CHỦ ĐỀ 19 - Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
Quan hệ vuông góc đường-mặt, mặt-mặt và định lý ba đường vuông góc; góc giữa đường thẳng-mặt phẳng và giữa hai mặt phẳng; khoảng cách điểm-mặt phẳng và hai…
Chủ đề 19
1234
5678
9101112
13141516
17181920
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
01 /20
CHỦ ĐỀ 19
Quan hệ vuông góc và Thể tích khối đa diện (Hình học không gian tổng hợp)
Đường vuông góc mặt phẳng · Góc & khoảng cách trong không gian · Thể tích khối chóp, khối lăng trụ — giải bằng phương pháp tổng hợp, KHÔNG dùng tọa độ Oxyz
Đây là mảng kiến thức nền tảng cổ điển của hình học không gian — nơi em chứng minh và tính toán chỉ bằng hình vẽ, định lý và tam giác vuông , không cần đặt hệ trục tọa độ. Đây cũng là dạng bài xuất hiện dày đặc ở Phần II (Đúng/Sai) và Phần III (Trả lời ngắn) của đề thi THPTQG.
Trong 10 phút mỗi ngày , em sẽ làm chủ 6 kỹ năng cốt lõi: nhận diện quan hệ vuông góc, dựng và tính góc, dựng và tính khoảng cách, và tính thể tích khối đa diện trong mọi tình huống đề bài.
ĐỐI TƯỢNG
Lớp 11-12 THPTQG 2026
THỜI LƯỢNG
10 phút/ngày chia làm 6-7 buổi
SỐ TRANG
20 trang 7 kỹ năng + 15 bài tập
HÔM NAY EM SẼ HỌC
Bảy kỹ năng cốt lõi
Kèm 15 bài tập tự luyện có đáp số
Quan hệ vuông góc Đường-mặt · Mặt-mặt · Định lý 3 đường vuông góc
TR.02-03
Góc đường thẳng & mặt phẳng Định nghĩa · Quy trình 3 bước
TR.04-05
Góc giữa hai mặt phẳng Góc nhị diện · Cách dựng góc phẳng
TR.06-07
Khoảng cách điểm – mặt phẳng Dựng trực tiếp · Phương pháp thể tích
TR.08-09
Khoảng cách hai đường chéo nhau Đoạn vuông góc chung · Mặt phẳng song song
TR.10-11
Thể tích khối chóp & lăng trụ Đáy & độ nghiêng đa dạng
TR.12-13
Chiến lược làm bài 3 Phần Nhận biết · Thông hiểu · Vận dụng
TR.14
15 bài tập + đáp số + tổng kết 3 mức độ tăng dần
TR.15-20
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
study.thptai.kr
Daily Concept Paper Series · Toán · Vật Lí · Hóa · Sinh · Tiếng Anh
TRUY CẬP NGAY
Học 10 phút mỗi ngày Luyện thi THPTQG · HSA · TSA · V-ACT
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
DAILY CONCEPT PAPER · VIETNAMESE HIGH SCHOOL
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
02 /20
01 KHÁI NIỆM 1/2
Đường vuông góc mặt phẳng · Hai mặt phẳng vuông góc
Nền tảng của toàn bộ chương. Đây là điều kiện em sẽ phải KIỂM TRA trước mọi bài toán góc, khoảng cách, thể tích.
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) , kí hiệu d\perp(P), nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
Dấu hiệu nhận biết không cần kiểm tra "mọi" đường thẳng
Định lý (dấu hiệu chuẩn): Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a,b cùng nằm trong (P) thì d\perp(P).
Hệ quả hay dùng: Nếu d\perp(P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong hoặc song song với (P) — kể cả những đường chưa vẽ ra.
Hai mặt phẳng vuông góc — định nghĩa: (P)\perp(Q) nếu góc giữa (P) và (Q) bằng 90^\circ.
Dấu hiệu hay dùng nhất: Nếu (P) chứa một đường thẳng d mà d\perp(Q) thì (P)\perp(Q).
DẤU HIỆU d\perp(P) · MINH HỌA TRỰC QUAN
d\perp a,\; d\perp b (a,b cắt nhau tại H, nằm trong (P)) \;\Rightarrow\; d\perp(P)
⚠ SAI LẦM HAY GẶP
Chỉ kiểm tra d vuông góc với một đường thẳng trong (P) rồi kết luận d\perp(P) — SAI . Bắt buộc phải là hai đường thẳng cắt nhau .
Ví dụ: d có thể vuông góc với một đường thẳng a trong (P) mà vẫn nằm ngang trong (P) luôn (khi d\perp a nhưng d\subset(P)) — không hề vuông góc với cả mặt phẳng.
BÀI MẪU · ÁP DỤNG DẤU HIỆU MẶT-MẶT VUÔNG GÓC LĂNG TRỤ ĐỨNG
Đề: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A. Chứng minh (ABB'A')\perp(ABC) và (ACC'A')\perp(ABC).
BƯỚC 1 Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên cạnh bên AA'\perp mặt đáy (ABC) (định nghĩa lăng trụ đứng).
BƯỚC 2 Mặt phẳng (ABB'A') chứa đường thẳng AA', mà AA'\perp(ABC).
BƯỚC 3 Theo dấu hiệu số 4: (ABB'A')\perp(ABC). Lập luận tương tự với (ACC'A') (cũng chứa AA').
Kết luận: (ABB'A')\perp(ABC) và (ACC'A')\perp(ABC) — đúng với MỌI lăng trụ đứng, không cần đáy vuông tại A.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 19 · KHÁI NIỆM 1 · DẤU HIỆU VUÔNG GÓC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
03 /20
01 KHÁI NIỆM 2/2
Định lý ba đường vuông góc
Công cụ mạnh nhất để "chuyền" quan hệ vuông góc từ mặt đáy lên các mặt bên.
ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Cho đường thẳng a không vuông góc với (P), gọi a' là hình chiếu vuông góc của a trên (P). Với đường thẳng b bất kỳ nằm trong (P):
b\perp a \;\Longleftrightarrow\; b\perp a'
Nói cách khác: muốn kiểm tra b có vuông góc với đường xiên a hay không, chỉ cần kiểm tra b có vuông góc với bóng a' của a hay không — dễ hơn rất nhiều vì a' nằm ngay trong (P).
VÍ DỤ 1 · TỪ SA⊥ĐÁY SUY RA 3 QUAN HỆ 3 Ý
Đề: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA\perp(ABCD). Chứng minh: a) BC\perp(SAB); b) CD\perp(SAD); c) BD\perp(SAC).
Ý A BC\perp AB (đáy vuông) và BC\perp SA (vì SA\perp đáy). Mà AB,SA cắt nhau trong (SAB) \Rightarrow BC\perp(SAB).
Ý B CD\perp AD (đáy vuông) và CD\perp SA. Mà AD,SA cắt nhau trong (SAD) \Rightarrow CD\perp(SAD).
Ý C BD\perp AC (hai đường chéo hình vuông) và BD\perp SA. Mà AC,SA cắt nhau trong (SAC) \Rightarrow BD\perp(SAC).
Ba kết quả này là "bộ ba công cụ" dùng lại xuyên suốt cả chương — hãy thuộc lòng cách suy luận, không chỉ kết quả.
HÌNH CHÓP S.ABCD, SA\perp ĐÁY · HÌNH THAM CHIẾU
SA\perp(ABCD), ABCD là hình vuông — hình tham chiếu dùng lại nhiều lần trong chủ đề này
VÍ DỤ 2 · TÌM CHÂN ĐƯỜNG VUÔNG GÓC BẰNG ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 3 BƯỚC
Đề: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, SA\perp(ABC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh AH\perp(SBC).
BƯỚC 1 BC\perp AB (giả thiết vuông tại B) và BC\perp SA (vì SA\perp(ABC)) \Rightarrow BC\perp(SAB). Mà AH\subset(SAB) nên BC\perp AH.
BƯỚC 2 Theo cách dựng, AH\perp SB (giả thiết H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SB).
BƯỚC 3 AH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SB và BC, cả hai đều nằm trong (SBC).
Theo dấu hiệu nhận biết: AH\perp(SBC) — kỹ thuật này sẽ được dùng lại để tính khoảng cách d(A,(SBC)) ở Khái niệm 4.
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 19 · KHÁI NIỆM 1 · ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
04 /20
02 KHÁI NIỆM 1/2
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Một quy trình 3 bước áp dụng được cho mọi bài, không cần nhớ nhiều công thức.
Nếu d\perp(P) thì góc giữa d và (P) bằng 90^\circ. Nếu d không vuông góc với (P) thì góc giữa d và (P) là góc giữa d và hình chiếu vuông góc d' của d trên (P). Góc này luôn nằm trong đoạn [0^\circ;90^\circ].
Quy trình 3 bước
Xác định giao điểm O của d với (P) (nếu d chưa cắt (P), kéo dài).
Tìm hình chiếu: chọn một điểm M trên d (M\ne O), hạ MH\perp(P) tại H. Khi đó OH chính là hình chiếu d'.
Kết luận: góc giữa d và (P) chính là \widehat{MOH}, tính trong tam giác vuông MHO (vuông tại H) bằng \tan(\widehat{MOH})=\dfrac{MH}{OH}.
MẸO CHỌN ĐIỂM M
Luôn chọn M trùng với đỉnh mà đề bài đã cho biết đường cao (ví dụ đỉnh S khi SA\perpđáy) — khi đó H chính là chân đường cao A, không cần dựng thêm.
GÓC GIỮA SC VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY (ABCD)
Hình chiếu của SC trên đáy là AC (vì A là chân đường cao) — góc cần tìm là \widehat{SCA}
VÍ DỤ 1 · TRƯỜNG HỢP CƠ BẢN — HÌNH CHIẾU LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO 4 BƯỚC
Đề: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\perp(ABCD), SA=a\sqrt6. Tính góc giữa SC và mặt phẳng đáy (ABCD).
BƯỚC 1 SC cắt đáy tại C. Vì SA\perp(ABCD) nên hình chiếu của S trên đáy là A \Rightarrow hình chiếu của SC là AC.
BƯỚC 2 Góc cần tìm là \widehat{SCA}, xét trong tam giác vuông SAC (vuông tại A).
BƯỚC 3 AC là đường chéo hình vuông cạnh a: AC=a\sqrt2. Do đó \tan(\widehat{SCA})=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{a\sqrt6}{a\sqrt2}=\sqrt3.
BƯỚC 4 \tan(\widehat{SCA})=\sqrt3 \Rightarrow \widehat{SCA}=60^\circ.
Góc giữa SC và (ABCD) bằng 60^\circ — đã kiểm chứng bằng SymPy (xem báo cáo).
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 19 · KHÁI NIỆM 2 · GÓC ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
05 /20
02 KHÁI NIỆM 2/2
Hai biến thể khó hơn
Khi mặt phẳng không phải là đáy, và khi đỉnh không nằm trên một cạnh đáy.
VÍ DỤ 2 · MẶT PHẲNG KHÔNG PHẢI ĐÁY DÙNG ĐL 3 ĐƯỜNG ⊥
Đề: S.ABCD đáy vuông cạnh a, SA\perp(ABCD), SA=a\sqrt2. Tính góc giữa SC và (SAB).
B1 Ở Khái niệm 1 đã chứng minh BC\perp(SAB) \Rightarrow hình chiếu của C trên (SAB) chính là B. Vậy hình chiếu của SC là SB.
B2 Góc cần tìm là \widehat{CSB}, xét tam giác vuông SBC (vuông tại B vì BC\perp(SAB)\Rightarrow BC\perp SB).
B3 SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt3. \tan(\widehat{CSB})=\dfrac{BC}{SB}=\dfrac{a}{a\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}.
\widehat{CSB}=30^\circ — góc giữa SC và (SAB) bằng 30^\circ .
CHÓP TAM GIÁC ĐỀU S.ABC · ĐỈNH TRÊN TRỌNG TÂM G
Chóp đều: G là trọng tâm đáy, SG là đường cao — hình chiếu của cạnh bên SA là AG
VÍ DỤ 3 · CHÓP ĐỀU — HÌNH CHIẾU LÀ ĐOẠN NỐI VỚI TRỌNG TÂM 4 BƯỚC
Đề: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, chiều cao SG=a (G là trọng tâm đáy). Tính góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy.
B1 Vì chóp đều nên SG\perp(ABC), G là hình chiếu của S \Rightarrow hình chiếu của SA là AG. Góc cần tìm: \widehat{SAG}.
B2 AG là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a: AG=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{3}.
B3 Trong tam giác vuông SGA: \tan(\widehat{SAG})=\dfrac{SG}{AG}=\dfrac{a}{a\sqrt3/3}=\sqrt3.
\tan(\widehat{SAG})=\sqrt3 \Rightarrow góc giữa SA và đáy bằng 60^\circ .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 19 · KHÁI NIỆM 2 · GÓC ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
06 /20
03 KHÁI NIỆM 1/2
Góc giữa hai mặt phẳng (góc nhị diện)
Bí quyết: luôn tìm giao tuyến trước, rồi dựng hai tia vuông góc với giao tuyến đó.
Cho (P)\cap(Q)=\Delta. Lấy I\in\Delta, dựng Ix\subset(P) với Ix\perp\Delta, và Iy\subset(Q) với Iy\perp\Delta. Góc \widehat{xIy} gọi là góc phẳng của nhị diện cạnh \Delta, và chính là góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) (nếu góc đó không tù; nếu tù thì lấy góc bù).
Kỹ thuật dựng nhanh khi có cạnh bên vuông góc đáy
Tìm giao tuyến \Delta của hai mặt phẳng cần xét góc.
Tìm điểm H trong đáy sao cho AH\perp\Delta (A là chân đường cao).
Vì SA\perp đáy và AH\perp\Delta, theo định lý 3 đường vuông góc : SH\perp\Delta luôn (không cần chứng minh lại).
Góc nhị diện =\widehat{SHA}, tính bằng \tan(\widehat{SHA})=\dfrac{SA}{AH} trong tam giác vuông tại A.
GÓC GIỮA (SBC) VÀ (ABCD) · CẠNH CHUNG BC
Vì BC\perp AB và BC\perp SA nên BC\perp SB — góc nhị diện cạnh BC là \widehat{SBA}
VÍ DỤ 1 · GIAO TUYẾN TRÙNG VỚI CẠNH ĐÁY 4 BƯỚC
Đề: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\perp(ABCD), SA=a. Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
B1 Giao tuyến của (SBC) và (ABCD) là BC. Trong đáy, AB\perp BC (đáy vuông) và A là chân đường cao.
B2 Vì BC\perp AB và BC\perp SA nên BC\perp(SAB)\Rightarrow BC\perp SB. Vậy SB\perp BC ngay trong (SBC).
B3 AB\perp BC trong đáy, SB\perp BC trong (SBC) \Rightarrow góc nhị diện cạnh BC là \widehat{SBA}.
B4 Tam giác SAB vuông tại A: \tan(\widehat{SBA})=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a}{a}=1.
Góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 45^\circ .
LUKATO AI · LUKATO Edutainment
CHỦ ĐỀ 19 · KHÁI NIỆM 3 · GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
study.thptai.kr
LUKATO AI
Học 10 phút mỗi ngày · Chủ đề 19 · Quan hệ vuông góc & Thể tích khối đa diện
07 /20
03 KHÁI NIỆM 2/2
Khi giao tuyến là đường chéo
Trường hợp khó hơn: phải tự dựng AH\perp\Delta trong đáy trước khi dùng định lý 3 đường vuông góc.
VÍ DỤ 2 · GIAO TUYẾN LÀ ĐƯỜNG CHÉO BD 5 BƯỚC
Đề: S.ABCD đáy vuông cạnh a, SA\perp(ABCD), SA=\dfrac{a\sqrt6}{2}. Tính góc giữa (SBD) và (ABCD).
B1 Giao tuyến của (SBD) và (ABCD) là BD. Trong đáy, gọi H là giao điểm hai đường chéo \Rightarrow AH\perp BD (tính chất hình vuông), H là trung điểm BD.
B2 Vì AH\perp BD và SA\perp BD (do SA\perpđáy), theo định lý 3 đường vuông góc: SH\perp BD.
B3 Vậy góc nhị diện cạnh BD là \widehat{SHA}. AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt2}{2} (nửa đường chéo hình vuông).
B4 \tan(\widehat{SHA})=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{a\sqrt6/2}{a\sqrt2/2}=\sqrt3.
\widehat{SHA}=60^\circ — góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 60^\circ .
H LÀ GIAO ĐIỂM HAI ĐƯỜNG CHÉO ĐÁY
AH\perp BD trong đáy, kéo theo SH\perp BD — góc nhị diện cạnh BD là \widehat{SHA}
VÍ DỤ 3 · ĐÁY LÀ HÌNH CHỮ NHẬT CÙNG PHƯƠNG PHÁP