CHỦ ĐỀ 16 - Ứng dụng hình học của tích phân
Tài liệu CHỦ ĐỀ 16 - Ứng dụng hình học của tích phân trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 16
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
01 /13
CHỦ ĐỀ 16
Ứng dụng hình học của tích phân
Diện tích hình phẳng · Thể tích khối tròn xoay · Quy trình tìm cận tích phân
Trong 10 phút , em sẽ biết cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox.
Đây là bài cuối cùng của Chương IV — Tích phân , nối tiếp Chủ đề 15. Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 5 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Năm khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Diện tích — 1 đường cong với Ox Định nghĩa · Trường hợp đổi dấu
TR.02-03
Diện tích — 2 đường cong Công thức tổng quát · Tìm giao điểm
TR.04-05
Quy trình tìm cận tích phân 3 bước áp dụng mọi bài toán
TR.06
Thể tích khối tròn xoay quanh Ox Một đường cong · Công thức cơ bản
TR.07-08
Thể tích giữa 2 đường cong Quy trình giải toán tổng quát
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Diện tích hình phẳng — 1 đường cong với Ox
Diện tích luôn không âm. Trị tuyệt đối chính là chìa khoá của công thức.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx
Mổ xẻ từng phần
Trị tuyệt đối |f(x)| — diện tích luôn không âm , trong khi tích phân \int_{a}^{b}f(x)dx có thể ra kết quả âm nếu đồ thị nằm dưới trục Ox.
Nếu f(x)\ge 0 trên [a;b] — đồ thị nằm hoàn toàn trên trục Ox thì |f(x)|=f(x), tính bình thường S=\int_{a}^{b}f(x)dx.
Nếu f(x)\le 0 trên [a;b] — đồ thị nằm hoàn toàn dưới trục Ox thì |f(x)|=-f(x), tính S=-\int_{a}^{b}f(x)dx.
ĐỒ THỊ ĐỔI DẤU TRÊN [a;b]
Đồ thị cắt trục Ox tại x=c: phần dưới trục (cam) và phần trên trục (xanh) được tô riêng
MẸO NHỚ CÔNG THỨC · ANALOGY
Dù đồ thị nằm trên hay dưới trục Ox, trị tuyệt đối luôn "gập" phần diện tích đó lên trên, để không bao giờ ra kết quả âm.
Nếu đồ thị không đổi dấu trên [a;b], em chỉ cần tính tích phân bình thường rồi lấy trị tuyệt đối của kết quả.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 1 · DIỆN TÍCH VỚI TRỤC OX
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Khi hàm số đổi dấu trên đoạn [a;b]
Bước quan trọng nhất: tách tích phân tại nghiệm, rồi xét dấu từng khoảng.
ĐIỂM CỐT LÕI · TÁCH TÍCH PHÂN TẠI NGHIỆM
Nếu phương trình f(x)=0 có nghiệm c\in(a;b) (đồ thị cắt trục Ox tại x=c), bắt buộc phải TÁCH tích phân tại c:
S=\int_{a}^{c}|f(x)|dx+\int_{c}^{b}|f(x)|dx
Trên mỗi đoạn con, xét dấu f(x) để bỏ trị tuyệt đối đúng dấu, rồi tính riêng từng tích phân trước khi cộng lại.
BÀI MẪU · HÀM ĐỔI DẤU 5 BƯỚC
Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x^{3}-x, trục Ox, x=-1, x=1.
BƯỚC 1 Giải x^{3}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)(x+1)=0\Leftrightarrow x=-1,\;x=0,\;x=1. Nghiệm x=0\in(-1;1) nên phải tách tại c=0.
BƯỚC 2 Xét dấu trên (-1;0): thử x=-0,5, f(-0,5)=(-0,5)^{3}-(-0,5)=0,375>0. Xét dấu trên (0;1): thử x=0,5, f(0,5)=-0,375<0.
BƯỚC 3 Tách và bỏ trị tuyệt đối đúng dấu: S=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^{3}-x)dx+\int_{0}^{1}\bigl[-(x^{3}-x)\bigr]dx.
BƯỚC 4 Tính từng phần: \displaystyle\int_{-1}^{0}(x^{3}-x)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0}=\dfrac14; \displaystyle\int_{0}^{1}-(x^{3}-x)dx=\dfrac14.
BƯỚC 5 Cộng lại: S=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12.
Diện tích: S=\dfrac{1}{2} (đơn vị diện tích)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 1 · HÀM ĐỔI DẤU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Diện tích hình phẳng — 2 đường cong
Công thức tổng quát hơn KN01: thay f(x) bằng hiệu f(x)-g(x).
CÔNG THỨC
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a, x=b:
S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx
Mổ xẻ công thức
Hiệu f(x)-g(x) — là hiệu của hai hàm số , không phải riêng lẻ từng hàm như KN01.
Trị tuyệt đối — cần thiết vì chưa biết đồ thị nào "ở trên" trên toàn đoạn [a;b].
Trường hợp riêng — khi g(x)=0 (trục Ox), công thức trở về đúng công thức KN01: S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx.
DIỆN TÍCH GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Diện tích S là phần tô giữa hai đồ thị, tính từ x=a đến x=b
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 2 · DIỆN TÍCH 2 ĐƯỜNG CONG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Khi đề không cho sẵn cận a,b
Cận chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị — bước hay bị bỏ sót nhất.
CÁCH TÌM CẬN
Cận a,b chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
f(x)=g(x)
TẠI SAO CÁCH LÀM NÀY ĐÚNG
Hai đồ thị cắt nhau tại các điểm có cùng hoành độ và tung độ . Giải f(x)=g(x) để tìm các hoành độ đó.
Các nghiệm tìm được chính là cận tự nhiên của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong — không cần đề cho thêm x=a,x=b.
GIAO ĐIỂM QUYẾT ĐỊNH CẬN
Hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm — hoành độ của chúng chính là cận a,b
BÀI MẪU · TÌM CẬN TỪ GIAO ĐIỂM 4 BƯỚC
Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x^{2} và y=x.
BƯỚC 1 Tìm giao điểm: giải x^{2}=x\Leftrightarrow x^{2}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0,\;x=1. Vậy cận a=0,\;b=1.
BƯỚC 2 Xét dấu f(x)-g(x)=x-x^{2} trên (0;1): thử x=0,5: 0,5-0,25=0,25>0, nên x\ge x^{2} trên (0;1).
BƯỚC 3 Bỏ trị tuyệt đối: S=\displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^{2})dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}.
BƯỚC 4 Tính: S=\left(\dfrac12-\dfrac13\right)-0=\dfrac16.
Diện tích: S=\dfrac{1}{6} (đơn vị diện tích)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 2 · TÌM CẬN TỪ GIAO ĐIỂM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Quy trình 3 bước tìm cận tích phân
Áp dụng cho MỌI bài toán diện tích, dù giới hạn bởi Ox hay 2 đường cong.
Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) hoặc f(x)=0
Khi nào: Đề chỉ cho các đường cong, không cho sẵn x=a,x=b.
Cách làm: Nếu giới hạn bởi 2 đường cong, giải f(x)=g(x). Nếu giới hạn bởi trục Ox, giải f(x)=0. Tìm tất cả nghiệm x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}.
Ví dụ: x^{3}-x=0
suy ra x=-1,\;0,\;1.
Xác định cận từng đoạn nhỏ Hai nghiệm liền kề = một cặp cận
Khi nào: Đã có danh sách nghiệm x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}.
Cách làm: Mỗi cặp nghiệm liền kề [x_{i};x_{i+1}] tạo một đoạn tích phân riêng. Diện tích toàn phần là TỔNG diện tích trên từng đoạn nhỏ.
Ví dụ: nghiệm -1,0,1
tạo 2 đoạn: [-1;0] và [0;1].
Xét dấu trên từng đoạn Bỏ đúng trị tuyệt đối
Khi nào: Đã có các đoạn nhỏ từ Bước 2.
Cách làm: Lấy một giá trị đại diện trong mỗi đoạn, thay vào f(x)-g(x) (hoặc f(x)) để xác định dấu. Dấu dương giữ nguyên, dấu âm đổi dấu khi bỏ trị tuyệt đối.
Ví dụ: trên (-1;0) dấu dương,
trên (0;1) dấu âm (xem KN01, tr.03).
⚠ NẾU PHƯƠNG TRÌNH VÔ NGHIỆM TRÊN ĐOẠN XÉT
Nếu giải f(x)=g(x) (hoặc f(x)=0) vô nghiệm trên đoạn đang xét mà đề vẫn hỏi diện tích, hãy kiểm tra lại đề bài — thường đề đã cho sẵn x=a,x=b trong trường hợp này.
Khi đó em chỉ cần xét dấu f(x)-g(x) (hoặc f(x)) trên [a;b] để bỏ trị tuyệt đối, mà không cần tách đoạn theo nghiệm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 3 · QUY TRÌNH TÌM CẬN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox
Quay hình phẳng quanh Ox tạo khối tròn xoay 3 chiều. Công thức có thêm bình phương và số \pi.
CÔNG THỨC CỐT LÕI
Quay hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), Ox, x=a, x=b quanh trục Ox, thể tích khối tròn xoay:
V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx
Mổ xẻ công thức
Bình phương [f(x)]^{2} — KHÔNG dùng trị tuyệt đối như diện tích, mà bình phương hàm số, vì diện tích mặt cắt tròn tỉ lệ với bán kính bình phương.
Hệ số \pi — mỗi mặt cắt vuông góc Ox là một hình tròn bán kính |f(x)|, có diện tích \pi[f(x)]^{2}.
Không cần xét dấu — vì [f(x)]^{2}\ge 0 luôn đúng, dù f(x) đổi dấu vẫn KHÔNG cần tách đoạn như tính diện tích.
TỪ HÌNH PHẲNG ĐẾN KHỐI TRÒN XOAY
Quay hình phẳng quanh Ox; mỗi lát cắt vuông góc Ox là một hình tròn bán kính f(x)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 4 · THỂ TÍCH QUAY QUANH OX
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Áp dụng · Sai lầm thường gặp
Làm ví dụ từng bước và ghi nhớ các lỗi hay mắc khi tính thể tích.
BÀI MẪU · TÍNH THỂ TÍCH 4 BƯỚC
Đề: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y=\sqrt{x}, trục Ox, x=0, x=4 quanh trục Ox.
BƯỚC 1 Xác định: f(x)=\sqrt{x}, cận a=0,\;b=4.
BƯỚC 2 Áp dụng công thức: V=\pi\displaystyle\int_{0}^{4}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}dx=\pi\int_{0}^{4}x\,dx.
BƯỚC 3 Tính nguyên hàm: \displaystyle\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\dfrac{16}{2}-0=8.
BƯỚC 4 Nhân với \pi: V=\pi\cdot 8.
Thể tích: V=8\pi (đơn vị thể tích)
⚠ BA SAI LẦM PHỔ BIẾN
1. Quên bình phương f(x) — viết nhầm V=\pi\int f(x)dx thay vì V=\pi\int[f(x)]^{2}dx.
2. Quên nhân \pi ở bước cuối — ra kết quả 8 thay vì 8\pi.
3. Bình phương sai với căn thức — \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2} phải rút gọn về x, không được giữ nguyên căn.
LƯU Ý MỞ RỘNG
Nếu hình phẳng nằm cả trên và dưới Ox (tức f(x) đổi dấu), công thức thể tích vẫn giữ nguyên vì [f(x)]^{2}\ge 0 luôn đúng.
Khác với diện tích, thể tích không cần tách đoạn theo dấu của f(x).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 4 · ÁP DỤNG & SAI LẦM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Thể tích khối tròn xoay giữa 2 đường cong
Khối tròn xoay có "lỗ rỗng" ở giữa — hiệu hai bình phương, không phải bình phương của hiệu.
CÔNG THỨC
Quay hình phẳng giới hạn bởi y=f(x), y=g(x) (với f(x)\ge g(x)\ge 0 trên [a;b]), x=a,x=b quanh Ox:
V=\pi\int_{a}^{b}\Bigl([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\Bigr)dx
Diện tích Dùng trị tuyệt đối
Công thức:
S=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx
Không cần điều kiện f\ge g. Trị tuyệt đối tự động xử lý trường hợp đồ thị nào ở trên.
Lưu ý: luôn xét dấu f(x)-g(x) trước khi bỏ trị tuyệt đối.
Thể tích Dùng hiệu bình phương
Công thức:
V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2}\bigr)dx
BẮT BUỘC f(x)\ge g(x)\ge 0 trên [a;b]. KHÔNG có trị tuyệt đối.
Lưu ý: nếu thứ tự hàm sai, kết quả sẽ sai giá trị.
⚠ ĐỪNG NHẦM CÔNG THỨC
Nhiều học sinh viết nhầm V=\pi\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)^{2}dx (bình phương CỦA HIỆU) thay vì [f(x)]^{2}-[g(x)]^{2} (HIỆU CỦA BÌNH PHƯƠNG) — đây là SAI, hai biểu thức không bằng nhau .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 16 · KHÁI NIỆM 5 · THỂ TÍCH 2 ĐƯỜNG CONG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 16 · Ứng dụng hình học của tích phân
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Quy trình tổng quát giải toán diện tích & thể tích
4 bước áp dụng được cho mọi bài toán trong Chủ đề 16, kể cả dạng nâng cao.
QUY TRÌNH 4 BƯỚC
Bước 1 — Xác định hàm số: xác định rõ y=f(x), y=g(x) liên quan (nếu chỉ có 1 đường cong với Ox thì xem g(x)=0).
Bước 2 — Tìm cận: cận là x=a,x=b đề cho sẵn, hoặc hoành độ giao điểm — giải f(x)=g(x) (xem KN03, tr.06).
Bước 3 — Thiết lập đúng công thức: xác định bài toán hỏi DIỆN TÍCH (dùng |f-g|) hay THỂ TÍCH (dùng \pi và [f]^{2}-[g]^{2}), và 1 hay 2 đường cong.
Bước 4 — Tính tích phân: xét dấu từng đoạn (nếu diện tích) hoặc tính trực tiếp (nếu thể tích), tìm nguyên hàm và thay cận.
Bước
Diện tích
Thể tích
1. Xác định hàm · f(x),g(x) (lấy g=0 nếu chỉ có Ox) · f(x),g(x) (lấy g=0 nếu chỉ có Ox)
2. Tìm cận · Giải f(x)=g(x) hoặc dùng x=a,b cho sẵn · Giải f(x)=g(x) hoặc dùng x=a,b cho sẵn