CHỦ ĐỀ 08 - Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
Quy trình khảo sát hàm số 7 bước · Đồ thị hàm bậc ba và hàm bậc bốn trùng phương · Đọc BBT và đồ thị ngược · Bài toán cực trị và tiếp tuyến.
Chủ đề 08
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
01 /13
CHỦ ĐỀ 08
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba · bậc bốn trùng phương
Quy trình khảo sát 7 bước · Hình dạng đồ thị bậc ba · Hàm trùng phương · Đọc BBT và đồ thị ngược · Cực trị & tiếp tuyến
Trong 10 phút , em sẽ nắm chắc quy trình khảo sát hàm số đúng 7 bước chuẩn Đề Bộ GD , nhận diện hình dạng đồ thị hàm bậc ba và hàm trùng phương , đồng thời luyện kỹ năng đọc ngược từ bảng biến thiên và đồ thị.
Đây là kỹ năng nền tảng xuyên suốt Chương I · Ứng dụng đạo hàm , xuất hiện dày đặc trong đề thi THPTQG 2026 . Hãy đọc thật chậm — mỗi trang là một khái niệm độc lập.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Năm khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Quy trình khảo sát hàm số 7 bước chuẩn · Ví dụ minh hoạ
TR.02-03
Đồ thị hàm bậc ba Hình dạng theo dấu a · Điểm uốn
TR.04-05
Đồ thị hàm trùng phương 1 hay 3 cực trị · Tính chẵn
TR.06
Đọc BBT và đồ thị ngược Nhận diện · Suy luận
TR.07-08
Cực trị tam giác và tiếp tuyến Bậc 4 trùng phương · Công thức tiếp tuyến
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Quy trình khảo sát hàm số — 7 bước
Bảy bước cố định, áp dụng cho mọi hàm đa thức. Học thuộc đúng thứ tự trước khi luyện bài tập.
Khảo sát hàm số là dùng đạo hàm để mô tả đầy đủ chiều biến thiên, cực trị và hình dáng của đồ thị khi x\to\pm\infty, từ đó vẽ được đồ thị chính xác.
Bảy bước — thứ tự bắt buộc
Tập xác định — với hàm đa thức, luôn có D=\mathbb{R} (xác định trên toàn trục số, không loại điểm nào).
Tính đạo hàm y'.
Giải y'=0, xét dấu y' — suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến.
Kết luận cực trị — tại mỗi điểm y' đổi dấu, xác định cực đại hoặc cực tiểu.
Tính giới hạn \lim_{x\to\pm\infty}y — biết chiều đồ thị ở hai đầu.
Lập bảng biến thiên (BBT) — tổng hợp đầy đủ các bước 1-5 vào một bảng.
Vẽ đồ thị — dựa vào BBT, tìm thêm điểm đặc biệt (giao Ox, giao Oy, điểm uốn nếu cần) rồi nối các nhánh.
KẾT QUẢ CỦA QUY TRÌNH · ĐỒ THỊ HOÀN CHỈNH
Bước 3-4 cho cực trị, bước 5 cho chiều hai đầu, bước 7 nối lại thành đồ thị
MẸO GHI NHỚ · 7 CHỮ CÁI ĐẦU
T ập xác định — Đ ạo hàm — D ấu — C ực trị — G iới hạn — B BT — V ẽ.
Không được bỏ bước, kể cả bước 1 — dù với đa thức kết quả luôn là D=\mathbb{R}, đề thi vẫn chấm điểm từng bước trình bày.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 1 · QUY TRÌNH 7 BƯỚC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Ví dụ áp dụng đầy đủ 7 bước
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x^{3}-3x^{2}+2 theo đúng quy trình vừa học.
BÀI MẪU · QUY TRÌNH 7 BƯỚC ĐỦ 7 BƯỚC
Đề: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x^{3}-3x^{2}+2.
BƯỚC 1 TXĐ: D=\mathbb{R}.
BƯỚC 2 Đạo hàm: y'=3x^{2}-6x=3x(x-2).
BƯỚC 3 Dấu y': y'=0\Leftrightarrow x=0 hoặc x=2. y'>0 trên (-\infty;0) và (2;+\infty); $y'
BƯỚC 4 Cực trị: x=0 là điểm cực đại, y_{C\!Đ}=y(0)=2. x=2 là điểm cực tiểu, y_{CT}=y(2)=8-12+2=-2.
BƯỚC 5 Giới hạn: a=1>0, bậc lẻ \Rightarrow\lim_{x\to+\infty}y=+\infty,\;\lim_{x\to-\infty}y=-\infty.
BƯỚC 6 Bảng biến thiên: xem bảng bên dưới.
BƯỚC 7 Vẽ đồ thị: giao Oy tại (0;2) (trùng điểm CĐ), điểm uốn tại x=-\dfrac{b}{3a}=1, y(1)=0; nối các nhánh theo BBT.
-\infty
+\infty
y'
−
-\infty ↗ 2 (CĐ) ↘ -2 (CT) ↗ +\infty
Đồ thị: từ -\infty tăng lên CĐ(0;2), giảm xuống CT(2;-2), rồi tăng đến +\infty — dạng chữ N .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 1 · VÍ DỤ ÁP DỤNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Đồ thị hàm bậc ba y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
Bốn hình dạng đồ thị, quyết định bởi dấu của a và số nghiệm của y'=3ax^{2}+2bx+c.
a>0, y'=0 có 2 nghiệm Đồ thị có 2 cực trị
Điều kiện: \Delta'=b^{2}-3ac>0.
Đồng biến — nghịch biến — đồng biến. Đồ thị có dạng chữ N .
Ví dụ: y=x^{3}-3x^{2}+2
a=1,\Delta'=9>0.
$a Đồ thị có 2 cực trị
Điều kiện: \Delta'=b^{2}-3ac>0.
Nghịch biến — đồng biến — nghịch biến. Đồ thị có dạng chữ N ngược .
Ví dụ: y=-x^{3}+3x^{2}-1
a=-1,\Delta'=9>0.
a>0, y'=0 vô nghiệm/kép Không có cực trị
Điều kiện: \Delta'=b^{2}-3ac\le0.
Đồng biến trên \mathbb{R} , đồ thị luôn đi lên, không có khoảng nghịch biến.
Ví dụ: y=x^{3}+x
y'=3x^{2}+1>0,\forall x.
$a Không có cực trị
Điều kiện: \Delta'=b^{2}-3ac\le0.
Nghịch biến trên \mathbb{R} , đồ thị luôn đi xuống, không có khoảng đồng biến.
Ví dụ: y=-x^{3}-x
y'=-3x^{2}-1 tâm đối xứng — đây là nơi y''$ đổi dấu, không phụ thuộc số cực trị.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 2 · HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ BẬC BA
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Ví dụ khảo sát — trường hợp $a HÀM SỐ
y=-x^{3}+3x^{2}-1\qquad a=-1,\;b=3,\;c=0
DẠNG CHỮ N NGƯỢC · a 0
BÀI MẪU · TRƯỜNG HỢP $a 5 BƯỚC
Đề: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=-x^{3}+3x^{2}-1.
BƯỚC 1-2 D=\mathbb{R}. y'=-3x^{2}+6x=-3x(x-2).
BƯỚC 3 y'=0\Leftrightarrow x=0 hoặc x=2. y' 0 trên (0;2), $y'
BƯỚC 4 x=0 là cực tiểu, y_{CT}=y(0)=-1. x=2 là cực đại, y_{C\!Đ}=y(2)=-8+12-1=3.
BƯỚC 5 $a=-1
BBT: +\infty ↘ -1(CT) ↗ 3(CĐ) ↘ -\infty — đồ thị dạng chữ N ngược .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 2 · VÍ DỤ KHẢO SÁT
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y=ax^{4}+bx^{2}+c
Luôn đối xứng qua Oy. Một hoặc ba cực trị, tuỳ theo dấu của tích ab.
ab\ge0, a>0 Một cực trị duy nhất
y'=2x(2ax^{2}+b)=0 chỉ có nghiệm x=0.
Cực tiểu duy nhất tại x=0. Đồ thị dạng chữ U .
Ví dụ: y=x^{4}+x^{2}+1
a=1,b=1,ab=1\ge0.
ab\ge0, $a Một cực trị duy nhất
y'=2x(2ax^{2}+b)=0 chỉ có nghiệm x=0.
Cực đại duy nhất tại x=0. Đồ thị dạng chữ ∩ .
Ví dụ: y=-x^{4}-x^{2}+1
a=-1,b=-1,ab=1\ge0.
ab 0 Ba cực trị phân biệt
y'=0 có 3 nghiệm: x=0,\;x=\pm\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}.
2 cực tiểu, 1 cực đại ở giữa. Đồ thị dạng chữ W .
Ví dụ: y=x^{4}-4x^{2}+3
$a=1,b=-4,ab=-4 Ba cực trị phân biệt
y'=0 có 3 nghiệm: x=0,\;x=\pm\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}.
2 cực đại, 1 cực tiểu ở giữa. Đồ thị dạng chữ M .
Ví dụ: y=-x^{4}+4x^{2}-3
a=-1,b=4,ab=-4 chẵn , đồ thị đối xứng qua trục Oy$. Đây là dấu hiệu nhận biết nhanh hàm trùng phương trên hình vẽ.
Sai lầm phổ biến: nghĩ hàm trùng phương luôn có 3 cực trị. Chỉ đúng khi $ab đúng 1 cực trị.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 3 · HÀM TRÙNG PHƯƠNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Đọc bảng biến thiên (BBT) ngược
Cho sẵn BBT, suy luận ngược: đồng biến ở đâu, mấy cực trị, dấu hệ số a.
BBT cho trước · VÍ DỤ
-\infty
-1
+\infty
y'
−
+\infty ↘ -2(CT) ↗ 5(CĐ) ↘ -\infty
⚠ LƯU Ý KHI ĐỌC
Dấu y' ở hai đầu bảng luôn cùng dấu đối với hàm bậc lẻ (bậc 3) — vì y' là đa thức bậc chẵn (bậc 2). Ngược lại, ở hàm bậc chẵn (bậc 4 trùng phương), y' là đa thức bậc lẻ (bậc 3) nên hai đầu luôn trái dấu .
Bốn điều đọc được từ BBT trên
Khoảng đơn điệu: nghịch biến trên (-\infty;-1) và (3;+\infty); đồng biến trên (-1;3).
Số cực trị: 2 điểm — vì y' đổi dấu đúng 2 lần \Rightarrow đây là hàm bậc ba .
Giá trị cực trị: y_{CT}=y(-1)=-2; y_{C\!Đ}=y(3)=5.
Dấu hệ số a: x\to-\infty thì y\to+\infty, và x\to+\infty thì y\to-\infty — đồ thị "đi xuống" bên phải \Rightarrow $a .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 4 · ĐỌC BBT NGƯỢC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Đọc đồ thị ngược & biện luận số nghiệm
Từ hình vẽ, xác định bậc, dấu a, và số nghiệm của f(x)=m theo tham số m.
ĐỒ THỊ y=x^{4}-4x^{2}+3 · DẠNG CHỮ W
3 cực trị, đối xứng qua Oy \Rightarrow hàm trùng phương bậc 4, a>0
Bậc hàm số: 3 cực trị + đối xứng qua Oy \Rightarrow hàm trùng phương bậc 4 (hàm bậc 3 chỉ có 0 hoặc 2 cực trị).
Dấu a: hai nhánh ngoài cùng đi lên \Rightarrow \lim_{x\to\pm\infty}y=+\infty \Rightarrow a>0 .
Giá trị m · Số nghiệm f(x)=m
m · Vô nghiệm (đường thẳng y=m$ không cắt đồ thị)
m=-1 · 2 nghiệm — tiếp xúc tại 2 điểm cực tiểu
-1<m<3 · 4 nghiệm — cắt cả 4 nhánh
m=3 · 3 nghiệm — tiếp xúc đỉnh cực đại + cắt 2 nhánh ngoài
m>3 · 2 nghiệm — chỉ cắt 2 nhánh ngoài
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 4 · ĐỌC ĐỒ THỊ & BIỆN LUẬN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác
Hàm trùng phương có 3 cực trị (ab 0. Ba điểm cực trị:
A(0;c),\qquad B\!\left(\sqrt{t};\,c-\dfrac{b^{2}}{4a}\right),\qquad C\!\left(-\sqrt{t};\,c-\dfrac{b^{2}}{4a}\right)
B,C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A .
DIỆN TÍCH TAM GIÁC
S_{\triangle ABC}=|a|\left(\dfrac{-b}{2a}\right)^{2}\sqrt{\dfrac{-b}{2a}}
HƯỚNG GIẢI · 3 BƯỚC
1. Kiểm tra ab 2. Tính t=-\dfrac{b}{2a}, suy ra 3 toạ độ A,B,C$.
3. Đáy BC=2\sqrt{t}, chiều cao h=\left|\dfrac{b^{2}}{4a}\right|, diện tích S=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot h.
BÀI MẪU NGẮN 3 BƯỚC
Đề: Tính diện tích tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị của y=x^{4}-2x^{2}+1.
BƯỚC 1 a=1,b=-2,c=1. $ab=-2
BƯỚC 2 t=-\dfrac{b}{2a}=1. A(0;1),\;B(1;0),\;C(-1;0).
BƯỚC 3 BC=2, h=|1-0|=1, S=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot1=1.
Diện tích: S=1
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 5 · TAM GIÁC CỰC TRỊ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Biết hoành độ tiếp điểm là viết được ngay phương trình tiếp tuyến.
CÔNG THỨC
Tiếp tuyến tại M_{0}(x_{0};y_{0}), y_{0}=f(x_{0}):
y=f'(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}
Ba yếu tố bắt buộc phải có
Hoành độ x_{0} — đề cho trực tiếp, hoặc phải giải ra từ điều kiện khác.
Tung độ y_{0}=f(x_{0}) — thay x_{0} vào hàm số ban đầu.
Hệ số góc k=f'(x_{0}) — thay x_{0} vào đạo hàm.
BIẾN THỂ HAY GẶP
Nếu đề cho hệ số góc k thay vì x_{0}: giải phương trình f'(x_{0})=k để tìm x_{0} trước, rồi làm như bình thường.
BÀI MẪU · TIẾP TUYẾN 3 BƯỚC
Đề: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y=x^{3}-3x^{2}+2 tại điểm có hoành độ x_{0}=3.
BƯỚC 1 Tung độ: y_{0}=y(3)=27-27+2=2.
BƯỚC 2 Hệ số góc: y'(x)=3x^{2}-6x\Rightarrow y'(3)=27-18=9.
BƯỚC 3 Thay công thức: y=9(x-3)+2=9x-27+2.
Tiếp tuyến: y=9x-25
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 08 · KHÁI NIỆM 5 · PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 08 · Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức
11 /13
06 KHÁI NIỆM
3 Phần — 3 cách ra đề
Cùng một chủ đề khảo sát hàm đa thức nhưng ba phần thi ra đề theo ba hướng khác nhau.
PHẦN I · TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT
Định dạng: Một câu - bốn lựa chọn A/B/C/D.
Kiểu hỏi:
- Đọc số cực trị, khoảng đơn điệu từ BBT cho sẵn.
- Xác định dấu hệ số a từ hình dạng đồ thị.
- Nhận diện bậc hàm số (3 hay 4) qua đồ thị.
- Tính giá trị cực đại/cực tiểu từ BBT.
Chiến thuật: Nhìn chiều đồ thị ở hai đầu (\pm\infty) để loại ngay đáp án sai dấu a.
⏱ 30-60 giây/câu
PHẦN II · ĐÚNG/SAI
THÔNG HIỂU
Định dạng: Một hàm số/đồ thị — bốn mệnh đề a,b,c,d — đánh Đ/S.
Bốn ý thường kiểm tra:
- Tính đơn điệu trên khoảng cho trước đúng không.
- Số điểm cực trị và giá trị cực trị đúng không.
- Dạng đồ thị (N/W/U/M...) đúng không.
- Kết luận về nghiệm phương trình f(x)=m đúng không.
Chiến thuật: Kiểm tra từng mệnh đề độc lập bằng cách tính lại đạo hàm, không suy diễn từ mệnh đề trước.
⏱ 2-3 phút/bài
PHẦN III · TRẢ LỜI NGẮN
VẬN DỤNG
Định dạng: Tính toán cụ thể với tham số m. Kết quả thường là số nguyên hoặc phân số đơn giản .
Kiểu hỏi:
- Biện luận số nghiệm f(x)=m theo m.
- Tính diện tích tam giác 3 điểm cực trị.
- Viết phương trình tiếp tuyến thoả điều kiện.