🔥 [TOÁN 12 · CHUYÊN ĐỀ] Skill Nước Dâng — Related Rates Từ Hình Học Đến Đạo Hàm
Masterclass Toán 12 về tốc độ liên hệ: dV/dt=A(h)·dh/dt, tam giác đồng dạng, nón–trụ–chóp cụt–bể dốc–vật cản, 10 bài nguồn được kiểm chứng và hơn 32 đơn vị…
LUKATO AI · CALCULUS LAB · TOÁN 12
SKILL NƯỚC DÂNG
Related rates cho bình, bể bơi, hình nón, chóp cụt và vật cản: biến hình học thành diện tích mặt cắt, rồi khóa tốc độ bằng một công thức duy nhất.
dV/dt = A(h)·dh/dt Tam giác đồng dạng Thể tích từng đoạn 10 bài nguồn kiểm chứng SVG hình học tự dựng
Nguyên tắc biên tập: lời giải được tính lại độc lập. Dữ kiện mâu thuẫn, hình bị cắt và giả thiết ngầm của ảnh nguồn đều được nêu rõ, không che giấu.
↑ Mục lục
01 · Công thức lõi02 · Hình học mặt cắt03 · Giải đề nguồn04 · Kiểm lỗi nguồn05 · Luyện tập06 · Vận dụng cao07 · Rubric08 · Ma trận đáp án
01 · Universal engine
Một công thức đứng sau mọi bài nước dâng
Trong khoảng mà hình dạng mặt cắt không đổi kiểu, một lớp nước mỏng độ cao dh có thể tích xấp xỉ A(h)dh.
dV = A(h)·dh ⇒ dV/dt = A(h)·dh/dt ⇒ dh/dt = (dV/dt)/A(h)
BƯỚC 1
Chọn h
Đo thẳng đứng từ đáy đang chứa nước, trừ khi đề hỏi tốc độ dọc cạnh nghiêng.
BƯỚC 2
Tìm A(h)
Diện tích lát cắt ngang tại đúng cao độ h, không phải diện tích đáy cố định nếu bình loe.
BƯỚC 3
Giữ đơn vị
Đổi L ↔ m^{3} ↔ dm^{3} ↔ cm^{3} trước khi thay.
BƯỚC 4
Gắn dấu
Bơm vào: dV/dt>0. Tháo ra: dV/dt<0.
Ý nghĩa vật lí: cùng một lưu lượng, mặt cắt càng nhỏ thì mặt nước dâng càng nhanh. Mọi hình phức tạp cuối cùng đều quy về “lưu lượng chia diện tích mặt nước”.
Đơn vị phải khóa trước khi vi phân
Đổi đơn vị · Đẳng thức · Bẫy
Thể tích · 1 L = 1 dm^{3} = 1000 cm^{3} = 10 −3 m^{3} · 1 L không phải 1 m^{3}
Độ dài · 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm · Đổi tốc độ sau cùng phải nhân đúng hệ số
Thời gian · 1 min = 60 s · L/s và m^{3}/min không được trộn
Dấu · Q in >0; Q out <0 · “Tốc độ giảm” thường hỏi độ lớn dương; đạo hàm có dấu âm
02 · Geometry translator
Từ hình vẽ đến diện tích mặt cắt A(h)
Hình trụ / lăng trụ
A(h)=A đáy ⇒ dh/dt=Q/A đáy
A không đổi nên h tăng tuyến tính theo thời gian.
Hình nón
r/h=R/H ⇒ A(h)=\pi(R/H)^{2}h^{2}
Gần đỉnh, A rất nhỏ nên nước dâng rất nhanh.
Chóp vuông
s/h=S/H ⇒ A(h)=(S/H)^{2}h^{2}
Thay \pir^{2} bằng s^{2}; cấu trúc h^{2} giống hình nón.
Chóp cụt
s(h)=s₀+(s₁−s₀)h/H, A(h)=s(h)^{2}
Cạnh lát cắt biến thiên tuyến tính; diện tích biến thiên bậc hai.
Đạo hàm thể tích hay dùng công thức A(h)?
Nếu V(h) đã biết, ta có dV/dh=A(h) theo định lí lớp mỏng. Vì vậy có thể tránh khai triển thể tích dài. Tuy nhiên khi đề cho thời điểm t, phải tích phân A(h) để tìm h từ V=Qt trước.
Đề cho h
Chỉ cần A(h), rồi lấy Q/A(h).
Đề cho t
Tính V=Qt, giải ∫₀ʰA(y)dy=V để tìm h.
Đề hỏi dọc cạnh
Tính dh/dt thẳng đứng trước, rồi dùng hệ số độ dài ds/dh.
03 · Full source solutions
Giải toàn bộ bài nguồn nhìn thấy
Thứ tự theo mạch chuyên đề, không theo tên file ảnh. Những câu thiếu dữ kiện được tách riêng ở mục kiểm lỗi.
CÂU 1 · BÌNH HOA
Số điểm cực trị của d′(t)
Bơm nước với lưu lượng Q không đổi vào bình có tiết diện ngang A(d). Khi đó d′(t)=Q/A(d). Hình bình cho thấy khi đi từ đáy lên: tiết diện tăng đến bụng lớn, giảm đến cổ hẹp, rồi tăng về miệng.
Kết quả theo hình trơn đã cho: 2 điểm cực trị trong. d′ có một cực tiểu tại bụng rộng nhất và một cực đại tại cổ hẹp nhất. Đây là kết luận định tính; không thể xác định tọa độ hay giá trị cực trị nếu không có phương trình biên bình.
CÂU 2 · NÓN NGƯỢC
R=2 m, H=4 m, Q=2 m^{3}/min; tìm dh/dt khi h=3 m
Đồng dạng: r/h=2/4=1/2 ⇒ r=h/2.
A(h)=\pir^{2}=\pih^{2}/4.
dh/dt=2/(\pih^{2}/4)=8/(\pih^{2}).
Tại h=3: dh/dt=8/(9\pi)≈0,28294 m/min≈0,28 m/min.
CÂU 3 · BỂ BƠI ĐÁY DỐC
25 m \times 8 m, sâu 1–2 m; Q=1 m^{3}/min; lúc 8:36 tìm a nếu dh/dt=1/a
Trong 36 phút, V=36 m^{3}. Chênh độ sâu là 1 m trên chiều dài 25 m. Vì mực nước còn dưới đáy đầu nông, tiết diện dọc là tam giác: chiều dài phần ướt x=25h.
V = (1/2)·x·h·8 = (1/2)·25h·h·8 = 100h^{2}
100h^{2}=36 ⇒ h=0,6 m. Vi phân: dV/dt=200h·dh/dt.
1=200·0,6·dh/dt ⇒ dh/dt=1/120 m/min, nên a=120. Kiểm tra miền: h=0,6<1, đúng là nước chưa chạm đáy đầu nông.
BÀI GHÉP · TRỤ + LOE NÓN
So sánh tốc độ nước tại A (cao 6 m) và B (cao 2 m)
Phần trụ có bán kính 2 m đến cao 3 m. Phần loe từ bán kính 2 m ở z=3 đến bán kính 6 m ở z=9. Tại z=6, bán kính nội suy tuyến tính là 4 m.
v A /v B = (Q/A A )/(Q/A B ) = A B /A A = (4\pi)/(16\pi) = 1/4
v A /v B =1/4. Ở A mặt cắt rộng gấp 4 nên nước dâng chậm bằng 1/4.
BỂ MẶT CẮT HÌNH THANG
Dài 5 m, cao 1,25 m; Q=1 L/s; h=0,5 m; tốc độ dọc cạnh trái
Từ hình: đáy dưới dài 6 m, đáy trên dài 4 m; bề rộng lát cắt tại cao y là w(y)=6−(2/1,25)y=6−1,6y. Tại h=0,5, w=5,2 m. Diện tích mặt nước A=5·5,2=26 m^{2}. Q=0,001 m^{3}/s.
dh/dt = 0,001/26 = 3,84615\times10^{-5} m/s = 0,03846 mm/s
Cạnh trái lệch ngang 1 m khi cao 1,25 m, nên ds/dh=√(1+(1/1,25)^{2})=√1,64≈1,280625.
ds/dt≈0,03846\times1,280625=0,04925 mm/s≈0,05 mm/s. Nếu đề chỉ hỏi tốc độ thẳng đứng thì đáp án là 0,03846 mm/s; cụm “theo cạnh bên trái” yêu cầu tốc độ dọc cạnh.
CHÓP CỤT VUÔNG LỚN
Đáy dưới 5 m, miệng trên 10 m, H=20 m; Q=75 m^{3}/min; sau 5 phút
Theo hình, cạnh mặt cắt tại cao h: s(h)=5+(10−5)h/20=5+h/4. Sau 5 phút, V=375 m^{3}.
V(h)=∫₀ʰ(5+y/4)^{2}dy = 25h + (5/4)h^{2} + h^{3}/48
Giải V(h)=375 trong [0,20] cho h≈9,624960684 m . Khi đó s≈7,406240171 m, A=s^{2}.
dh/dt=75/(5+h/4)^{2}≈1,367305878 m/min≈1,4 m/min nếu làm tròn đến hàng phần mười.
THÙNG CHÓP CỤT CHỮ NHẬT
Miệng 124\times88 cm, cao 60 cm, cạnh bên 66 cm; Q=20 L/min; h=25 cm
Diễn giải chuẩn của hình chóp cụt: hai đáy là các hình chữ nhật đồng dạng, đồng tâm và song song. Độ lệch ngang của một đỉnh tương ứng là √(66^{2}−60^{2})=√756≈27,49545 cm. Gọi tỉ số đáy nhỏ/đáy lớn là k.
((1−k)/2)·√(124^{2}+88^{2})=√756 ⇒ k≈0,638342914
Đáy dưới: 79,15452\times56,17418 cm. Tại h=25 cm, kích thước nội suy là 97,84014\times69,43494 cm, nên A≈6793,91 cm^{2}. Q=20 L/min=20 000 cm^{3}/min.
dh/dt=20000/A≈2,94398 cm/min≈2,94 cm/min. Kết quả này phụ thuộc giả thiết hai đáy đồng dạng–đồng tâm, là giả thiết chuẩn của “hình chóp cụt”.
BỂ TRỤ CÓ KHỐI NÓN ĐẶC
R=6 dm; nón r=3 dm, H=5 dm; Q=0,5 L/min; sau 40 phút
Nón đặc đặt đáy ở đáy bể, đỉnh ở cao 5 dm. Ở cao y, bán kính nón còn lại là ρ(y)=3(1−y/5). Diện tích nước tự do:
A(y)=36\pi−9\pi(1−y/5)^{2}
Thể tích nước sau 40 phút là 20 L=20 dm^{3}. Với h<5:
V(h)=∫₀ʰA(y)dy=\pi(27h+9h^{2}/5−3h^{3}/25)=20
Nghiệm vật lí: h≈0,232244928 dm. Tại đây A≈87,3886278 dm^{2}.
dh/dt=0,5/A≈0,005721568 dm/min=0,05721568 cm/min≈0,06 cm/min.
CHÓP VUÔNG NGƯỢC
H=9 cm, cạnh miệng 6 cm; Q=2 cm^{3}/s; h=3 cm
Đồng dạng: s/h=6/9=2/3 ⇒ s=2h/3. Diện tích mặt nước A=s^{2}=4h^{2}/9.
dh/dt=2/(4·3^{2}/9)=2/4=0,50 cm/s. Có thể kiểm tra bằng V=(1/3)s^{2}h=4h^{3}/27.
CHÓP CỤT VUÔNG ĐANG THÁO NƯỚC
Đáy dưới 4 m, đáy trên 2 m, H=2 m; dV/dt=−1,8 m^{3}/min; h=1 m
Hình hẹp dần khi lên: s(h)=4−h, nên A(h)=(4−h)^{2}. Tại h=1, A=9 m^{2}.
dh/dt=−1,8/9=−0,20 m/min. Mực nước đang hạ với độ lớn 0,20 m/min. Ảnh hỏi “dâng lên” dù đang tháo nước; phải giữ dấu âm để đúng vật lí.
04 · Source integrity
Biên bản lỗi, phần cắt và giả thiết ngầm
Vị trí · Vấn đề nguồn · Xử lí chuẩn
Bình hoa · Không có phương trình biên hay tỉ lệ chính xác. · Chỉ kết luận định tính 2 cực trị theo đường biên trơn trong hình; không bịa giá trị.
Bể mặt cắt hình thang · Câu hỏi dùng “theo cạnh bên trái”, dễ bị làm như tốc độ thẳng đứng. · Tính cả dh/dt=0,03846 mm/s và ds/dt≈0,05 mm/s; khóa đáp án dọc cạnh.
Chóp cụt chữ nhật · Đáy nhỏ không ghi số trực tiếp. · Dùng định nghĩa hình chóp cụt: hai đáy đồng dạng, cạnh bên bằng nhau; suy k từ cạnh 66 và cao 60. Nếu cấu trúc không đồng tâm/đồng dạng thì dữ kiện thiếu.
Bể trụ + nón · Văn bản ghi bể cao 5 dm, hình trang trí bên trái ghi 7 dm; hình mô hình bên phải ghi 5 dm. · Sau 40 phút h≈0,232 dm nên chưa gần đỉnh; kết quả tốc độ không phụ thuộc phần cao dư 5 hay 7 dm. Dùng H nón=5 dm theo văn bản.
Chóp cụt tháo nước · Đang tháo 1,8 m^{3}/min nhưng hỏi tốc độ “dâng lên”. · Đạo hàm có dấu −0,20 m/min; độ lớn hạ xuống là 0,20 m/min.
Bài tập về nhà 1 · Chỉ thấy câu mở “rót nước vào chiếc cốc mạ vàng…”, hình/dữ kiện nằm ngoài ảnh. · Không dựng đề, không chấm đáp án.
Câu 5 trang chóp cụt lớn · Hình minh họa nằm ở đầu trang kế tiếp, dễ tách nhầm khỏi câu. · Ghép đúng sơ đồ 124\times88, cao 60, cạnh bên 66 với bài thùng chữ nhật.
Nguyên tắc kiểm chứng: một lời giải có số đẹp vẫn có thể sai nếu chọn nhầm chiều cao, diện tích mặt cắt, dấu lưu lượng hoặc tốc độ dọc cạnh. Mỗi đáp án ở đây đều có kiểm tra miền hình học và đơn vị.
05 · Deliberate practice
Luyện tập 24 đơn vị có đáp án
A. 12 câu trắc nghiệm khái niệm
1. Bình có A(h)=20+4h (cm^{2}), bơm Q=60 cm^{3}/s. Khi h=5 cm, dh/dt?
A=40 cm^{2} ⇒ dh/dt=1,5 cm/s.
2. Cùng lưu lượng, tại vị trí A có diện tích gấp 3 vị trí B. Tỉ số v A /v B ?
1/3. Tốc độ cao tỉ lệ nghịch diện tích mặt cắt.
3. Hình trụ bán kính 2 m, Q=\pi m^{3}/min. dh/dt?
A=4\pi ⇒ 1/4 m/min.
4. Hình nón có R/H=1/3. Biểu thức A(h)?
r=h/3 ⇒ A=\pih^{2}/9.
5. Khi tháo nước, dấu của dh/dt?
Âm nếu h đo từ đáy lên.
6. 3 L/min bằng bao nhiêu cm^{3}/min?
3000 cm^{3}/min.
7. Vì sao h tăng không tuyến tính trong hình nón?
A(h)∝h^{2} tăng theo h, nên dh/dt=Q/A(h) giảm theo h.
8. Đề cho t thay vì h, bước bổ sung là gì?
Tính V=Qt và giải phương trình V(h)=Qt để tìm h trước.
9. Tốc độ dọc cạnh nghiêng luôn bằng dh/dt?
Không. ds/dt=(ds/dh)dh/dt; ds/dh>1 nếu cạnh nghiêng.
10. Có thể lấy diện tích toàn phần bình làm A(h)?
Không. A(h) là diện tích lát cắt ngang của mặt nước.
11. Với vật cản chìm, A(h) phải sửa thế nào?
A tự do =A bể −A vật cản tại h .
12. Khi qua một bậc hình học, dh/dt có thể gián đoạn?
Có. Nếu A(h) nhảy đột ngột; thể tích và h vẫn liên tục.
B. 12 mệnh đề Đúng/Sai
# · Mệnh đề · Kết luận · Giải thích
1 · Q không đổi thì dh/dt luôn không đổi. · Sai · Chỉ đúng khi A(h) không đổi.
2 · Trong nón, r và h biến thiên cùng tỉ lệ. · Đúng · Do tam giác đồng dạng.
3 · dV/dh=A(h). · Đúng · Nguyên lí lớp mỏng.
4 · 1 L/s=1 m^{3}/s. · Sai · Bằng 0,001 m^{3}/s.
5 · Trong bình loe, nước thường dâng chậm dần. · Đúng · A(h) tăng theo h.
6 · Trong bình thắt cổ, dh/dt có thể đạt cực đại. · Đúng · A nhỏ nhất tại cổ.
7 · Tháo nước 2 m^{3}/min nghĩa dV/dt=2. · Sai · Nếu chỉ có dòng ra thì dV/dt=−2.
8 · Vật cản làm nước dâng nhanh hơn tại cùng h và Q. · Đúng · Nó giảm diện tích tự do.
9 · Tốc độ theo cạnh xiên nhỏ hơn tốc độ thẳng đứng. · Sai · Với cùng tăng cao, quãng đường dọc cạnh lớn hơn.
10 · Nếu biết h, luôn cần tính V(h) trước. · Sai · Có thể dùng trực tiếp Q=A(h)dh/dt.
11 · Nghiệm h phải kiểm tra thuộc chiều cao bình. · Đúng · Nghiệm ngoài miền là vô nghĩa vật lí.
12 · Hình vẽ chỉ minh họa nên có thể bỏ qua. · Sai · Nhiều bài giấu hướng loe, chiều dài và giả thiết trong hình.
06 · Advanced lab
8 bài vận dụng cao — lời giải theo mô hình
VDC 1
Nón có R=3, H=6, bơm Q=2\pi. Khi nào dh/dt=1/2?
r/h=1/2 ⇒ A=\pih^{2}/4. 2\pi=(\pih^{2}/4)(1/2) ⇒ h^{2}=16 ⇒ h=4. Thể tích V=\pih^{3}/12=16\pi/3. Thời gian t=V/Q=8/3 phút.
t=8/3 phút.
VDC 2
Trụ bán kính 4 có nón đặc đồng trục, bán kính vật cản giảm tuyến tính từ 2 tại đáy về 0 ở cao 4. Viết A(h).
A(h)=16\pi−\pi[2(1−h/4)]²=16\pi−4\pi(1−h/4)^{2} , với 0\leh\le4. Trên h=4, A=16\pi.
VDC 3
Bể chóp cụt vuông có s(0)=4, s(6)=10. Q=18. Tìm dh/dt tại h=2.
s(h)=4+h. A(2)=36.
dh/dt=18/36=0,5 đơn vị chiều dài/phút.
VDC 4
Một máng dài 10 m có tiết diện tam giác cân cao 2 m, rộng miệng 4 m. Q=0,8 m^{3}/min; h=1 m.
Bề rộng mặt nước w=2h. A mặt nước ngang của khối nước là dài\timesrộng=10·2h=20h.
dh/dt=0,8/(20·1)=0,04 m/min.
VDC 5
Bể đáy dốc dài L, rộng W, chênh sâu Δ. Khi h<Δ, lập công thức tổng quát.
Độ dài phần ướt x=Lh/Δ. V=(1/2)x·h·W=LW h^{2}/(2Δ).
dh/dt=QΔ/(LW h). Sau khi h\geΔ, công thức đổi vì toàn đáy đã ướt.
VDC 6
Bình có A(h)=10+6h−h^{2} trên 0\leh\le5, Q=30. d′(t) cực trị ở đâu?
d′=30/A. A′=6−2h=0 tại h=3; A đạt cực đại vì A″=−2.
d′ đạt cực tiểu tại h=3. Không có cực đại trong miền trong; cực đại toàn cục phải so ở biên.
VDC 7
Hai bơm vào 3 và 2 L/min, một van xả 1,2 L/min; bể trụ diện tích 400 cm^{2}. dh/dt?
Q thuần=3+2−1,2=3,8 L/min=3800 cm^{3}/min.
dh/dt=3800/400=9,5 cm/min.
VDC 8
Ở một bình, d′=2 cm/s khi Q=80 cm^{3}/s. Tìm diện tích mặt cắt và tốc độ mới nếu Q giảm 25%.
A=Q/d′=40 cm^{2}. Q mới=60 cm^{3}/s.
A=40 cm^{2}; d′ mới=1,5 cm/s tại cùng cao độ.
20 ca lâm sàng toán học — nhận dạng đúng trước khi tính
CA 01 · TRỤ
Bồn trụ đường kính 3 m nhận 900 L/min. Tìm tốc độ dâng theo cm/min.
R=1,5 m, Q=0,9 m^{3}/min. A=2,25\pi m^{2}. h′=0,9/(2,25\pi)=0,4/\pi m/min.
h′=40/\pi≈12,73 cm/min. Đổi m/min sang cm/min ở bước cuối.
CA 02 · NÓN