CHỦ ĐỀ 05 - Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Tài liệu CHỦ ĐỀ 05 - Tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong Kho Tài Liệu Vàng LUKATO.
Chủ đề 05
1234
5678
910111213
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
01 /13
CHỦ ĐỀ 05
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Đồng biến · Nghịch biến · Bảng biến thiên · Cực đại · Cực tiểu · Hai quy tắc tìm cực trị · Cực trị với tham số m
Tạm biệt hình học không gian. Hôm nay em bước vào GIẢI TÍCH — chủ đề số một của Phần III đề thi THPTQG. Đạo hàm là công cụ mạnh nhất: chỉ cần xét dấu f'(x) , em đọc được toàn bộ hành vi của hàm số.
Bảng biến thiên (BBT) là bản đồ đưa em đi qua bài toán. Học BBT thật kĩ — mọi bài về đơn điệu, cực trị, GTLN/GTNN, đồ thị... đều bắt đầu từ đây.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút có thể chia 2-3 ngày
SỐ TRANG
13 trang 6 khái niệm + 2 trang tổng kết
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Sáu khái niệm cốt lõi
Kèm 2 trang tổng kết
Tính đơn điệu của hàm số Đồng biến · Nghịch biến
TR.02-03
Bảng biến thiên qua f'(x) Dấu đạo hàm quyết định tất cả
TR.04-05
Cực trị — định nghĩa Điểm vs giá trị cực trị
TR.06
Hai quy tắc tìm cực trị BBT · Đạo hàm cấp 2
TR.07-08
Cực trị với tham số m Hàm bậc 3 · Hàm bậc 4 trùng phương
TR.09-10
Chiến thuật làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.11
Tổng kết 10 công thức · 5 sai lầm
TR.12-13
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
02 /13
01 KHÁI NIỆM 1/2
Đồng biến và nghịch biến là gì?
Hai khái niệm nền của toàn bộ chương giải tích. Định nghĩa bằng ngôn ngữ bất đẳng thức, nhưng ý nghĩa rất trực quan.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K:
f được gọi là ĐỒNG BIẾN (tăng) trên K nếu với mọi x_{1},x_{2}\in K mà x_{1}\lt x_{2}, ta có f(x_{1})\lt f(x_{2}) .
f được gọi là NGHỊCH BIẾN (giảm) trên K nếu với mọi x_{1},x_{2}\in K mà x_{1}\lt x_{2}, ta có f(x_{1})\gt f(x_{2}) .
Ý NGHĨA TRỰC QUAN
Đồng biến: "x tăng thì y cũng tăng" — đồ thị ĐI LÊN theo chiều từ trái sang phải.
Nghịch biến: "x tăng thì y lại giảm" — đồ thị ĐI XUỐNG theo chiều từ trái sang phải.
Đơn điệu (monotonic) là thuật ngữ chung cho "đồng biến HOẶC nghịch biến".
HAI LOẠI HÀM SỐ · ĐI LÊN VÀ ĐI XUỐNG
Trục x ngang · Trục y đứng · Chuyển động từ trái qua phải
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH NGHĨA ĐƠN ĐIỆU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
03 /13
01 KHÁI NIỆM 2/2
Khoảng đơn điệu · Hàm không đơn điệu toàn cục
Hầu hết hàm số không đơn điệu trên toàn miền. Thường phải chia miền thành các khoảng con để xét.
SỰ THẬT QUAN TRỌNG
Một hàm số thường KHÔNG đơn điệu trên cả \mathbb{R}. Thông thường, ta chia \mathbb{R} (hoặc tập xác định) thành các khoảng con, trên mỗi khoảng hàm số đơn điệu theo một chiều duy nhất.
Ví dụ: Hàm f(x)=x^{2} — không đơn điệu trên \mathbb{R}:
Nghịch biến trên (-\infty;0]: khi x âm, x tăng thì y giảm.
Đồng biến trên [0;+\infty): khi x dương, x tăng thì y tăng.
THUẬT NGỮ CẦN NHỚ
Khoảng đồng biến của f: là khoảng lớn nhất mà trên đó f đồng biến.
Khoảng nghịch biến : tương tự.
Với f(x)=x^{2}: khoảng đồng biến là [0;+\infty), khoảng nghịch biến là (-\infty;0].
KÍ HIỆU VIỆT NAM
Đề thi Việt Nam dùng dấu chấm phẩy trong khoảng: (a;b), [a;b], (a;b]...
Không dùng dấu phẩy: (a,b) theo kiểu sách tây.
Vô cực: -\infty và +\infty luôn kèm ngoặc tròn: (-\infty;3] hoặc [2;+\infty).
⚠ HAI ĐIỂM CẦN CHÚ Ý
1. Luôn nói "đơn điệu trên khoảng nào ", không bao giờ nói "đơn điệu" chung chung. Phải nêu rõ khoảng.
2. Khi hỏi "hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây", đáp án có thể là tập con của khoảng đồng biến thật sự. Chọn đáp án mà chắc chắn f đồng biến.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 1 · KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
04 /13
02 KHÁI NIỆM 1/2
Điều kiện đơn điệu qua đạo hàm
Định lí trọng tâm của toàn chương: dấu f'(x) quyết định tính đơn điệu. Không cần quay về định nghĩa, chỉ cần đạo hàm.
ĐỊNH LÍ
Cho y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K:
f'(x)\gt 0 trên K thì f đồng biến trên K
f'(x)\lt 0 trên K thì f nghịch biến trên K
f'(x)=0 trên K thì f hằng số trên K
MỞ RỘNG · DẤU = CHẤP NHẬN ĐƯỢC
Nếu f'(x)\ge 0 trên K và f'(x)=0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm , thì f vẫn đồng biến trên K.
Tương tự cho f'(x)\le 0 và nghịch biến.
Đây là lí do vì sao hàm f(x)=x^{3} đồng biến trên \mathbb{R}: f'(x)=3x^{2}\ge 0, dấu = chỉ tại x=0.
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Đạo hàm f'(x_{0}) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại điểm x_{0}.
f'\gt 0: tiếp tuyến dốc lên — đồ thị đi lên — đồng biến.
f'\lt 0: tiếp tuyến dốc xuống — đồ thị đi xuống — nghịch biến.
f'=0: tiếp tuyến ngang — đồ thị nằm yên tại chỗ — điểm "đứng".
QUY LUẬT VÀNG CỦA GIẢI TÍCH
Để xét đơn điệu của hàm số, em KHÔNG cần quay về định nghĩa (so sánh f(x_{1}) và f(x_{2})).
Chỉ cần: tính f'(x), xét dấu . Đây là lí do tại sao đạo hàm là công cụ mạnh nhất lớp 12.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 2 · ĐỊNH LÍ ĐẠO HÀM
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
05 /13
02 KHÁI NIỆM 2/2
Lập Bảng biến thiên (BBT)
Công cụ số một của giải tích. Một BBT đúng cho em biết: khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị cực trị — tất cả trong một bảng.
QUY TRÌNH 5 BƯỚC LẬP BBT
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm f'(x).
Bước 3: Giải phương trình f'(x)=0 (và tìm điểm f' không xác định).
Bước 4: Xét dấu f'(x) trên từng khoảng phân chia bởi các điểm tìm được.
Bước 5: Kẻ bảng: hàng x, hàng f'(x), hàng f(x). Ghi mũi tên tăng/giảm cho f.
VÍ DỤ · f(x)=x^{3}-3x^{2}+4 5 BƯỚC
BƯỚC 1 D=\mathbb{R}.
BƯỚC 2 f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
BƯỚC 3 f'(x)=0 khi x=0 hoặc x=2.
BƯỚC 4 f'\gt 0 trên (-\infty;0), f'\lt 0 trên (0;2), f'\gt 0 trên (2;+\infty).
BƯỚC 5 Xem BBT ở bên phải.
Đồng biến: (-\infty;0) và (2;+\infty). Nghịch biến: (0;2).
FIG.02 · BẢNG BIẾN THIÊN CỦA f(x)=x^{3}-3x^{2}+4
Đọc BBT: hàng x các mốc. Hàng f' dấu đạo hàm. Hàng f mũi tên hướng tăng/giảm và giá trị tại mốc.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 2 · BẢNG BIẾN THIÊN
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
06 /13
03 KHÁI NIỆM
Cực trị — Cực đại, cực tiểu
Điểm cao nhất "địa phương" của đồ thị là cực đại. Điểm thấp nhất "địa phương" là cực tiểu. Chú ý phân biệt điểm , giá trị , và điểm của đồ thị .
Cho y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x_{0}\in(a;b).
x_{0} là điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng (c;d) chứa x_{0} sao cho f(x)\lt f(x_{0}) với mọi x\in(c;d) khác x_{0}.
Tương tự, x_{0} là điểm cực tiểu nếu f(x)\gt f(x_{0}) với mọi x gần x_{0} (trong một khoảng chứa x_{0}).
BA KHÁI NIỆM CẦN PHÂN BIỆT
1. Điểm cực đại/cực tiểu (x_{0}): một số trên trục hoành.
2. Giá trị cực đại/cực tiểu (f(x_{0})): một số trên trục tung, cũng gọi là cực trị.
3. Điểm cực đại/cực tiểu của đồ thị (M(x_{0};f(x_{0}))): một điểm trên mặt phẳng tọa độ.
"Cực trị" là thuật ngữ chung cho cực đại HOẶC cực tiểu.
CỰC ĐẠI · CỰC TIỂU TRÊN ĐỒ THỊ
Cực đại là "đỉnh đồi"; cực tiểu là "đáy thung lũng"
⚠ KHÔNG NHẦM CỰC TRỊ VỚI GTLN/GTNN
Cực đại/cực tiểu là khái niệm địa phương — chỉ so sánh với lân cận.
GTLN/GTNN (max/min toàn cục) so sánh trên toàn miền — sẽ học ở chủ đề sau.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 3 · ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
07 /13
04 KHÁI NIỆM 1/2
Hai quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1 dùng BBT — tổng quát, luôn hoạt động. Quy tắc 2 dùng đạo hàm cấp 2 — nhanh gọn nhưng có hạn chế.
Quy tắc BBT DÙNG ĐẠO HÀM CẤP MỘT
BƯỚC 1 Tính f'(x).
BƯỚC 2 Tìm các điểm mà f'(x)=0 hoặc f'(x) không xác định.
BƯỚC 3 Lập bảng biến thiên, xét dấu f' trên các khoảng.
BƯỚC 4 Kết luận theo sự đổi dấu của f'.
f' đổi dấu + sang - tại x_{0}: x_{0} là điểm cực đại .
f' đổi dấu - sang + tại x_{0}: x_{0} là điểm cực tiểu .
f' không đổi dấu: x_{0} không phải điểm cực trị.
Quy tắc đạo hàm cấp 2 NHANH GỌN NHƯNG CÓ ĐIỀU KIỆN
BƯỚC 1 Tính f'(x).
BƯỚC 2 Tìm nghiệm x_{0} của phương trình f'(x)=0.
BƯỚC 3 Tính f''(x_{0}) (đạo hàm cấp 2 tại x_{0}).
BƯỚC 4 Kết luận theo dấu của f''(x_{0}).
f''(x_{0})\lt 0: x_{0} là điểm cực đại .
f''(x_{0})\gt 0: x_{0} là điểm cực tiểu .
f''(x_{0})=0: KHÔNG kết luận được — phải dùng Quy tắc 1.
Tiêu chí
Quy tắc 1 (BBT)
Quy tắc 2 (đạo hàm cấp 2)
Độ chi tiết · Đầy đủ — thấy được cả tính đơn điệu lẫn cực trị. · Chỉ xác định được cực trị, không thấy đơn điệu.
Độ khó · Phải xét dấu f' trên nhiều khoảng. · Chỉ cần tính f''(x_{0}) tại mỗi nghiệm.
Khi nào dùng · Luôn luôn dùng được. · Chỉ khi f''(x_{0})\text{ khác } 0; nếu =0 phải chuyển QT1.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 4 · HAI QUY TẮC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
08 /13
04 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · So sánh hai quy tắc
Cùng một đề — giải bằng cả hai quy tắc để thấy ưu nhược điểm. Kết quả luôn trùng nhau.
CÁCH 1 · QUY TẮC BBT TỔNG QUÁT
Đề: Tìm cực trị của f(x)=x^{3}-3x^{2}+2.
BƯỚC 1 f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
BƯỚC 2 f'(x)=0 khi x=0 hoặc x=2.
BƯỚC 3 Xét dấu: f'\gt 0 trên (-\infty;0), f'\lt 0 trên (0;2), f'\gt 0 trên (2;+\infty).
BƯỚC 4 Tại x=0, f' đổi dấu + sang -: là điểm cực đại. Tại x=2, f' đổi dấu - sang +: là điểm cực tiểu.
BƯỚC 5 Tính giá trị: f(0)=2; f(2)=8-12+2=-2.
CĐ tại x=0, giá trị f(0)=2. CT tại x=2, giá trị f(2)=-2.
CÁCH 2 · QT ĐẠO HÀM CẤP 2 NHANH GỌN
Đề: Tìm cực trị của f(x)=x^{3}-3x^{2}+2.
BƯỚC 1 f'(x)=3x^{2}-6x.
BƯỚC 2 f'(x)=0 cho x=0 hoặc x=2.
BƯỚC 3 f''(x)=6x-6.
BƯỚC 4 f''(0)=-6\lt 0: x=0 là điểm cực đại.
f''(2)=6\gt 0: x=2 là điểm cực tiểu.
BƯỚC 5 Tính giá trị: f(0)=2; f(2)=-2.
Kết quả giống Cách 1: CĐ tại x=0, CT tại x=2.
KHI NÀO NÊN DÙNG CÁCH NÀO?
Dùng Cách 2 (đạo hàm cấp 2) khi đề chỉ hỏi cực trị và hàm số đủ đơn giản để tính f'' nhanh — đây là lựa chọn kinh tế nhất.
Dùng Cách 1 (BBT) khi đề hỏi cả đơn điệu lẫn cực trị , hoặc khi f''(x_{0})=0, hoặc khi hàm phức tạp (căn, lôgarit...) — BBT luôn hoạt động.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 4 · BÀI MẪU
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
09 /13
05 KHÁI NIỆM 1/2
Cực trị với tham số m
Dạng bài xuất hiện hầu như mọi đề Phần III. Chìa khóa: số cực trị phụ thuộc số nghiệm của phương trình f'(x)=0.
HÀM BẬC 3 · CÓ 0 HOẶC 2 CỰC TRỊ
Cho y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d với a\text{ khác } 0. Khi đó y'=3ax^{2}+2bx+c là phương trình bậc 2.
Có 2 cực trị khi và chỉ khi y'=0 có 2 nghiệm phân biệt:
\Delta_{y'}\gt 0
Không có cực trị (đơn điệu trên \mathbb{R}) khi y'=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm:
\Delta_{y'}\le 0
HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG · CÓ 1 HOẶC 3 CỰC TRỊ
Cho y=ax^{4}+bx^{2}+c với a\text{ khác } 0. Khi đó:
y'=4ax^{3}+2bx=2x(2ax^{2}+b)
y'=0 luôn có nghiệm x=0. Nghiệm khác 0: x^{2}=-\dfrac{b}{2a}.
Có 3 cực trị (2 nghiệm khác 0 tồn tại):
ab\lt 0
Có 1 cực trị (chỉ nghiệm x=0):
ab\ge 0
TÓM TẮT SỐ CỰC TRỊ
Hàm bậc 3 (y=ax^{3}+\ldots): số cực trị luôn thuộc \{0;2\}.
\Delta_{y'}\gt 0 → 2 cực trị.
\Delta_{y'}\le 0 → 0 cực trị.
Hàm bậc 4 trùng phương (y=ax^{4}+bx^{2}+c): số cực trị luôn thuộc \{1;3\}.
ab\lt 0 → 3 cực trị.
ab\ge 0 → 1 cực trị.
MẸO · KIỂM TRA CỰC TRỊ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
Chỉ cần nhìn dấu của tích a\cdot b:
y=x^{4}-2x^{2}+3: a=1,b=-2, ab=-2\lt 0 → 3 cực trị .
y=x^{4}+x^{2}+1: a=1,b=1, ab=1\gt 0 → 1 cực trị .
y=-x^{4}+2x^{2}: a=-1,b=2, ab=-2\lt 0 → 3 cực trị .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 05 · KHÁI NIỆM 5 · CỰC TRỊ VỚI THAM SỐ
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 05 · Tính đơn điệu và cực trị
10 /13
05 KHÁI NIỆM 2/2
Bài mẫu · Tìm m để hàm có 2 cực trị
Dạng cổ điển: lập biệt số \Delta theo m, giải bất phương trình \Delta\gt 0.
BÀI MẪU · HÀM BẬC 3 CÓ 2 CỰC TRỊ 5 BƯỚC
Đề: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số y=x^{3}+3mx^{2}+3mx+1 có 2 cực trị.
BƯỚC 1 Tính đạo hàm: y'=3x^{2}+6mx+3m.
BƯỚC 2 Điều kiện có 2 cực trị: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt, tức \Delta_{y'}\gt 0.
BƯỚC 3 Chia 3 cả hai vế: y'=0 khi x^{2}+2mx+m=0. Biệt số thu gọn: \Delta'=m^{2}-m.
BƯỚC 4 Giải bất phương trình \Delta'\gt 0: m^{2}-m\gt 0, tức m(m-1)\gt 0.