CHỦ ĐỀ 14 - Nguyên hàm
Tài liệu CHỦ ĐỀ 14 - Nguyên hàm trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 14
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
01 /13
CHỦ ĐỀ 14
Nguyên hàm và các phương pháp tính nguyên hàm
Định nghĩa họ nguyên hàm · Bảng nguyên hàm cơ bản · Phương pháp đổi biến số · Phương pháp từng phần
Trong 10 phút , em sẽ hiểu nguyên hàm là gì, nắm chắc bảng nguyên hàm cơ bản , và thành thạo hai phương pháp tính nguyên hàm quan trọng nhất: đổi biến số và từng phần .
Đây là nền tảng bắt buộc cho toàn bộ Chương IV — Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng trong kỳ thi THPTQG. Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Khái niệm nguyên hàm & Họ nguyên hàm Định nghĩa · Định lý · Ký hiệu
TR.02-03
Tính chất của nguyên hàm Tuyến tính · Tổng/hiệu · Hằng số
TR.04-05
Bảng nguyên hàm cơ bản 10 công thức sơ cấp
TR.06
Phương pháp đổi biến số Đặt u=u(x) · Quy trình 3 bước
TR.07-08
Phương pháp nguyên hàm từng phần Nhất log · Nhì đa · Tam lượng · Tứ mũ
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Nguyên hàm là gì?
Viên gạch nền của toàn bộ chương Nguyên hàm – Tích phân. Hãy đọc thật chậm phần định nghĩa.
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của \mathbb{R}). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x)=f(x) với mọi x\in K.
Mổ xẻ từng chữ một
"K là khoảng/đoạn/nửa khoảng" — tập xác định phải liên tục , không rời rạc từng điểm.
"F'(x)=f(x)" — đạo hàm của F chính là f ban đầu. Đây là điều kiện DUY NHẤT để kiểm tra.
"với mọi x\in K" — điều kiện phải đúng tại TẤT CẢ các điểm trong K, không chỉ vài điểm riêng lẻ.
HỌ ĐƯỜNG CONG SONG SONG · F(x)+C
Các đường y=F(x)+C song song nhau; mỗi C dịch chuyển đồ thị theo phương Oy một đoạn không đổi
KIỂM TRA NHANH · VÍ DỤ
Xét f(x)=2x trên \mathbb{R}. Vì (x^{2})'=2x nên F(x)=x^{2} là một nguyên hàm của f(x)=2x.
Kiểm tra F(x)=x^{2}+5: (x^{2}+5)'=2x=f(x) — cũng là nguyên hàm. Vậy nguyên hàm KHÔNG DUY NHẤT .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Định lý và Họ nguyên hàm
Vì sao luôn phải cộng thêm hằng số C? Ký hiệu tích phân bất định.
ĐỊNH LÝ · QUAN HỆ GIỮA CÁC NGUYÊN HÀM
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.
KÍ HIỆU
Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K:
\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C
TÊN GỌI KHÁC · TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
\int f(x)dx còn được gọi là tích phân bất định của f(x).
Dấu \int đọc là "tích phân", f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, dx chỉ rõ biến lấy nguyên hàm là x.
⚠ SAI LẦM PHỔ BIẾN NHẤT
Học sinh thường viết \int 2x\,dx = x^{2} mà QUÊN cộng +C . Đây là lỗi bị trừ điểm nhiều nhất trong các đề thi.
Luôn nhớ: kết quả nguyên hàm là một họ hàm số , không phải một hàm số duy nhất.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 1 · HỌ NGUYÊN HÀM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Ba tính chất của nguyên hàm
Nền tảng để tách một biểu thức phức tạp thành các phần đơn giản.
TÍNH CHẤT 1
\left(\displaystyle\int f(x)dx\right)'=f(x)\qquad và \qquad\displaystyle\int f'(x)dx=f(x)+C
Ý nghĩa tính chất 1
Đạo hàm và nguyên hàm là hai phép toán ngược nhau : lấy nguyên hàm rồi đạo hàm lại (hoặc ngược lại) sẽ trả về hàm ban đầu (sai khác một hằng số C khi làm theo thứ tự nguyên hàm trước).
TÍNH CHẤT 2
\displaystyle\int kf(x)dx = k\displaystyle\int f(x)dx
(với k\ne0 là hằng số)
TÍNH CHẤT 3
\displaystyle\int[f(x)\pm g(x)]dx
=\displaystyle\int f(x)dx \pm \displaystyle\int g(x)dx
Ý NGHĨA THỰC HÀNH
Nhờ Tính chất 2 và 3, em có thể tách một biểu thức thành tổng/hiệu các số hạng đơn giản, và đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân trước khi tra bảng nguyên hàm cơ bản.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 2 · BA TÍNH CHẤT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Áp dụng tính chất & Cảnh báo
Kết hợp cả ba tính chất để tính nguyên hàm biểu thức nhiều số hạng.
BÀI MẪU · TÁCH TỔNG VÀ HẰNG SỐ 4 BƯỚC
Đề: Tính \int(3x^{2}-4\sin x+5)dx.
BƯỚC 1 Tách theo tính chất 3: =\displaystyle\int3x^{2}dx-\int4\sin x\,dx+\int5\,dx.
BƯỚC 2 Đưa hằng số ra ngoài (tính chất 2): =3\displaystyle\int x^{2}dx-4\int\sin x\,dx+\int5\,dx.
BƯỚC 3 Tra bảng nguyên hàm cơ bản: =3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}-4(-\cos x)+5x+C.
BƯỚC 4 Rút gọn: =x^{3}+4\cos x+5x+C.
Kết quả: x^{3}+4\cos x+5x+C
⚠ KHÔNG CÓ NGUYÊN HÀM CỦA TÍCH
\displaystyle\int f(x)g(x)dx \ne \int f(x)dx\cdot\int g(x)dx — KHÔNG tồn tại công thức nguyên hàm của tích hai hàm số như đạo hàm của tích.
Ví dụ: \int x\sin x\,dx KHÔNG thể tính bằng \left(\int x\,dx\right)\left(\int\sin x\,dx\right). Muốn tính dạng này, phải dùng phương pháp từng phần (Khái niệm 5).
MẸO NHỚ
Chỉ có TỔNG/HIỆU tách được, HẰNG SỐ đưa ra ngoài được — còn TÍCH và THƯƠNG thì KHÔNG tách được qua dấu tích phân.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 2 · ÁP DỤNG & CẢNH BÁO
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Bảng nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Học thuộc bảng này — công cụ tra cứu cho MỌI bài toán nguyên hàm.
Hàm số f(x) · Họ nguyên hàm \displaystyle\int f(x)dx
0 · C
1 · x+C
x^{\alpha}\ (\alpha\ne-1) · \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C
\dfrac{1}{x} · \ln|x|+C
e^{x} · e^{x}+C
a^{x}\ (0<a\ne1) · \dfrac{a^{x}}{\ln a}+C
\cos x · \sin x+C
\sin x · -\cos x+C
\dfrac{1}{\cos^{2}x} · \tan x+C
\dfrac{1}{\sin^{2}x} · -\cot x+C
NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG · VỚI u=ax+b\ (a\ne0)
\displaystyle\int(ax+b)^{\alpha}dx=\dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{a(\alpha+1)}+C\qquad\qquad\int e^{ax+b}dx=\dfrac{1}{a}e^{ax+b}+C
\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+C\qquad\int\sin(ax+b)dx=-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+C
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 3 · BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Phương pháp đổi biến số
Biến đổi bài toán phức tạp về dạng cơ bản bằng cách thay biến.
ĐỊNH LÝ ĐỔI BIẾN
Nếu \displaystyle\int f(u)du=F(u)+C và u=u(x) có đạo hàm liên tục thì
\displaystyle\int f(u(x))\,u'(x)\,dx = F(u(x))+C
Quy trình 3 bước
Chọn u=u(x) — chọn phần biểu thức "bên trong" hợp lý (thường là biểu thức mà đạo hàm của nó xuất hiện như một thừa số trong bài).
Tính du=u'(x)dx — rồi đổi TOÀN BỘ biểu thức dưới dấu tích phân sang biến u (không còn x).
Tính nguyên hàm theo u — tra bảng nguyên hàm cơ bản, sau đó thay lại u=u(x) để trả về biến x ban đầu.
SƠ ĐỒ 3 BƯỚC ĐỔI BIẾN SỐ
Ba bước: đặt biến → tính theo u → thay lại biến x
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 4 · ĐỊNH LÝ ĐỔI BIẾN SỐ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Ví dụ áp dụng đổi biến số
Hai ví dụ kinh điển: lũy thừa của biểu thức bậc nhất, và mũ của bậc hai.
VÍ DỤ 1 · LŨY THỪA 4 BƯỚC
Đề: Tính \int(2x+1)^{5}\cdot2\,dx.
BƯỚC 1 Đặt u=2x+1.
BƯỚC 2 du=2\,dx, biểu thức trở thành \displaystyle\int u^{5}\,du.
BƯỚC 3 Tra bảng nguyên hàm: \displaystyle\int u^{5}du=\dfrac{u^{6}}{6}+C.
BƯỚC 4 Thay lại u=2x+1: =\dfrac{(2x+1)^{6}}{6}+C.
Kết quả: \dfrac{(2x+1)^{6}}{6}+C
VÍ DỤ 2 · HÀM MŨ 4 BƯỚC
Đề: Tính \int x\cdot e^{x^{2}}dx.
BƯỚC 1 Đặt u=x^{2}.
BƯỚC 2 du=2x\,dx\Rightarrow x\,dx=\dfrac{du}{2}.
BƯỚC 3 Biểu thức trở thành \displaystyle\int e^{u}\cdot\dfrac{du}{2}=\dfrac{1}{2}\int e^{u}du=\dfrac{1}{2}e^{u}+C.
BƯỚC 4 Thay lại u=x^{2}: =\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C.
Kết quả: \dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C
MẸO CHỌN u
Chọn u là biểu thức "bên trong" mà đạo hàm của nó (hoặc một hằng số nhân với đạo hàm đó) đã xuất hiện sẵn như một thừa số trong bài toán ban đầu — đó chính là tín hiệu để đổi biến.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 4 · VÍ DỤ ĐỔI BIẾN SỐ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Dùng khi biểu thức là TÍCH của hai loại hàm khác nhau: đa thức, lượng giác, mũ, logarit.
CÔNG THỨC TỪNG PHẦN
\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du
QUY TẮC CHỌN u · NHẤT LOG — NHÌ ĐA — TAM LƯỢNG — TỨ MŨ
Ưu tiên chọn u theo thứ tự: Log arit > Đa thức > Lượng giác > Mũ .
Hàm đứng trước trong thứ tự ưu tiên được chọn làm u; phần còn lại (kèm dx) là dv.
Vì sao thứ tự này?
Chọn u là hàm có đạo hàm đơn giản hơn (logarit, đa thức đạo hàm ra bậc thấp hơn hoặc hằng số), và dv là phần có nguyên hàm dễ tính (lượng giác, hàm mũ nguyên hàm vẫn cùng dạng). Chọn ngược lại khiến \int v\,du phức tạp hơn biểu thức ban đầu.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 5 · CÔNG THỨC TỪNG PHẦN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Ví dụ áp dụng nguyên hàm từng phần
Hai dạng thường gặp nhất: đa thức nhân lượng giác, và đa thức nhân logarit.
VÍ DỤ · x\cos x ĐA THỨC \times LƯỢNG GIÁC
Đề: Tính \int x\cos x\,dx.
BƯỚC 1 Theo "Nhất log nhì đa tam lượng", đa thức ưu tiên hơn lượng giác. Đặt u=x,\;dv=\cos x\,dx.
BƯỚC 2 du=dx,\quad v=\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x.
BƯỚC 3 Thay vào công thức: \displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x-\int\sin x\,dx.
BƯỚC 4 =x\sin x+\cos x+C.
Kết quả: x\sin x+\cos x+C
Ví dụ · x\ln x Logarit \times đa thức — log luôn được chọn làm u
Vì sao chọn u=\ln x: Logarit có độ ưu tiên cao nhất trong "Nhất log nhì đa tam lượng tứ mũ", nên dù đứng ở vị trí nào cũng đặt u=\ln x.
Đặt u=\ln x,\;dv=x\,dx. Suy ra du=\dfrac{1}{x}dx,\;v=\dfrac{x^{2}}{2}.
\displaystyle\int x\ln x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\int\dfrac{x^{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx = \dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\int\dfrac{x}{2}dx
Kết quả: \dfrac{x^{2}}{2}\ln x-\dfrac{x^{2}}{4}+C
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 5 · VÍ DỤ TỪNG PHẦN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
11 /13
06 KHÁI NIỆM
3 Phần — 3 cách ra đề
Cùng chủ đề Nguyên hàm nhưng ba phần thi kiểm tra ba kỹ năng khác nhau.
PHẦN I · TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT
Định dạng: Một câu - bốn lựa chọn A/B/C/D.
Kiểu hỏi:
- Nhận biết nguyên hàm cơ bản (tra bảng).
- Tính nguyên hàm hàm đa thức/lượng giác/mũ đơn giản.
- Kiểm tra F'(x)=f(x).
- Nhận biết định nghĩa họ nguyên hàm.
Chiến thuật: Tra ngay bảng nguyên hàm cơ bản, không cần biến đổi.
⏱ 30-60 giây/câu
PHẦN II · ĐÚNG/SAI
THÔNG HIỂU
Định dạng: Một tình huống — bốn mệnh đề a, b, c, d — đánh Đ/S.
Bốn ý thường kiểm tra:
- Tính chất tuyến tính (tách tổng, nhân hằng số) đúng không.
- Mệnh đề về F(x)+C có đúng là nguyên hàm không.
- Một hàm cho trước có là nguyên hàm của f(x) không.
- So sánh hai họ nguyên hàm.
Chiến thuật: Đạo hàm ngược lại kết quả để kiểm tra thay vì tính từ đầu.
⏱ 2-3 phút/bài
PHẦN III · TRẢ LỜI NGẮN
VẬN DỤNG
Định dạng: Tính toán cụ thể. Kết quả là số nguyên (hoặc phân số tối giản).
Kiểu hỏi:
- Tính nguyên hàm bằng đổi biến hoặc từng phần.
- Tìm F(x) thoả F(x_{0})=y_{0} (tìm hằng số C cụ thể).
- Bài toán kết hợp nhiều bước.
- Tính giá trị F tại một điểm.
Chiến thuật: Sau khi tìm F(x)+C, thay điều kiện F(x_{0})=y_{0} để giải ra C cụ thể.
⏱ 3-4 phút/câu
Phần
Mức độ
Thời gian
Tip lớn nhất
PHẦN I · Nhận biết · 30-60s /câu · Tra bảng nguyên hàm cơ bản, không cần biến đổi.
PHẦN II · Thông hiểu · 2-3 phút /bài · Đạo hàm ngược lại kết quả để kiểm tra nhanh.
PHẦN III · Vận dụng · 3-4 phút /câu · Tìm C bằng điều kiện F(x_{0})=y_{0}.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 14 · KHÁI NIỆM 6 · CHIẾN THUẬT 3 PHẦN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 14 · Nguyên hàm
12 /13
✓ TỔNG KẾT 1/2
10 công thức cốt lõi
Xé trang này dán lên bàn học. Đọc lại 30 giây trước mỗi kỳ thi là đủ.