Chuỗi phân rã phóng xạ: bảo toàn A-Z, độ hụt khối, tuổi Trái Đất
Hai phương trình bảo toàn đọc cả chuỗi U-238 xuống Pb-206, năng lượng delta m c bình phương, động học bậc nhất và đồng hồ chì-chì cho tuổi Trái Đất.
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ HÓA HỌC NÂNG CAO
BÍ QUYẾT · HÓA HỌC HẠT NHÂN
Chuỗi phân rã phóng xạ: hai định luật bảo toàn và chiếc đồng hồ của Trái Đất
Từ hai phương trình đại số, bạn đọc được cả chuỗi 14 bước từ uranium xuống chì, tính năng lượng mỗi bước giải phóng và đo được tuổi của hành tinh.
- A bảo toàn số khối
- Z bảo toàn điện tích
- Q = delta m · c 2
- N = N 0 · 2 -t/T
8 + 6
alpha + beta: U-238 → Pb-206
4,27
MeV mỗi alpha của U-238
23,9%
U-235 lúc Trái Đất hình thành
4,54
tỉ năm: tuổi Trái Đất
01
Bản chất
Đại số của phân rã: ba đại lượng không bao giờ mất
Một chuỗi phân rã trông như mê cung: hàng chục hạt nhân lạ tên, chu kì bán rã trải từ phần nghìn giây đến tỉ năm. Vậy mà để biết chuỗi đi từ đâu đến đâu, bạn chỉ cần hai con số giữ nguyên qua mọi biến đổi: tổng số nucleon A và tổng điện tích Z . Con số thứ ba, năng lượng, cho biết biến đổi ấy có tự xảy ra hay không.
1 · KHÔNG BỀN Hạt nhân quá nặng hoặc lệch tỉ lệ n/p
2 · HAI LOẠI BƯỚC alpha: nhả He-4. beta trừ: n → p
3 · HAI BẢO TOÀN A và Z hai vế bằng nhau
4 · ĐẾM BƯỚC a = (A0 - A1)/4, b = 2a - (Z0 - Z1)
5 · NĂNG LƯỢNG delta m → Q → động năng
Bước 1. Chỉ có hai loại bước
Phân rã alpha là hạt nhân nhả ra một cụm 2 proton + 2 neutron, chính là hạt nhân He-4. Số khối giảm 4, điện tích giảm 2. Phân rã beta trừ là một neutron trong hạt nhân biến thành proton, kèm theo một electron và một phản neutrino bay ra (tương tác yếu): n → p + e - + phản neutrino. Số nucleon không đổi, nhưng một hạt không mang điện đổi thành hạt mang +1, nên Z tăng 1.
alpha: 238 92 U → 234 90 Th + 4 2 He beta trừ: 234 90 Th → 234 91 Pa + 0 -1 e + phản neutrino
Vì sao A và Z phải bảo toàn
Số nucleon (baryon) và điện tích là hai đại lượng mà mọi phản ứng hạt nhân này đều giữ nguyên. Với beta trừ, electron bay ra mang điện -1 nên hạt nhân con phải mang thêm +1: bảng cân bằng điện tích là Z hạt nhân mẹ = Z hạt nhân con + (-1) ở vế sau, tức Z con = Z mẹ + 1. Electron ấy không "có sẵn" trong hạt nhân: nó được tạo ra lúc neutron biến đổi. Tia gamma chỉ mang năng lượng, không đổi A hay Z nên đại số bỏ qua nó.
Bước 2. Hai phương trình, hai ẩn
Hạt nhân mẹ (A 0 , Z 0 ) trải qua a lần alpha và b lần beta trừ thành hạt nhân con (A 1 , Z 1 ). Viết hai bảo toàn:
Số khối: A 0 = A 1 + 4a Điện tích: Z 0 = Z 1 + 2a - b
→ a = (A 0 - A 1 )/4 b = 2a - (Z 0 - Z 1 )
Insight: số 4 ở mẫu số đến từ đâu
Đổi sang hai tọa độ mới: A = N + Z và D = N - Z . Một bước alpha lấy đi 2 neutron và 2 proton: A giảm 4, còn D không đổi. Một bước beta trừ đổi 1 neutron thành 1 proton: A không đổi, D giảm 2. Vậy A chỉ đo số alpha, D chỉ đo số beta: hai bộ đếm độc lập. Từ đó a = (A 0 - A 1 )/4 và b = (D 0 - D 1 )/2 . Với U-238 → Pb-206: D đi từ 146 - 92 = 54 xuống 124 - 82 = 42, giảm 12, nên b = 6. Cùng đáp số với công thức trên, nhưng bây giờ bạn thấy vì sao hệ luôn có nghiệm duy nhất.
A0, Z0, A1, Z1 = 238, 92, 206, 82
a = (A0 - A1) // 4 ; b = 2*a - (Z0 - Z1) # 8 alpha, 6 beta
A0, Z0, A1, Z1 = 235, 92, 207, 82 # 7 alpha, 4 beta
Chạy đoạn mã trên (và kiểm tra bằng cách đi từng bước) cho: U-238 → Pb-206 gồm 8 alpha và 6 beta ; U-235 → Pb-207 gồm 7 alpha và 4 beta . Chuỗi thật còn nhiều nhánh phụ, nhưng mọi nhánh đều cho cùng tổng này, vì A và Z chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối, không phụ thuộc đường đi.
Bước 3. Kiểm tra tính hợp lệ: ba cái lọc
LỌC 1
a nguyên
A 0 - A 1 phải chia hết cho 4. U-238 → Pb-207 chênh 31: không chia hết, chuỗi không thể có nếu chỉ gồm alpha và beta trừ.
LỌC 2
a, b không âm
U-238 → W-206 (Z = 74) cho a = 8 nhưng b = -2. "Âm hai lần beta trừ" nghĩa là cần hai beta cộng hoặc bắt electron: loại bước khác.
LỌC 3
đóng sổ hai vế
Thế a, b ngược vào A và Z. Nếu sai một đơn vị là đã tính nhầm: hai phương trình chỉ có một nghiệm đúng.
Chỉ biết tổng, chưa biết thứ tự
a và b cho biết có bao nhiêu bước mỗi loại, không cho biết xen kẽ ra sao: với 8 alpha và 6 beta có tới 3003 thứ tự về mặt toán học, chỉ một vài thứ tự khớp với hạt nhân thật. Thứ tự do tính bền của từng hạt nhân quyết định (Lab 1 cho bạn tự thử).
Lab 1. Bộ dựng chuỗi trên bản đồ hạt nhân THỬ TỪNG BƯỚC
Hạt nhân xuất phát
Hạt nhân
U-238
A = N + Z
238
92
D = N - Z
54
Số alpha a
Số beta b
Mũi xanh lam: alpha (đi chéo xuống trái). Mũi vàng: beta trừ (đi chéo lên trái). Ô vàng nhạt: đồng vị bền của Tl, Pb, Bi.
Chế độ tìm số alpha, beta
Đặt đích bằng hai thanh trượt; công cụ giải hệ từ hạt nhân xuất phát ở trên và báo nghiệm duy nhất hoặc chỉ ra chỗ mâu thuẫn.
Số khối đích A' 206
Điện tích đích Z' 82
Đích
Pb-206
a = (A0 - A')/4
b = 2a - (Z0 - Z')
Bốn họ phóng xạ tự nhiên: vì sao chỉ có bốn
Alpha trừ 4 vào A, beta không đổi A. Vì thế A mod 4 là bất biến trên cả chuỗi: mỗi họ gồm các hạt nhân có A = 4n, 4n+1, 4n+2 hoặc 4n+3, và không bao giờ nhảy sang họ khác. Bốn số dư, bốn họ.
Họ
Từ → đến
a, b
Chu kì bán rã hạt nhân đầu
4n
Th-232 → Pb-208
6 và 4
1,405·10 10 năm
4n+1
Np-237 → Bi-209
7 và 4
2,144·10 6 năm: đã tắt
4n+2
U-238 → Pb-206
8 và 6
4,468·10 9 năm
4n+3
U-235 → Pb-207
7 và 4
7,04·10 8 năm
Insight: họ thứ tư "biến mất" vì phép chia
Họ 4n+1 vẫn tồn tại trong phòng thí nghiệm, nhưng ngoài thiên nhiên nó đã tắt: Trái Đất sống qua khoảng 2117 chu kì bán rã của Np-237, còn lại 2 -2117 , tức khoảng 10 -637 lượng ban đầu. Nó không bị cấm; nó chỉ hết hạn. Mỗi điểm cuối cũng đẹp: Pb-206, Pb-207, Pb-208 là ba đồng vị chì bền, còn Bi-209 bền gần như tuyệt đối.
Bước 4. Đại lượng thứ ba: năng lượng
A và Z cho biết con đường; khối lượng cho biết con đường ấy có xuống dốc hay không. Hệ sau phân rã nhẹ hơn hệ trước một lượng delta m , và phần khối lượng đã mất nằm trong động năng của các hạt bay ra:
Q = delta m · c 2 với 1 u · c 2 = 931,494 MeV (1 MeV = 1,602·10 -13 J)
Q dương nghĩa là phân rã được phép về năng lượng. Để không đếm sai electron, hãy dùng khối lượng nguyên tử (số liệu bảng tra là khối lượng nguyên tử) theo một quy tắc duy nhất: đếm electron ở hai vế .
Loại
Công thức Q (khối lượng nguyên tử M)
Vì sao
alpha
[M(mẹ) - M(con) - M(He-4)]·c 2
Mẹ Z electron; con Z-2 cộng He có 2: cân.
beta trừ
[M(mẹ) - M(con)]·c 2
Electron phát ra bù đúng electron thứ Z+1 của nguyên tử con.
beta cộng
[M(mẹ) - M(con) - 2m e ]·c 2
Phát positron và con dư một electron: mất thêm 2 m e = 1,022 MeV.
bắt electron
[M(mẹ) - M(con)]·c 2
Electron bị bắt đã có trong nguyên tử mẹ.
ĐÃ KIỂM TRA BẰNG CODE
U-238 → Th-234 + He-4
delta m = 238,050787 - 234,043600 - 4,002603 = 0,004584 u. Q = 0,004584 · 931,494 = 4,270 MeV , bằng 6,84·10 -13 J mỗi hạt nhân. Làm tròn khối lượng ở 4 chữ số thập phân thì được 4,285 MeV: sai 0,35 phần trăm chỉ vì trừ hai số gần nhau làm mất chữ số có nghĩa.
BẪY QUY TẮC
Th-234 → Pa-234 + electron
Q = (234,043600 - 234,043306) · 931,494 = 0,274 MeV . Nếu "cộng thêm khối lượng electron" vào khối lượng nguyên tử, bạn được 0,274 - 0,511 = -0,237 MeV: kết luận sai là phân rã này cấm. Electron đã nằm sẵn trong M của nguyên tử con rồi.
Phân rã
Loại
Q (MeV)
Ghi chú
U-238 → Th-234
alpha
4,270
T = 4,468·10 9 năm
U-235 → Th-231
alpha
4,678
T = 7,04·10 8 năm
Ra-226 → Rn-222
alpha
4,871
T = 1600 năm
Po-210 → Pb-206
alpha
5,408
T = 138,4 ngày
Th-234 → Pa-234
beta trừ
0,274
dùng M nguyên tử trực tiếp
F-18 → O-18
beta cộng
0,634
hiệu M là 1,656 MeV, trừ 1,022
Năng lượng chia cho ai? Động lượng quyết định
Hạt nhân mẹ gần như đứng yên nên tổng động lượng trước bằng 0, sau phân rã alpha hai hạt bay ngược chiều với động lượng bằng nhau : m a v a = m D v D . Động năng T = p 2 /2m, nên hạt nhẹ nhận phần lớn: T alpha = Q · m D /(m D + m alpha ) xấp xỉ Q · (A-4)/A .
Cùng động lượng p, động năng tỉ lệ nghịch với khối lượng. Với beta, hai hạt nhẹ cùng chia năng lượng nên electron nhận mọi giá trị từ 0 đến Q: phổ liên tục, đó là bằng chứng Pauli đưa ra để dự đoán neutrino.
Hệ quả hóa học: lực giật bẻ gãy liên kết
Th-234 chỉ nhận 0,072 MeV = 72 keV, nhưng liên kết hóa học chỉ cỡ vài eV, nhỏ hơn hàng chục nghìn lần. Mỗi lần alpha bay ra, nguyên tử con bị đẩy bật khỏi vị trí trong tinh thể và thường rời mạng. Đó là lý do khí radon thoát khỏi đá, và vì sao trong nước ngầm tỉ lệ U-234/U-238 thường lớn hơn 1: các hạt nhân bị giật ra nằm ở chỗ dễ bị nước hòa tan hơn (tác dụng giật alpha, ở mức định tính).
Thang năng lượng và đường cong liên kết
Một mol phân rã alpha của U-238 giải phóng 4,12·10 8 kJ. Một mol cacbon cháy thành CO 2 chỉ giải phóng 393,5 kJ. Tỉ số: khoảng 1,05 triệu lần . Chênh lệch ấy là chênh lệch giữa lực hạt nhân (MeV) và lực hóa học (eV). Cả chuỗi U-238 → Pb-206 + 8 He-4 giải phóng Q = 51,69 MeV (U-235 → Pb-207 + 7 He-4: 46,40 MeV).
Năng lượng liên kết trên mỗi nucleon. Phía trái đỉnh: tổng hợp tỏa năng lượng. Phía phải đỉnh: phân rã và phân hạch tỏa năng lượng. He-4 nhô lên là lí do hạt nhân nặng nhả đúng cụm này.
Hạt nhân càng gần đỉnh càng chặt. Từ tính toán khối lượng: Fe-56 có 8,7904 MeV/nucleon, Ni-62 có 8,7946 MeV/nucleon, U-238 chỉ 7,5701. Nghe trái trực giác nhưng Ni-62 mới là hạt nhân chặt nhất theo từng nucleon; Fe-56 là hạt nhân có khối lượng nguyên tử trên mỗi nucleon nhỏ nhất (0,998838 u), vì Ni-62 chứa tỉ lệ neutron cao hơn một chút, mà neutron nặng hơn nguyên tử hydro (khoảng 0,78 MeV), nên khối lượng trên nucleon của Ni-62 nhích lên.
Vì sao hạt nhân nặng phân rã alpha được
Q alpha của Fe-56 là -7,61 MeV và của Sn-120 là -4,81 MeV: nhả He-4 là con đường lên dốc, cấm. Q alpha của U-238 là +4,27 MeV vì với A lớn, đường cong đi xuống, hạt nhân con và He-4 gộp lại chặt hơn mẹ. Q dương là điều kiện cần, chưa đủ: Pb-208 có Q alpha = +0,52 MeV nhưng chu kì bán rã dài đến mức chưa ai quan sát được phân rã. Chuyện nhanh hay chậm là chuyện của hàng rào thế năng, ở phần sau.
02
Phòng thí nghiệm chính
Tung xúc xắc cho hàng nghìn hạt nhân
Không ai đoán được hạt nhân U-238 cụ thể này sẽ phân rã lúc nào. Nhưng ai cũng biết một gam uranium sẽ còn đúng một nửa sau 4,468 tỉ năm. Tính ngẫu nhiên ở mức từng hạt nhân và tính chính xác ở mức đám đông là hai mặt của một quy luật.
Không có trí nhớ, nên chỉ có một hằng số
Mỗi hạt nhân trong khoảng thời gian dt có một xác suất phân rã k·dt , và xác suất ấy không phụ thuộc hạt nhân đã tồn tại bao lâu : hạt nhân không "già đi". Với N hạt nhân độc lập: dN/dt = -kN. Nghiệm là N = N 0 e -kt . Chọn T là thời gian để N giảm còn một nửa: e -kT = 1/2, suy ra k = ln 2 / T và hai dạng viết thành một hàm duy nhất:
N = N 0 · 2 -t/T = N 0 · e -kt k = ln 2 / T hoạt độ A = k · N (đơn vị Bq: số phân rã mỗi giây)
T VÀ THỜI GIAN SỐNG TRUNG BÌNH
Thời gian sống trung bình của một hạt nhân là 1/k = 1,4427 T . Sau đúng 1/k, còn 36,8% chứ không phải 50%. T là "nửa mẫu", không phải "tuổi thọ".
ĐỔI t/T
Sau 1, 2, 3, 10 chu kì còn 50%; 25%; 12,5%; 0,098%. Để giảm 10 lần cần t = 3,32 T, vì log 2 10 = 3,322.
THANG HOẠT ĐỘ
1 g U-238 phát 1,24·10 4 Bq ; 1 g Ra-226 phát 3,66·10 10 Bq. Cùng số hạt nhân, T ngắn hơn thì k lớn hơn, hoạt độ cao hơn.
Phương pháp tìm T từ tỉ lệ hoạt độ (không cần đoán tên)
Nếu hoạt độ giảm R lần sau thời gian t thì k = ln R / t và T = t · ln 2 / ln R. Ví dụ: giảm 25 lần trong 30 ngày cho k = 0,1073 ngày -1 và T = 6,46 ngày; giảm 8 lần trong 9 ngày cho T = 3,00 ngày (đúng 3 lần giảm một nửa). Nhưng một giá trị T chưa phải là một cái tên: muốn gọi tên hạt nhân phải so T với bảng chu kì bán rã của đúng chuỗi đó và với vị trí của nó trong chuỗi (A, Z). Nếu bảng không cho và nhiều hạt nhân có T gần nhau, câu trả lời trung thực là "chưa xác định", không phải một lần đoán.
Lab 2. Mô phỏng phân rã ngẫu nhiên ĐÁM ĐÔNG LÀ CHÍNH XÁC
Số hạt nhân ban đầu
Chu kì bán rã T (giây mô phỏng) 4,0
Tốc độ
Thời gian t
0,0 giây
Còn lại N
400
Lý thuyết N0 2^(-t/T)
400,0
Lệch (độ lệch chuẩn)
0,0
T đo được
chưa tới
Vì sao chu kì bán rã không phụ thuộc nhiệt độ hay hóa học
THANG NĂNG LƯỢNG
MeV so với eV
Ở 300 K, kT = 0,0259 eV; liên kết hóa học vài eV; phân rã nhả hàng MeV. Nhiệt hay hóa học chạm vào lớp vỏ electron, không chạm vào hàng rào bên trong hạt nhân.
HẰNG SỐ HÓA HỌC
Arrhenius đi theo nhiệt độ
Phản ứng có E a = 50 kJ/mol tăng nhiệt từ 25 độ C lên 35 độ C thì nhanh gấp 1,92 lần . Phân rã hạt nhân không có năng lượng hoạt hóa đóng góp từ nhiệt.
Cơ chế alpha: xuyên hầm, không phải vượt đèo
Hạt alpha không đủ năng lượng để trèo qua hàng rào Coulomb, nó xuyên hầm lượng tử, và xác suất xuyên giảm theo hàm mũ của độ cao hàng rào so với Q. Vì thế chu kì bán rã nhạy một cách khủng khiếp với Q: U-238 có Q = 4,27 MeV, T = 1,4·10 17 giây; Po-212 có Q = 8,95 MeV (chỉ gấp 2,1 lần) nhưng T cỡ 3·10 -7 giây. Q gấp đôi, T ngắn đi khoảng 10 24 lần. Nhiệt độ ở mức hóa học không dịch Q được MeV nào.