các cụm từ này chính là điều kiện (nằm bên phải dấu \mid).
Ở câu (b): "Biết sản phẩm bị lỗi" \Rightarrow điều kiện là L \Rightarrow cần tính P(D_{2}\mid L), KHÔNG phải P(L\mid D_{2}) (đại lượng này đã cho sẵn trong đề!).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 17 · KHÁI NIỆM 5 · THIẾT LẬP BÀI TOÁN
study.thptai.kr