🎨 Tô màu lục giác · Chu trình C₆ và Burnside
Đếm tô đúng bằng 3 màu khi hai miền kề nhau khác màu và các cấu hình trùng qua phép quay 120° được đồng nhất.
THPT AI LUKATO · TOÁN TRẢ LỜI NGẮN
🎨 Tô màu lục giác · Chu trình C₆ và Burnside
Đếm tô đúng bằng 3 màu khi hai miền kề nhau khác màu và các cấu hình trùng qua phép quay 120° được đồng nhất.
NBV 2026–2027 · Trang nhìn thấy 1 câu · 1 chủ đề Lời giải độc lập Verify Gate
Chiến lược: Chuyển sáu miền thành chu trình C₆, rồi dùng bổ đề Burnside trên đúng nhóm đối xứng bảo toàn miền nhỏ–lớn.
Mô hình đồ thị và đối xứng
Vành giữa hai lục giác được chia thành 6 hình thang nhỏ–lớn xen kẽ. Dùng 3 màu, miền kề nhau khác màu. Hai cách trùng nhau sau phép quay được xem là một.
Đồ thị kề là chu trình C₆ . Vì hình thang nhỏ chỉ trùng hình thang nhỏ và hình thang lớn chỉ trùng hình thang lớn, các phép quay bảo toàn hình là 0°,120°,240° , tạo nhóm 3 phần tử.
Sơ đồ chu trình
Burnside · Đếm điểm bất động
Số tô đúng của C₆ bằng 3 màu có nhãn:
(3−1)^{6}+(3−1)=66 .
Với mỗi phép quay 120° hoặc 240°, cấu hình phải có chu kì 2: ABABAB , trong đó A\neB . Có 3·2=6 cấu hình cố định.
Theo Burnside:
N=(66+6+6)/3=26 .
26 cách
Verify Gate · Vì sao không chia cho 6?
Phép quay 60° đổi miền nhỏ thành miền lớn nên không bảo toàn đúng phân hoạch đã cho. Vì vậy nhóm tác động có 3, không phải 6 phần tử.
Nếu giả thiết là sáu miền hoàn toàn đồng dạng và hình có đối xứng 60°, bài toán sẽ khác; không được dùng kết quả đó cho hình nguồn.
PASS · nhóm quay C₃