CHỦ ĐỀ 10 - Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
Quy trình 4 bước giải bài toán tối ưu · Tối ưu hình học (diện tích, thể tích) · Tối ưu kinh tế · Tối ưu khoảng cách và thời gian.
Chủ đề 10
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
01 /13
CHỦ ĐỀ 10
Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
Quy trình 4 bước giải bài toán tối ưu · Tối ưu hình học (diện tích, thể tích) · Tối ưu kinh tế · Tối ưu khoảng cách và thời gian
Trong 10 phút , em sẽ nắm được quy trình 4 bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm — từ gọi ẩn, lập hàm số một biến, đến tìm GTLN–GTNN và kết luận đúng đại lượng mà bài toán thực tế hỏi.
Đây là dạng bài chắc chắn xuất hiện trong Đề tham khảo của Bộ GD&ĐT ở Phần III kỳ thi THPTQG 2026 . Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Quy trình chung giải bài toán tối ưu 4 bước · Đạo hàm
TR.02-03
Tối ưu hình học Diện tích · Thể tích
TR.04-05
Tối ưu kinh tế Doanh thu · Lợi nhuận
TR.06
Tối ưu khoảng cách, thời gian Bài toán qua sông
TR.07-08
Bài mẫu tổng hợp Quy trình giải nhanh Phần III
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Quy trình chung giải bài toán tối ưu
Bốn bước cố định, áp dụng cho mọi bài toán tối ưu bằng đạo hàm. Học thuộc thứ tự trước khi học ví dụ.
Bài toán tối ưu thực tiễn là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng thực tế (diện tích, thể tích, chi phí, quãng đường, thời gian…) bằng cách đưa về một hàm số một biến rồi dùng đạo hàm để khảo sát.
Mổ xẻ bốn bước
Gọi ẩn — chọn đại lượng biến đổi (thường là một kích thước hình học hoặc một biến số), đặt tên (thường là x), xác định miền giá trị hợp lệ theo ràng buộc thực tế của bài toán.
Lập hàm số — biểu diễn đại lượng cần tối ưu (diện tích, thể tích, chi phí, khoảng cách…) thành một hàm số một biến theo ẩn x vừa gọi.
Tìm GTLN/GTNN — tính y', giải y'=0, lập bảng biến thiên trên miền xác định, so sánh giá trị tại các điểm tới hạn (và hai đầu mút nếu miền là đoạn đóng).
Kết luận đúng yêu cầu — trả lời đúng đại lượng bài toán hỏi , không phải chỉ đưa ra giá trị của ẩn x hay giá trị của hàm số.
QUY TRÌNH 4 BƯỚC · SƠ ĐỒ TƯ DUY
Bốn bước không thể đảo thứ tự — thiếu bước nào cũng dễ sai
GHI NHỚ NHANH · MẸO ĐỌC ĐỀ
Khi đọc đề, gạch chân ngay đại lượng cần tối ưu (thường là danh từ cuối câu hỏi: "diện tích lớn nhất", "chi phí nhỏ nhất", "thời gian ít nhất"…) — đó chính là hàm số y ở Bước 2.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 1 · QUY TRÌNH 4 BƯỚC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
So sánh với tìm GTLN-GTNN thuần túy
Chủ đề 06 tìm GTLN-GTNN trên miền cho sẵn. Chủ đề 10 thì miền do chính em phải suy ra.
ĐIỂM CỐT LÕI · MIỀN XÁC ĐỊNH DO RÀNG BUỘC THỰC TẾ
Ở bài toán tối ưu thực tiễn, miền xác định của hàm số không phải toàn trục số mà do ràng buộc thực tế của bài toán quyết định — thường là một khoảng mở hoặc nửa khoảng (ví dụ 0<x<a/2, x>0…), khác hẳn dạng "tìm GTLN-GTNN trên đoạn [a;b] cho sẵn" ở Chủ đề 06.
⚠ ĐỪNG NHẦM · KHÁC BIỆT VỚI CHỦ ĐỀ 06
Chủ đề 06 (GTLN-GTNN thuần túy): miền xác định cho sẵn rõ ràng trong đề (thường là đoạn [a;b] đóng), có thể có nhiều điểm tới hạn.
Chủ đề 10 (tối ưu thực tiễn): miền xác định phải tự suy ra từ ràng buộc thực tế (độ dài dương, góc cắt hợp lệ…), thường là khoảng mở.
KHI NÀO KHÔNG CẦN SO ĐẦU MÚT
Nếu miền là khoảng mở (\alpha;\beta), hàm số liên tục trên đó và phương trình y'=0 chỉ có đúng một nghiệm x_{0} trong miền, thì giá trị y(x_{0}) chính là GTLN hoặc GTNN cần tìm — không cần so sánh với hai đầu mút (vì đầu mút không thuộc miền mở).
Tiêu chí
GTLN-GTNN thuần túy (Chủ đề 06)
Bài toán tối ưu thực tiễn (Chủ đề 10)
Miền xác định · Cho sẵn rõ ràng, thường là đoạn [a;b] đóng · Suy ra từ ràng buộc thực tế của đề bài, thường là khoảng mở
Số điểm tới hạn · Có thể có nhiều điểm trong miền · Thường đúng 1 điểm (do đề thực tế được thiết kế "đẹp")
Cách so sánh · So giá trị hàm tại mọi điểm tới hạn và 2 đầu mút · Miền mở & đúng 1 cực trị → giá trị đó chính là GTLN/GTNN, không so đầu mút
Bước kết luận · Nêu giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số · Trả lời đúng đại lượng thực tế được hỏi (kèm đơn vị)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 1 · SO SÁNH VỚI GTLN-GTNN THUẦN TÚY
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Tối ưu diện tích · Chu vi cho trước
Dạng kinh điển nhất: chu vi không đổi, tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
THIẾT LẬP
Hình chữ nhật chu vi 2p cho trước, một cạnh x (0<x<p), cạnh kia p-x:
S(x)=x(p-x)\qquad 0<x<p
HÌNH CHỮ NHẬT · CHU VI 2p KHÔNG ĐỔI
Tổng hai cạnh liền kề luôn bằng p, dù x thay đổi
Khảo sát bằng đạo hàm
S'(x)=p-2x. Giải S'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{p}{2} — nghiệm duy nhất trong khoảng (0;p).
Vì S'(x)>0 với x \dfrac{p}{2}, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=\dfrac{p}{2}.
KẾT LUẬN TỔNG QUÁT
S_{\max}=\dfrac{p}{2}\cdot\Bigl(p-\dfrac{p}{2}\Bigr)=\dfrac{p^{2}}{4}, đạt được khi x=p-x=\dfrac{p}{2} — tức là khi hình chữ nhật trở thành hình vuông .
BÀI MẪU · DIỆN TÍCH LỚN NHẤT 5 BƯỚC
Đề: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 40 m. Tìm kích thước để diện tích mảnh vườn lớn nhất.
BƯỚC 1 Gọi x (m) là độ dài một cạnh, $0<x
BƯỚC 2 Diện tích S(x)=x(20-x)=20x-x^{2}.
BƯỚC 3 S'(x)=20-2x=0\Leftrightarrow x=10. Với x 0; với x>10: $S'(x)
BƯỚC 4 S(10)=10\cdot10=100 (m^{2}) — đây là GTLN vì miền mở chỉ có đúng 1 cực trị.
BƯỚC 5 Kết luận đúng yêu cầu: kích thước là hình vuông cạnh 10 m, diện tích lớn nhất bằng 100 m^{2}.
Diện tích lớn nhất: 100 m^{2} khi mảnh vườn là hình vuông cạnh 10 m
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 2 · TỐI ƯU DIỆN TÍCH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Tối ưu thể tích · Vật liệu cho trước
Cắt góc tấm tôn để gấp thành hộp không nắp — tìm kích thước cắt để thể tích lớn nhất.
THIẾT LẬP
Tấm tôn vuông cạnh a, cắt 4 góc hình vuông cạnh x rồi gấp lên:
V(x)=x(a-2x)^{2}\qquad 0<x 0. Giải V'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{6} (nghiệm x=\dfrac{a}{2} bị loại vì là đầu mút).
V'(x)>0 khi x \dfrac{a}{6} ⇒ x=\dfrac{a}{6} là điểm cực đại duy nhất.
CẮT GÓC · GẤP THÀNH HỘP KHÔNG NẮP
Cắt 4 góc vuông cạnh x, gấp lên thành hộp không nắp cao x
BÀI MẪU · THỂ TÍCH LỚN NHẤT 5 BƯỚC
Đề: Một tấm tôn hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau rồi gấp lên thành hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích hộp lớn nhất.
BƯỚC 1 Gọi x (cm) là cạnh hình vuông bị cắt, $0<x
BƯỚC 2 Đáy hộp là hình vuông cạnh (12-2x), chiều cao x: V(x)=x(12-2x)^{2}.
BƯỚC 3 V'(x)=(12-2x)(12-6x). Giải V'(x)=0\Leftrightarrow x=2 (loại x=6 vì là đầu mút).
BƯỚC 4 V'(x)>0 khi x 2 ⇒ x=2 là cực đại duy nhất. V(2)=2\cdot8^{2}=128 (cm^{3}).
BƯỚC 5 Kết luận đúng yêu cầu: cắt cạnh x=2 cm, thể tích hộp lớn nhất bằng 128 cm^{3}.
Thể tích lớn nhất: 128 cm^{3} khi cạnh hình vuông cắt bằng 2 cm
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 2 · TỐI ƯU THỂ TÍCH
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Tối ưu kinh tế · Doanh thu & lợi nhuận
Giá bán phụ thuộc số lượng bán ra — tìm số lượng để lợi nhuận lớn nhất.
THIẾT LẬP
Giá bán p(x) phụ thuộc số lượng x (hàm cầu tuyến tính giảm):
R(x)=x\cdot p(x)\qquad L(x)=R(x)-C(x)
Đọc hiểu công thức
Doanh thu R(x)=x\cdot p(x) — số lượng nhân đơn giá.
Lợi nhuận L(x)=R(x)-C(x), với C(x) là hàm chi phí (thường có phần cố định + phần biến đổi theo x).
Tìm x để L(x) lớn nhất: giải L'(x)=0, lập luận GTLN trên miền hợp lệ (thường x>0 và giá p(x)>0).
BÀI MẪU · LỢI NHUẬN LỚN NHẤT NGẮN GỌN
Đề: Một doanh nghiệp bán x sản phẩm (x>0) với giá p(x)=200-2x (nghìn đồng/sản phẩm). Chi phí sản xuất C(x)=20x+500 (nghìn đồng). Tìm x để lợi nhuận lớn nhất.
BƯỚC 1 Miền hợp lệ: $p(x)>0\Leftrightarrow 0<x
BƯỚC 2 R(x)=x(200-2x)=200x-2x^{2}. L(x)=R(x)-C(x)=180x-2x^{2}-500.
BƯỚC 3 L'(x)=180-4x=0\Leftrightarrow x=45\in(0;100). L'(x)>0 khi x 45 ⇒ cực đại duy nhất.
BƯỚC 4 L(45)=180\cdot45-2\cdot45^{2}-500=3550 (nghìn đồng).
Bán 45 sản phẩm , lợi nhuận lớn nhất 3\,550 nghìn đồng
GHI NHỚ · MIỀN HỢP LỆ TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ
Luôn kiểm tra giá bán p(x)>0 và số lượng x>0 để xác định miền — giá trị tới hạn tìm được phải nằm trong miền này thì mới hợp lệ. Đơn vị tiền tệ trong đề (nghìn đồng, triệu đồng) phải giữ nhất quán xuyên suốt bài giải.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 3 · TỐI ƯU KINH TẾ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Tối ưu thời gian di chuyển
Bài toán kinh điển: bơi qua sông rồi đi bộ, hai vận tốc khác nhau — chọn điểm ven bờ để thời gian ít nhất.
Mô tả bài toán
Người ở vị trí A trên bờ gần cần đến vị trí B trên bờ xa của một con sông. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống bờ xa, HB=d. Người đó bơi từ A đến một điểm M trên bờ xa (chọn M cách H một đoạn x, với 0\le x\le d), rồi đi bộ từ M đến B.
Vận tốc bơi v_{1}, vận tốc đi bộ v_{2} (thường v_{2}>v_{1}). Chiều rộng sông (khoảng cách A đến bờ xa) là h.
HÀM THỜI GIAN
T(x)=\dfrac{AM}{v_{1}}+\dfrac{MB}{v_{2}}=\dfrac{\sqrt{h^{2}+x^{2}}}{v_{1}}+\dfrac{d-x}{v_{2}}
SƠ ĐỒ ĐƯỜNG ĐI · BƠI + ĐI BỘ
Bơi chéo A\to M (vận tốc v_{1}), đi bộ M\to B (vận tốc v_{2}); chọn x=HM để T(x) nhỏ nhất
GIẢI BẰNG ĐẠO HÀM
T'(x)=\dfrac{x}{v_{1}\sqrt{h^{2}+x^{2}}}-\dfrac{1}{v_{2}}. Giải T'(x)=0\Leftrightarrow v_{2}x=v_{1}\sqrt{h^{2}+x^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{v_{1}h}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} (điều kiện v_{2}>v_{1}). Đây là điểm mà T(x) đạt giá trị nhỏ nhất .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 10 · KHÁI NIỆM 4 · THIẾT LẬP HÀM THỜI GIAN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 10 · Ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu đầy đủ · Số liệu cụ thể
Áp dụng công thức trang trước với số liệu thật, kiểm tra lại bằng cách so sánh với 2 phương án biên.
BÀI MẪU · THỜI GIAN NHỎ NHẤT 6 BƯỚC
Đề: Một con sông có bề rộng h=3 km. Điểm B trên bờ xa cách chân đường vuông góc H hạ từ A một khoảng d=8 km. Người ở A bơi với vận tốc v_{1}=3 km/h đến điểm M trên bờ xa, rồi đi bộ với vận tốc v_{2}=5 km/h đến B. Tìm vị trí M (tức x=HM) để thời gian đi từ A đến B là nhỏ nhất.
BƯỚC 1 Gọi x=HM (km), 0\le x\le8.
BƯỚC 2 T(x)=\dfrac{\sqrt{9+x^{2}}}{3}+\dfrac{8-x}{5}.
BƯỚC 3 T'(x)=\dfrac{x}{3\sqrt{9+x^{2}}}-\dfrac{1}{5}.
BƯỚC 4 T'(x)=0\Leftrightarrow5x=3\sqrt{9+x^{2}}\Leftrightarrow25x^{2}=9(9+x^{2})\Leftrightarrow16x^{2}=81\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{4}=2{,}25.
BƯỚC 5 T'(x) 0 khi x>2{,}25 ⇒ x=2{,}25 là cực tiểu duy nhất trong [0;8].
BƯỚC 6 T(2{,}25)=\dfrac{3{,}75}{3}+\dfrac{5{,}75}{5}=1{,}25+1{,}15=2{,}4 (giờ).
Chọn M cách H đúng 2{,}25 km , thời gian nhỏ nhất là 2{,}4 giờ
⚠ SAI LẦM HAY GẶP
1. Quên bình phương hai vế đúng cách khi giải 5x=3\sqrt{9+x^{2}} — phải kiểm tra x\ge0 trước khi bình phương (ở đây tự động đúng vì x\in[0;8]).
2. Nhầm vai trò v_{1},v_{2} — đoạn bơi luôn chia cho vận tốc bơi , đoạn đi bộ luôn chia cho vận tốc đi bộ .
3. Quên kiểm tra x=2{,}25\in[0;8] — nếu công thức cho ra x ngoài miền, phải so hai đầu mút thay vì lấy trực tiếp.
KIỂM TRA LẠI BẰNG SO SÁNH BIÊN
T(0)=\dfrac{3}{3}+\dfrac{8}{5}=1+1{,}6=2{,}6 giờ (bơi ngắn nhất rồi đi bộ hết đường).
T(8)=\dfrac{\sqrt{73}}{3}+0\approx2{,}85 giờ (bơi chéo thẳng đến B).
Cả hai đều lớn hơn T(2{,}25)=2{,}4 giờ — xác nhận x=2{,}25 km cho thời gian nhỏ nhất.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment