CHỦ ĐỀ 04 - Phương trình mặt cầu trong Oxyz
Tài liệu CHỦ ĐỀ 04 - Phương trình mặt cầu trong Oxyz trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 04
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
01 /13
CHỦ ĐỀ 04
Phương trình mặt cầu trong Oxyz
Dạng tâm-bán kính · Dạng tổng quát · Viết phương trình · Vị trí với mặt phẳng và đường thẳng
Chủ đề 01 cho em mặt phẳng . 02 cho em đường thẳng . 03 cho em góc và khoảng cách . Hôm nay em gặp đối tượng thứ tư của hình học không gian: MẶT CẦU .
Công thức cơ bản chỉ một hàng , nhưng là cửa ngõ đến vô số bài toán: vệ tinh, hành tinh, nguyên tử, kiến trúc... Mặt cầu trong không gian chính là người anh em của đường tròn trong mặt phẳng.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Mặt cầu là gì? Dạng tâm-bán kính Định nghĩa · Công thức chuẩn
TR.02-03
Dạng tổng quát Tìm tâm và R · Điều kiện tồn tại
TR.04-05
Bốn cách viết phương trình mặt cầu Các tình huống đề thi hay cho
TR.06
Mặt cầu và mặt phẳng 3 trường hợp · Bán kính giao tuyến
TR.07-08
Mặt cầu và đường thẳng 3 trường hợp · Độ dài dây cung
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Mặt cầu là gì? Dạng tâm - bán kính
Một định nghĩa siêu đơn giản: tất cả các điểm cách tâm một khoảng R. Công thức theo sau tự nhiên.
Mặt cầu tâm I bán kính R (với R\gt 0), kí hiệu S(I;R), là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho IM=R.
Mổ xẻ định nghĩa
"Tâm I" — một điểm cố định trong không gian. Ví dụ I(1;2;3).
"Bán kính R" — một số dương . R=0 chỉ cho một điểm I; R\lt 0 vô nghĩa.
"Tập hợp các điểm M" — mọi điểm cách I đúng R , tạo thành mặt cong bao quanh I giống quả bóng.
MẶT CẦU · TÂM I · BÁN KÍNH R
Mặt cầu 3D — người anh em của đường tròn 2D
DẠNG TÂM-BÁN KÍNH
Với I(a;b;c), R\gt 0:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA MẶT CẦU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Đọc phương trình · Viết phương trình
Hai kĩ năng cơ bản: viết PT khi biết tâm + R, đọc ngược tâm + R khi có PT.
BÀI MẪU 1 · VIẾT PHƯƠNG TRÌNH THUẬN
Đề: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính R=5.
BƯỚC 1 Xác định a=1,\;b=-2,\;c=3,\;R=5.
BƯỚC 2 Chú ý dấu: (x-1),\;(y-(-2))=(y+2),\;(z-3).
BƯỚC 3 R^{2}=25.
PT: (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=25
BÀI MẪU 2 · ĐỌC TÂM VÀ R NGƯỢC
Đề: Cho mặt cầu (x+3)^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}=16. Xác định tâm và bán kính.
BƯỚC 1 Đưa về dạng chuẩn: (x-(-3))^{2}+(y-1)^{2}+(z-0)^{2}=16.
BƯỚC 2 Đối chiếu: a=-3,\;b=1,\;c=0,\;R^{2}=16.
Tâm I(-3;1;0), bán kính R=4
⚠ BA LỖI HAY GẶP
Lỗi 1 — Sai dấu tọa độ tâm. Với (x+3)^{2}, nhiều em vội đọc a=3. SAI. Phải viết x-(-3), vậy a=-3. Công thức chuẩn là (x-a), không phải (x+a).
Lỗi 2 — Nhầm R với R^{2}. Vế phải là R^{2}, không phải R. Nếu R^{2}=16, thì R=4, không phải R=16.
Lỗi 3 — Quên tọa độ bằng 0. Với z^{2}, tọa độ c=0. Nhiều em quên ghi, dẫn đến thiếu thành phần.
SO SÁNH 2D VÀ 3D
Đường tròn 2D: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2} — 2 tọa độ tâm.
Mặt cầu 3D: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2} — 3 tọa độ tâm. Chỉ thêm một thành phần (z-c)^{2}.
Mọi kĩ năng làm đường tròn đều áp được cho mặt cầu: chỉ cần "nâng thêm một chiều".
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỌC · VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Dạng tổng quát · Khai triển
Dạng tổng quát là dạng tâm-bán kính sau khi khai triển. Cần nhớ công thức tìm tâm và R trực tiếp.
DẠNG TỔNG QUÁT
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2by-2cz+d=0
với điều kiện a^{2}+b^{2}+c^{2}-d\gt 0
Tâm I(a;b;c), bán kính R=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-d}
XUẤT PHÁT TỪ ĐÂU?
Từ dạng tâm-bán kính, khai triển các bình phương:
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}
x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}+z^{2}-2cz+c^{2}=R^{2}
Chuyển hết sang vế trái, đặt d=a^{2}+b^{2}+c^{2}-R^{2} ta được dạng tổng quát. Từ đó: R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-d.
QUY LUẬT VÀNG · TÌM TÂM TRONG 5 GIÂY
Hệ số của x, y, z trong dạng tổng quát là -2a, -2b, -2c .
Vậy tọa độ tâm: chia hệ số x/y/z cho -2 .
Ví dụ: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z-11=0
Hệ số x là -2, chia -2 được a=1.
Hệ số y là 4, chia -2 được b=-2.
Hệ số z là -6, chia -2 được c=3.
Tâm I(1;-2;3).
⚠ ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI MẶT CẦU
Chú ý điều kiện: a^{2}+b^{2}+c^{2}-d\gt 0 — nếu không thỏa, PT KHÔNG PHẢI MẶT CẦU .
Nếu a^{2}+b^{2}+c^{2}-d=0: chỉ 1 điểm I. Nếu bé hơn 0: vô nghiệm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 2 · DẠNG TỔNG QUÁT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Tìm tâm và R từ dạng tổng quát
Dạng bài quen thuộc nhất của Phần I. Có quy trình 4 bước chặt chẽ.
BÀI MẪU · TÌM TÂM VÀ R 4 BƯỚC
Đề: Cho phương trình x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z-11=0. Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
BƯỚC 1 Đối chiếu với dạng chuẩn x^{2}+y^{2}+z^{2}-2ax-2by-2cz+d=0:
Hệ số của x là -2, tức -2a=-2, nên a=1.
Hệ số của y là +4, tức -2b=4, nên b=-2.
Hệ số của z là -6, tức -2c=-6, nên c=3.
Hằng số d=-11.
BƯỚC 2 Tâm: I(a;b;c)=I(1;-2;3).
BƯỚC 3 Kiểm điều kiện: a^{2}+b^{2}+c^{2}-d=1+4+9-(-11)=25\gt 0 ✓
BƯỚC 4 R=\sqrt{25}=5.
Tâm I(1;-2;3), bán kính R=5
MẸO SIÊU NHANH · KHÔNG CẦN NHỚ "ĐỐI CHIẾU"
Cứ nhìn dạng tổng quát, chia hệ số x, y, z cho -2 , đổi dấu là ra tọa độ tâm ngay.
Hệ số -2: chia cho -2 được tâm 1
Hệ số +4: chia cho -2 được tâm -2
Hệ số -6: chia cho -2 được tâm 3
Tâm I(1;-2;3) trong chưa đầy 5 giây.
⚠ BA LỖI PHỔ BIẾN NHẤT
Lỗi 1 — Sai dấu tọa độ tâm. Nhầm "hệ số -2x, nên a=-1" — SAI. Đúng là -2a=-2, nên a=1.
Lỗi 2 — Quên kiểm điều kiện. Tính ra R=\sqrt{-4} rồi bấm máy — sai. Nếu biểu thức trong căn bé hơn 0, không phải mặt cầu.
Lỗi 3 — Nhầm dấu d. d là hằng số tự do, giữ nguyên dấu trong PT. Với -11, thì d=-11, không đổi dấu.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 2 · BÀI MẪU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Bốn cách viết phương trình mặt cầu
Đề thường cho một trong bốn kiểu dữ kiện. Nhận diện đúng kiểu — chọn được công thức phù hợp.
Biết tâm I và bán kính R Dữ kiện đầy đủ nhất
Cách làm: Áp trực tiếp dạng tâm-bán kính.
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}
VD: I(2;1;-3),\;R=4
PT: (x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z+3)^{2}=16
Biết tâm I và một điểm M trên mặt cầu Tính R từ IM
Cách làm: R=IM, tính độ dài đoạn thẳng IM.
R=\sqrt{(x_{M}-x_{I})^{2}+(y_{M}-y_{I})^{2}+(z_{M}-z_{I})^{2}}
VD: I(0;0;0),\;M(1;2;2)
R=\sqrt{1+4+4}=3. PT: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9
Biết hai đầu đường kính A, B Tâm là trung điểm
Cách làm: Tâm I = trung điểm AB. Bán kính R=AB/2.
I=\Big(\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2};\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2};\dfrac{z_{A}+z_{B}}{2}\Big)
VD: A(1;2;3),\;B(3;4;1)
I(2;3;2); AB=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}; R=\sqrt{3}.
Biết tâm I và mặt cầu tiếp xúc mp (P) R=d(I,(P))
Cách làm: Tiếp xúc nghĩa là khoảng cách từ tâm đến mp bằng bán kính.
R=\dfrac{|Ax_{I}+By_{I}+Cz_{I}+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}
VD: I(1;-2;3),\;(P):2x-2y+z+3=0
R=|2+4+3+3|/3=12/3=4
MẸO · NHẬN DIỆN KIỂU DỮ KIỆN TRONG ĐỀ
Có từ khóa "tâm" và "bán kính": Case 1. Có từ khóa "đi qua điểm M": Case 2. Có từ khóa "đường kính AB": Case 3. Có từ khóa "tiếp xúc mặt phẳng": Case 4. Biết tâm I là điều kiện chung của 4 case — khác nhau chỉ ở cách tìm R.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 3 · 4 CÁCH VIẾT PT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Vị trí mặt cầu và mặt phẳng
Ba trường hợp, phụ thuộc so sánh d(I,(P)) với R. Khi cắt nhau, bán kính giao tuyến tính theo Pythagoras.
BA VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI · SO SÁNH d(I,(P)) VỚI R
d(I,(P))\gt R
(P) không cắt mặt cầu. Mặt phẳng nằm ngoài, không có điểm chung.
d(I,(P))=R
(P) tiếp xúc mặt cầu tại 1 điểm. Điểm tiếp xúc là hình chiếu H của I xuống (P).
d(I,(P))\lt R
(P) cắt mặt cầu theo đường tròn. Đường tròn tâm H, bán kính r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}.
CỐT LÕI · ĐỊNH LÍ PYTHAGORAS
Xét trường hợp cắt. Lấy M bất kì trên đường tròn giao tuyến, H là hình chiếu của I xuống (P). Tam giác IHM vuông tại H cho:
r^{2}+d^{2}=R^{2}
với d=IH (khoảng cách tâm-mp), R=IM (bán kính mặt cầu), r=HM (bán kính đường tròn giao tuyến). Suy ra r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}.
TRƯỜNG HỢP CẮT · TAM GIÁC VUÔNG IHM
Đường tròn giao tuyến — tâm H, bán kính r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}
TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT · d=0
Nếu d=0 (tức I\in(P)): đường tròn giao tuyến có bán kính r=R, gọi là đường tròn lớn — giao tuyến có kích thước tối đa.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 4 · MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Tính bán kính đường tròn giao tuyến
Bốn bước: tìm tâm và R của (S), tính d(I,(P)), so sánh với R, áp Pythagoras.
BÀI MẪU 4 BƯỚC
Đề: Cho mặt cầu (S):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y-6z-11=0 và mặt phẳng (P):2x+2y+z-18=0. Xét vị trí tương đối. Nếu cắt, tính bán kính đường tròn giao tuyến.
BƯỚC 1 Tâm của (S): I(1;2;3). Bán kính R=\sqrt{1+4+9-(-11)}=\sqrt{25}=5.
BƯỚC 2 Tính d(I,(P))=\dfrac{|2\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 3-18|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{|-9|}{3}=3.
BƯỚC 3 So sánh: d=3 bé hơn R=5, nên (P) cắt (S) theo đường tròn.
BƯỚC 4 Bán kính giao tuyến: r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
Kết luận: (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r=4
HAI LOẠI BÀI THƯỜNG CHO
Loại 1 — Tính r: Biết (S), (P), tính bán kính giao tuyến. Quy trình 4 bước như bài mẫu.
Loại 2 — Tìm tham số m: Cho (S) và (P) phụ thuộc m, tìm m để (P) tiếp xúc / cắt / không cắt. Lập phương trình giữa d và R, giải.
⚠ HAI LỖI HAY GẶP
Lỗi 1 — Quên tính R trước. Nhiều em bấm ngay d(I,(P)) rồi không biết so với cái gì. Luôn tìm tâm và R trước.
Lỗi 2 — Nhầm công thức. Bán kính giao tuyến là r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}, không phải R-d hay R^{2}-d^{2} (không có căn). Nhớ: áp Pythagoras, rồi mở căn.
ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC · RẤT HAY THI
Nếu (P) tiếp xúc (S): d(I,(P))=R. Dùng để tìm m hoặc viết PT mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng cho trước.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 4 · BÀI MẪU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Vị trí mặt cầu và đường thẳng
Cấu trúc GIỐNG HỆT phần trước — chỉ khác: thay "mặt phẳng" bằng "đường thẳng", thay "bán kính giao tuyến" bằng "độ dài dây cung".
BA VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI · SO SÁNH d(I,d) VỚI R
d(I,d)\gt R
d không cắt mặt cầu. Đường thẳng nằm ngoài, không có điểm chung.
d(I,d)=R
d là tiếp tuyến của mặt cầu (1 điểm chung). Điểm tiếp xúc là hình chiếu H của I lên d.
d(I,d)\lt R
d cắt mặt cầu tại 2 điểm A, B (dây cung). Độ dài dây cung: AB=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}.
CỐT LÕI · PYTHAGORAS LẦN NỮA
Khi d cắt (S) tại A, B: hình chiếu H của I lên d chính là trung điểm của AB (do đối xứng). Tam giác IHA vuông tại H:
\Big(\dfrac{AB}{2}\Big)^{2}+d^{2}=R^{2}
Suy ra AB=2\sqrt{R^{2}-d^{2}} — công thức độ dài dây cung.
DÂY CUNG · TAM GIÁC VUÔNG IHA
H là trung điểm của dây cung AB — tam giác vuông đối xứng
SO SÁNH HAI CÔNG THỨC
Bán kính giao tuyến (mp): r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}.
Độ dài dây cung (đường): AB=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}.
Chỉ khác hệ số 2 . Lí do: r là nửa đường kính; AB là cả dây cung.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 04 · KHÁI NIỆM 5 · MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 04 · Phương trình mặt cầu trong Oxyz
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Tính độ dài dây cung
Phức tạp hơn bài trước: phải dùng tích có hướng để tính d(I,d). Nhưng quy trình vẫn là 4 bước.
BÀI MẪU 4 BƯỚC
Đề: Cho mặt cầu (S):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+2z-3=0 và đường thẳng d đi qua M_{0}(0;0;0) với VTCP \vec{u}=(1;0;0). Tính độ dài dây cung.
BƯỚC 1 Tâm (S): I(1;2;-1). Bán kính R=\sqrt{1+4+1-(-3)}=\sqrt{9}=3.