CHỦ ĐỀ 09 - Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất · Vẽ đồ thị và tâm đối xứng · Tương giao hai đồ thị và biện luận số nghiệm · Phương trình tiếp tuyến.
Chủ đề 09
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
01 /13
CHỦ ĐỀ 09
Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
Đơn điệu không cực trị · Tâm đối xứng · Tương giao và biện luận theo tham số · Phương trình tiếp tuyến
Trong 10 phút , em sẽ khảo sát trọn vẹn đồ thị hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất — dạng hàm xuất hiện dày đặc trong Đề tham khảo của Bộ GD&ĐT , đặc biệt ở Phần II (Đúng/Sai) và Phần III (Trả lời ngắn).
Trọng tâm là hai dạng bài chưa nói tới ở Chủ đề 08: biện luận số giao điểm theo tham số m và viết phương trình tiếp tuyến — hai dạng chiếm điểm cao nhất trong kỳ thi THPTQG 2026 . Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất TXĐ · Đạo hàm · Đơn điệu không cực trị
TR.02-03
Vẽ đồ thị hàm phân thức Quy trình 5 bước · Bài mẫu đầy đủ
TR.04-05
Tương giao giữa hai đồ thị Phương trình hoành độ giao điểm
TR.06
Biện luận số giao điểm theo m Đồ thị/BBT · Bài mẫu hàm bậc 3
TR.07-08
Phương trình tiếp tuyến Tại một điểm · Qua điểm ngoài đồ thị
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất
TXĐ và đạo hàm — vì sao hàm này KHÔNG BAO GIỜ có cực trị.
Xét hàm số y=\dfrac{ax+b}{cx+d} với c\ne0 và ad-bc\ne0 — đây là hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất . TXĐ: D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}.
Tính đạo hàm — áp dụng công thức thương
Công thức thương: với y=\dfrac{u}{v} thì y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Thay u=ax+b,\;v=cx+d: y'=\dfrac{a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^{2}}=\dfrac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^{2}}=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}.
Nhận xét: tử số ad-bc là hằng số khác 0 (không phụ thuộc x); mẫu số (cx+d)^{2}>0 với mọi x\in D.
DẤU CỦA y' · KHÔNG ĐỔI TRÊN TXĐ
Dấu của y' giữ nguyên khi đi qua tiệm cận đứng — không đổi dấu trên toàn TXĐ
ĐIỂM KHÁC BIỆT SO VỚI HÀM ĐA THỨC · CHỦ ĐỀ 08
Vì tử số ad-bc\ne0 nên y' không bao giờ bằng 0 trên TXĐ — khác hẳn hàm đa thức (nơi y'=0 tại các điểm cực trị).
Do đó hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất đơn điệu trên từng khoảng xác định và KHÔNG CÓ cực trị , dù y' luôn dương hay luôn âm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 1 · TXĐ VÀ ĐẠO HÀM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Tiệm cận và tâm đối xứng
Hai đường tiệm cận giao nhau tại đúng một điểm — tâm đối xứng của đồ thị.
NHẮC LẠI NGẮN GỌN · TIỆM CẬN (CHỦ ĐỀ 07)
Với y=\dfrac{ax+b}{cx+d}: tiệm cận đứng x=-\dfrac{d}{c} (mẫu triệt tiêu, tử khác 0 tại đó); tiệm cận ngang y=\dfrac{a}{c} (vì \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{a}{c}).
Chủ đề 07 đã học tiệm cận cho mọi dạng hàm số; ở đây ta dùng lại kết quả đó làm nền cho khái niệm mới — tâm đối xứng .
TÂM ĐỐI XỨNG
Giao điểm hai tiệm cận: I\left(-\dfrac{d}{c};\;\dfrac{a}{c}\right)
TẠI SAO ĐỒ THỊ NHẬN I LÀM TÂM ĐỐI XỨNG
Đặt X=x+\dfrac{d}{c} (dịch trục về I). Biến đổi: y-\dfrac{a}{c}=\dfrac{ax+b}{cx+d}-\dfrac{a}{c}=\dfrac{c(ax+b)-a(cx+d)}{c(cx+d)}=\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}.
Vì cx+d=cX nên Y=y-\dfrac{a}{c}=\dfrac{k}{X} với k=\dfrac{bc-ad}{c^{2}} — đây là hàm số lẻ theo X, nên đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ mới, tức là đối xứng qua I.
HAI TIỆM CẬN GIAO TẠI I · ĐỐI XỨNG TÂM
Mọi cặp điểm đối xứng qua I đều cùng thuộc đồ thị
VÍ DỤ NHẨM NHANH
y=\dfrac{2x-1}{x+1}: a=2,b=-1,c=1,d=1. Tâm đối xứng I(-1;2) — đọc thẳng từ hệ số, không cần tính đạo hàm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 1 · TIỆM CẬN VÀ TÂM ĐỐI XỨNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Quy trình khảo sát hàm phân thức
5 bước — làm đúng thứ tự, không bỏ bước nào.
5 bước khảo sát — rút gọn cho hàm phân thức
Tìm TXĐ: D=\mathbb{R}\setminus\{-d/c\}.
Tính đạo hàm, xét dấu: y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}} — dấu không đổi, kết luận đơn điệu, không có cực trị.
Tìm tiệm cận và tâm đối xứng: TCĐ x=-d/c, TCN y=a/c, tâm I(-d/c;a/c).
Lập bảng biến thiên (BBT): ghi TXĐ, dấu y', chiều biến thiên trên từng khoảng, giới hạn tại tiệm cận.
Tìm điểm đặc biệt và vẽ đồ thị: giao Ox tại x=-b/a (nếu a\ne0), giao Oy tại y=b/d (nếu d\ne0); vẽ 2 nhánh đối xứng qua I.
HÌNH DẠNG CHUẨN · 2 NHÁNH HYPERBOL
2 nhánh nằm ở 2 góc phần tư đối nhau, qua tâm đối xứng I
MẸO TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT NHANH
Giao Ox (cho y=0): giải ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}.
Giao Oy (cho x=0): y=\dfrac{b}{d} — thay thẳng x=0 vào hàm số.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 2 · QUY TRÌNH KHẢO SÁT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Khảo sát và vẽ đồ thị
Áp dụng đầy đủ 5 bước cho y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
ĐỒ THỊ y=\dfrac{2x-1}{x+1}
Hai nhánh đối xứng qua I(-1;2); đồ thị qua \left(\dfrac12;0\right) và (0;-1)
BÀI MẪU · KHẢO SÁT ĐẦY ĐỦ 5 BƯỚC
Đề: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=\dfrac{2x-1}{x+1}.
BƯỚC 1 TXĐ: D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
BƯỚC 2 y'=\dfrac{2\cdot1-1\cdot1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{3}{(x+1)^{2}}>0,\;\forall x\in D. Hàm đồng biến trên (-\infty;-1) và (-1;+\infty); không có cực trị.
BƯỚC 3 TCĐ x=-1; TCN y=2; tâm đối xứng I(-1;2).
BƯỚC 4 BBT: x\to-1^{-}\Rightarrow y\to+\infty; x\to-1^{+}\Rightarrow y\to-\infty; x\to\pm\infty\Rightarrow y\to2.
BƯỚC 5 Giao Ox tại \left(\dfrac12;0\right); giao Oy tại (0;-1).
Đồ thị gồm 2 nhánh hyperbol , nhận I(-1;2) làm tâm đối xứng.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 2 · BÀI MẪU KHẢO SÁT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Tương giao giữa hai đồ thị
Nguyên lý duy nhất cho mọi bài toán giao điểm — dù là hàm đa thức hay hàm phân thức.
NGUYÊN LÝ CHUNG
Cho (C_{1}):y=f(x) và (C_{2}):y=g(x). Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x)=g(x)\quad(*)
Số nghiệm của (*) = Số giao điểm của (C_{1}) và (C_{2})
Áp dụng cho hàm đa thức Chủ đề 08
Với hàm đa thức, TXĐ là toàn bộ \mathbb{R}, nên mọi nghiệm thực của (*) đều là hoành độ của một giao điểm hợp lệ — không cần loại nghiệm nào.
Ví dụ: số giao điểm của (C):y=x^{3}-3x+1 với trục hoành (tức g(x)=0) chính là số nghiệm thực của x^{3}-3x+1=0.
⚠ LƯU Ý RIÊNG CHO HÀM PHÂN THỨC
Nếu f(x) hoặc g(x) là hàm phân thức, sau khi giải (*) (thường phải quy đồng, khử mẫu) em PHẢI LOẠI các nghiệm trùng với điểm không xác định của TXĐ — đó là nghiệm "ảo" sinh ra do khử mẫu.
Ví dụ: (C_{1}):y=\dfrac{2x-1}{x+1} và (C_{2}):y=\dfrac{x-2}{x+1} (cùng mẫu, cùng TXĐ x\ne-1). PT hoành độ giao điểm: \dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{x-2}{x+1}\Rightarrow2x-1=x-2\Rightarrow x=-1.
Nhưng x=-1\notin D — loại . Vậy (C_{1}) và (C_{2}) không có điểm chung , dù phép biến đổi "trông như" cho nghiệm.
QUY TRÌNH CHUẨN · 3 BƯỚC
Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x).
Bước 2: Giải phương trình (chú ý điều kiện xác định nếu có hàm phân thức).
Bước 3: Đối chiếu từng nghiệm với TXĐ, loại nghiệm không hợp lệ — số nghiệm còn lại chính là số giao điểm.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 3 · NGUYÊN LÝ TƯƠNG GIAO
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Biện luận số giao điểm theo tham số m
Đường thẳng nằm ngang y=m quét từ dưới lên — đếm số điểm cắt.
Phương trình f(x)=m (với m là tham số) chính là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị (C):y=f(x) đã khảo sát và đường thẳng nằm ngang (d):y=m. Số nghiệm thay đổi theo m — đây là biện luận theo tham số .
Với hàm đa thức bậc 3, có cực trị
So sánh m với các giá trị cực trị y_{CD} (cực đại), y_{CT} (cực tiểu). Số giao điểm thay đổi mỗi khi m vượt qua các giá trị này — xem bài mẫu trang sau.
Với hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất
Hàm luôn đơn điệu trên từng khoảng và không bao giờ đạt tiệm cận ngang a/c, nên:
• Nếu m\ne a/c: cắt đồ thị tại đúng 1 điểm (thuộc một trong hai nhánh).
• Nếu m=a/c: không cắt đồ thị (0 giao điểm).
ĐƯỜNG y=m QUÉT QUA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
y=m_{1} cắt 1 điểm (nhánh phải); y=TCN không cắt; y=m_{3} cắt 1 điểm (nhánh trái)
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 4 · PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Biện luận bằng đồ thị hàm bậc 3
Cho (C):y=x^{3}-3x+1 đã khảo sát. Biện luận số nghiệm của x^{3}-3x+1=m.
BÀI MẪU · TÌM CỰC TRỊ TRƯỚC KHI BIỆN LUẬN 4 BƯỚC
Đề: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x^{3}-3x+1=m.
BƯỚC 1 y'=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)=0\Leftrightarrow x=\pm1.
BƯỚC 2 y(-1)=3 (cực đại y_{CD}); \;y(1)=-1 (cực tiểu y_{CT}).
BƯỚC 3 BBT: đồng biến trên (-\infty;-1), nghịch biến trên (-1;1), đồng biến trên (1;+\infty).
BƯỚC 4 Số nghiệm = số giao điểm của (C) với y=m — so m với y_{CT}=-1 và y_{CD}=3.
Kết quả biện luận đầy đủ — xem bảng bên dưới.
ĐỒ THỊ y=x^{3}-3x+1 · QUÉT y=m
Quét y=m từ dưới lên: 1 → 2 → 3 → 2 → 1 giao điểm
Giá trị m
Số nghiệm
Giải thích
m>3 · 1 · 1 nghiệm đơn, thuộc nhánh x>1 (đường y=m nằm trên đỉnh cực đại).
m=3 · 2 · 1 nghiệm kép tại x=-1 (tiếp xúc đỉnh CĐ) + 1 nghiệm đơn tại x=2.
-1<m<3 · 3 · 3 nghiệm đơn phân biệt — đường y=m cắt cả 3 nhánh của BBT.
m=-1 · 2 · 1 nghiệm kép tại x=1 (tiếp xúc đáy CT) + 1 nghiệm đơn tại x=-2.
m<-1 · 1 · 1 nghiệm đơn, thuộc nhánh x<-1 (đường y=m nằm dưới đáy cực tiểu).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 4 · BÀI MẪU BIỆN LUẬN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Công thức nền tảng — và cách tìm tiếp điểm khi biết hệ số góc.
CÔNG THỨC TIẾP TUYẾN
Tiếp tuyến của (C):y=f(x) tại điểm M_{0}(x_{0};y_{0})\in(C):
y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}
Ý nghĩa từng thành phần
f'(x_{0}) — hệ số góc của tiếp tuyến, chính là đạo hàm tại hoành độ tiếp điểm.
(x_{0};y_{0}) — tiếp điểm, với y_{0}=f(x_{0}) — phải thuộc đồ thị.
Dạng đường thẳng — phương trình đường thẳng qua M_{0} với hệ số góc f'(x_{0}), viết theo dạng điểm – hệ số góc quen thuộc.
TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC
Nếu đề cho hệ số góc k thay vì tiếp điểm, ta giải phương trình f'(x_{0})=k để tìm x_{0}, rồi tính y_{0}=f(x_{0}) và thay vào công thức trên.
Với hàm phân thức, f'(x_{0})=\dfrac{ad-bc}{(cx_{0}+d)^{2}}=k có thể cho 0 hoặc 2 giá trị x_{0} tuỳ dấu của k — hai giá trị luôn xuất hiện thành cặp đối xứng qua tiệm cận đứng, không bao giờ có đúng một giá trị.
BÀI MẪU · TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC CHO TRƯỚC 5 BƯỚC
Đề: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=\dfrac{2x-1}{x+1}, biết tiếp tuyến có hệ số góc k=\dfrac{3}{4}.
BƯỚC 1 f'(x)=\dfrac{3}{(x+1)^{2}}. Giải \dfrac{3}{(x+1)^{2}}=\dfrac34\Rightarrow(x+1)^{2}=4\Rightarrow x+1=\pm2.
BƯỚC 2 x_{0}=1 hoặc x_{0}=-3.
BƯỚC 3 Với x_{0}=1: y_{0}=f(1)=\dfrac{2-1}{1+1}=\dfrac12.
BƯỚC 4 Với x_{0}=-3: y_{0}=f(-3)=\dfrac{-7}{-2}=\dfrac72.
BƯỚC 5 Thay vào công thức: y=\dfrac34(x-1)+\dfrac12=\dfrac34x-\dfrac14; và y=\dfrac34(x+3)+\dfrac72=\dfrac34x+\dfrac{23}{4}.
Có 2 tiếp tuyến : y=\dfrac34x-\dfrac14 và y=\dfrac34x+\dfrac{23}{4}.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 09 · KHÁI NIỆM 5 · TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 09 · Khảo sát đồ thị hàm phân thức và bài toán tương giao
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Điểm A KHÔNG thuộc đồ thị — bài toán khó hơn, cần gọi tiếp điểm.