CHỦ ĐỀ 12 - Hệ tọa độ Oxyz & biểu thức tọa độ vectơ
Tài liệu CHỦ ĐỀ 12 - Hệ tọa độ Oxyz & biểu thức tọa độ vectơ trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 12
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
01 /13
CHỦ ĐỀ 12
Hệ tọa độ Oxyz & biểu thức tọa độ của vectơ
Tọa độ điểm, tọa độ vectơ · Biểu thức tọa độ các phép toán · Độ dài, góc và điều kiện vuông góc
Trong 10 phút , em sẽ học cách gắn tọa độ vào từng điểm, từng vectơ trong không gian bằng hệ trục Oxyz , và cách tính các phép toán vectơ — cộng, trừ, nhân với số, tích vô hướng — hoàn toàn bằng con số.
Đây là bước chuyển quan trọng nhất: từ hình học thuần túy (Chủ đề 11) sang đại số hoá bằng tọa độ — nền tảng cho mọi bài toán Oxyz sau này. Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ điểm · Tọa độ vectơ
TR.02-03
Biểu thức tọa độ các phép toán Cộng, trừ, nhân số · Cùng phương
TR.04-05
Vectơ AB, trung điểm, trọng tâm Ba công thức nền tảng
TR.06
Độ dài, khoảng cách, tích vô hướng Theo tọa độ
TR.07-08
Góc giữa hai vectơ & vuông góc Theo tọa độ
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Hệ trục tọa độ Oxyz là gì?
Nền tảng để gắn con số vào từng điểm, từng vectơ trong không gian ba chiều.
Hệ trục tọa độ Oxyz gồm gốc tọa độ O và ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc , lần lượt mang các vectơ đơn vị \vec{i},\vec{j},\vec{k} với |\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1.
Mổ xẻ từng chữ một
"Gốc tọa độ O" — điểm chung của cả ba trục, mọi tọa độ đều được tính bắt đầu từ đây.
"Ba trục đôi một vuông góc" — Ox, Oy, Oz tạo thành ba phương độc lập trong không gian.
"Ba vectơ đơn vị \vec{i},\vec{j},\vec{k}" — mỗi vectơ có độ dài bằng 1 , nằm trên trục tương ứng, cùng chiều dương của trục.
"Mặt phẳng tọa độ" — (Oxy), (Oyz), (Ozx) là ba mặt phẳng tạo bởi từng cặp trục.
HỆ TRỤC OXYZ · ĐIỂM M VÀ HÌNH CHIẾU
Điểm M(x;y;z) xác định bởi hình chiếu lên ba trục Ox, Oy, Oz
HÌNH DUNG DỄ NHỚ · ANALOGY
Tưởng tượng em đứng ở góc phòng học: mép sàn hướng ra trước là Ox, mép sàn sang phải là Oy, cột tường dựng đứng lên trần là Oz.
Ba hướng đó vuông góc đôi một — đó chính là ba trục Ox, Oy, Oz, và góc phòng chính là gốc O.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA HỆ TRỤC OXYZ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Tọa độ điểm và tọa độ vectơ
Hai định nghĩa dùng suốt cả năm học — đọc kỹ và ghi nhớ chính xác.
ĐIỂM CỐT LÕI · TỌA ĐỘ ĐIỂM
Điểm M(x;y;z) \iff \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}. Ba số x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ, cao độ của điểm M.
Ví dụ: M(2;-3;5) nghĩa là \overrightarrow{OM}=2\vec{i}-3\vec{j}+5\vec{k}.
⚠ ĐỪNG NHẦM · TỌA ĐỘ ĐIỂM vs TỌA ĐỘ VECTƠ
Tọa độ điểm M luôn gắn với gốc O qua vectơ \overrightarrow{OM}.
Tọa độ vectơ \vec{u}=(x;y;z) nghĩa là \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, độc lập với vị trí — có thể "dịch chuyển" vectơ đi bất kỳ đâu mà tọa độ không đổi.
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau: \vec{u}=\vec{v} \iff x_{1}=x_{2},\,y_{1}=y_{2},\,z_{1}=z_{2}.
KIỂM TRA NHANH · SELF-CHECK
Cho M(2;-3;5). Tọa độ của vectơ \overrightarrow{OM} là gì?
(A) (2;-3;5) (B) (-2;3;-5)
(C) (2;3;5) (D) (0;0;0)
Đáp án: (A) . Vì \overrightarrow{OM} xuất phát từ gốc O nên tọa độ của nó luôn trùng với tọa độ điểm M.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 1 · TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Cộng, trừ vectơ và nhân với số
Ba phép toán cơ bản — làm thẳng trên từng tọa độ, y hệt số thực.
BA PHÉP TOÁN CƠ BẢN
Cho \vec{u}=(x_{1};y_{1};z_{1}), \vec{v}=(x_{2};y_{2};z_{2}), k\in\mathbb{R}:
\vec{u}+\vec{v}=(x_{1}+x_{2};\,y_{1}+y_{2};\,z_{1}+z_{2})\qquad \vec{u}-\vec{v}=(x_{1}-x_{2};\,y_{1}-y_{2};\,z_{1}-z_{2})\qquad k\vec{u}=(kx_{1};\,ky_{1};\,kz_{1})
Quy tắc thực hiện
Muốn cộng, trừ hai vectơ hay nhân một vectơ với số, em làm riêng trên từng tọa độ — y hệt như cộng, trừ, nhân các số thực bình thường. Không có phép "nhân chéo" hay "trộn" giữa các tọa độ x, y, z.
BA VÍ DỤ · TỪ DỄ ĐẾN KHÓ
Cho: \vec{u}=(2;-1;3), \vec{v}=(1;4;-2).
Tổng: \vec{u}+\vec{v}=(2+1;-1+4;3-2)=(3;3;1).
Hiệu: \vec{u}-\vec{v}=(2-1;-1-4;3+2)=(1;-5;5).
Nhân số: 3\vec{u}=(3\cdot2;3\cdot(-1);3\cdot3)=(6;-3;9).
⚠ HAI LỖI HAY GẶP
Lỗi 1: Cộng nhầm thứ tự tọa độ — ví dụ cộng x của \vec{u} với y của \vec{v}. Luôn ghép đúng cặp x với x, y với y, z với z.
Lỗi 2: Nhân k chỉ vào một tọa độ rồi quên hai tọa độ còn lại. Ví dụ 2\vec{u}=(2x_{1};y_{1};z_{1}) — SAI, phải nhân k vào cả ba tọa độ.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 2 · CỘNG TRỪ NHÂN SỐ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Điều kiện cùng phương & ví dụ áp dụng
Công thức hay bị hiểu nhầm nhất của Chủ đề 12 — đọc kỹ phần cảnh báo.
CÙNG PHƯƠNG
\vec{u} cùng phương \vec{v} (\vec{v}\ne\vec{0})
\iff \exists k: \vec{u}=k\vec{v}
\iff \dfrac{x_{1}}{x_{2}}=\dfrac{y_{1}}{y_{2}}=\dfrac{z_{1}}{z_{2}} (khi x_{2},y_{2},z_{2}\ne0)
TẠI SAO CẦN ĐIỀU KIỆN KHÁC 0
Nếu một trong x_{2}, y_{2}, z_{2} bằng 0, ta không thể chia cho nó — tỉ số không xác định.
Lúc đó quay lại định nghĩa gốc : kiểm tra trực tiếp xem có tồn tại k để \vec{u}=k\vec{v} hay không, so từng cặp tọa độ một.
HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
\vec{v}=k\vec{u} với k có thể âm — hai vectơ có thể ngược chiều
BÀI MẪU · TÍNH TỔNG, HIỆU, TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 4 BƯỚC
Đề: Cho \vec{u}=(3;-2;4), \vec{v}=(-1;5;2). Tính \vec{u}+\vec{v} và 2\vec{u}-3\vec{v}.
BƯỚC 1 Tính \vec{u}+\vec{v}=(3+(-1);\,-2+5;\,4+2)=(2;3;6).
BƯỚC 2 Tính 2\vec{u}=(6;-4;8).
BƯỚC 3 Tính 3\vec{v}=(-3;15;6).
BƯỚC 4 2\vec{u}-3\vec{v}=(6-(-3);\,-4-15;\,8-6)=(9;-19;2).
Kết quả: \vec{u}+\vec{v}=(2;3;6), 2\vec{u}-3\vec{v}=(9;-19;2)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 2 · ĐIỀU KIỆN CÙNG PHƯƠNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Tọa độ \overrightarrow{AB}, trung điểm, trọng tâm
Ba công thức nền tảng để giải hầu hết bài toán điểm trong Oxyz.
VECTƠ AB
\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};\,y_{B}-y_{A};\,z_{B}-z_{A})
TRUNG ĐIỂM I CỦA AB
I=\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2};\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2};\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)
TRỌNG TÂM G CỦA \triangle ABC
G=\left(\dfrac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\dfrac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\dfrac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right)
BÀI MẪU · ÁP DỤNG CẢ BA CÔNG THỨC 3 BƯỚC
Đề: Cho A(1;2;-1), B(3;-4;5), C(-2;0;4). Tính \overrightarrow{AB}, tọa độ trung điểm I của AB, và tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BƯỚC 1 \overrightarrow{AB}=(3-1;\,-4-2;\,5-(-1))=(2;-6;6).
BƯỚC 2 I=\left(\dfrac{1+3}{2};\dfrac{2+(-4)}{2};\dfrac{-1+5}{2}\right)=(2;-1;2).
BƯỚC 3 G=\left(\dfrac{1+3+(-2)}{3};\dfrac{2+(-4)+0}{3};\dfrac{-1+5+4}{3}\right)=\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}\right).
\overrightarrow{AB}=(2;-6;6); I(2;-1;2); G\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}\right)
MẸO GHI NHỚ
\overrightarrow{AB} luôn là điểm cuối trừ điểm đầu . Trung điểm của một đoạn thẳng (2 điểm) chia cho 2. Trọng tâm của một tam giác (3 điểm) chia cho 3.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 3 · AB, TRUNG ĐIỂM, TRỌNG TÂM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Độ dài vectơ & khoảng cách hai điểm
Công thức xuất hiện ở CẢ 3 PHẦN của đề thi — như Chủ đề 01 khoảng cách điểm-mặt.
ĐỘ DÀI VECTƠ
Cho \vec{u}=(x_{1};y_{1};z_{1}): |\vec{u}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}
Mổ xẻ từng phần
Bình phương từng tọa độ — luôn cho kết quả không âm, dù tọa độ ban đầu là âm.
Cộng ba bình phương — tổng luôn \ge 0.
Lấy căn bậc hai — kết quả là độ dài, luôn không âm.
ĐỘ DÀI VECTƠ · ĐƯỜNG CHÉO HÌNH HỘP
|\vec{u}| là đường chéo của hình hộp cạnh x, y, z
KHOẢNG CÁCH HAI ĐIỂM
AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}
MẸO GHI NHỚ
Khoảng cách AB chính là độ dài của vectơ \overrightarrow{AB} — không cần công thức mới, chỉ cần ghép Khái niệm 3 (tọa độ \overrightarrow{AB}) với công thức độ dài vectơ ở trên.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 4 · ĐỘ DÀI VECTƠ VÀ KHOẢNG CÁCH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Tích vô hướng theo tọa độ
Thay cho công thức |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta đã học ở Chủ đề 11 — giờ tính thẳng bằng tọa độ.
TÍCH VÔ HƯỚNG
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}
SO SÁNH VỚI CHỦ ĐỀ 11
Ở Chủ đề 11, tích vô hướng tính bằng \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u},\vec{v}) — cần biết độ dài và góc.
Trong hệ tọa độ, chỉ cần nhân từng cặp tọa độ tương ứng rồi cộng lại — nhanh và chính xác hơn nhiều, không cần biết góc trước.
BÀI MẪU · TÍNH AB VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG 3 BƯỚC
Đề: Cho A(1;0;2), B(3;-1;5), \vec{u}=(2;1;-3), \vec{v}=(0;4;1). Tính AB và \vec{u}\cdot\vec{v}.
BƯỚC 1 \overrightarrow{AB}=(3-1;-1-0;5-2)=(2;-1;3).
BƯỚC 2 AB=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.
BƯỚC 3 \vec{u}\cdot\vec{v}=2(0)+1(4)+(-3)(1)=0+4-3=1.
Kết quả: AB=\sqrt{14}; \vec{u}\cdot\vec{v}=1
⚠ SAI LẦM HAY GẶP
1. Quên bình phương trước khi cộng trong công thức độ dài — không được cộng tọa độ rồi mới bình phương.
2. Tích vô hướng cho ra một số thực , không phải một vectơ — không được viết \vec{u}\cdot\vec{v}=(...;...;...).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 4 · TÍCH VÔ HƯỚNG THEO TỌA ĐỘ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Góc giữa hai vectơ theo tọa độ
Kết hợp tích vô hướng và độ dài vectơ để tính góc mà không cần đo trực tiếp.
CÔNG THỨC GÓC
\cos(\vec{u},\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}
Ba bước tính góc
Tính tích vô hướng \vec{u}\cdot\vec{v} — đặt ở tử số.
Tính độ dài từng vectơ |\vec{u}|, |\vec{v}| — đặt ở mẫu số.
Chia và tra góc — dùng máy tính hoặc bảng giá trị cos để suy ra số đo góc.
GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Đặt chung gốc, góc (\vec{u},\vec{v})=\theta xác định qua \cos\theta
ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC
\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0.
Đây là công thức xuất hiện dày đặc trong Phần III — đặc biệt là dạng tìm tham số m để hai vectơ vuông góc.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 12 · KHÁI NIỆM 5 · GÓC GIỮA HAI VECTƠ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 12 · Hệ tọa độ Oxyz và biểu thức tọa độ vectơ
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Phân loại góc & áp dụng tam giác vuông
Dấu của tích vô hướng cho biết ngay góc nhọn, vuông hay tù — không cần tính cos đầy đủ.
Góc nhọn Tích vô hướng dương
Điều kiện: \vec{u}\cdot\vec{v}>0.
Góc giữa hai vectơ là góc nhọn (kể cả 0^{\circ}).
Ví dụ: \vec{u}=(1;1;0), \vec{v}=(2;1;1)
\vec{u}\cdot\vec{v}=2+1+0=3>0.
Góc vuông Tích vô hướng bằng 0
Điều kiện: \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Hai vectơ vuông góc — góc bằng 90^{\circ}.
Ví dụ: \vec{u}=(1;2;0), \vec{v}=(2;-1;3)
\vec{u}\cdot\vec{v}=2-2+0=0.
Góc tù Tích vô hướng âm
Điều kiện: \vec{u}\cdot\vec{v} Ví dụ: \vec{u}=(1;0;1), \vec{v}=(-3;1;0)$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=-3+0+0=-3 BÀI MẪU · CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG BẰNG TÍCH VÔ HƯỚNG 4 BƯỚC
Đề: Cho tam giác ABC với A(1;1;1), B(3;3;1), C(0;2;3). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
BƯỚC 1 \overrightarrow{AB}=(3-1;3-1;1-1)=(2;2;0).
BƯỚC 2 \overrightarrow{AC}=(0-1;2-1;3-1)=(-1;1;2).
BƯỚC 3 \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2(-1)+2(1)+0(2)=-2+2+0=0.