🔥 4 SIÊU KHUNG TƯ DUY — Giải Trọn Đề Toán Thi Thử Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2027

Không học 22 câu rời rạc — học 4 khung tư duy xuyên suốt (Đạo hàm & Khảo sát hàm số, Mô hình hóa thực tế & Tối ưu hóa, Vector hóa & Tọa độ hóa không gian…

Cập nhật: 2026-09-26

Môn: Toán · Ôn thi tốt nghiệp THPT 2027

LUKATO · ĐẶC GIẢNG TOÁN 12 · ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2027

4 SIÊU KHUNG TƯ DUY — Giải Trọn Đề Toán Thi Thử Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2027

Không giải 22 câu rời rạc theo thứ tự đề bài. Bài đặc giảng này bóc tách đề thi thử THPT Quốc Gia 2027 (Đề số 03, 13/09/2026) thành 4 khung tư duy xuyên suốt — mỗi khung là một "công cụ vạn năng" có thể tái sử dụng cho hàng trăm câu hỏi khác cùng dạng, không chỉ 22 câu trong đề này. Mọi đáp số đã được kiểm chứng độc lập bằng tính toán số học chính xác (Python/SymPy), không có sai số làm tròn ẩn.

🧮 22/22 câu đã kiểm chứng bằng code

🧭 4 khung tư duy — không học theo thứ tự đề

✅ Checkpoint tự kiểm tra sau mỗi khung

🎯 Bám sát cấu trúc 3 phần đề thi 2025+

📍 Toàn cảnh đề thi

🧩 Khung 1 — Đạo hàm & Khảo sát

🏗️ Khung 2 — Mô hình hóa & Tối ưu

📐 Khung 3 — Vector & Tọa độ hóa

🔒 Khung 4 — Cấu trúc ẩn

🏆 Tổng kết & Đáp án

TOÀN CẢNH

Vì sao phải học theo khung, không học theo thứ tự đề?

Đề thi thử này gồm Phần I (12 câu trắc nghiệm 4 phương án), Phần II (4 câu đúng/sai, mỗi câu 4 mệnh đề) và Phần III (6 câu trả lời ngắn) — đúng cấu trúc kỳ thi THPT Quốc Gia từ 2025. Nhưng nếu học lần lượt Câu 1 → Câu 22, học sinh sẽ nhớ "cách giải câu này" mà quên mất kỹ năng gốc đứng sau nó. LUKATO nhóm 22 câu theo 4 khung tư duy — mỗi khung xuất hiện rải rác ở cả 3 phần đề thi, chứng minh đây là kỹ năng cốt lõi chứ không phải "mẹo riêng của một câu":

10 câu thuộc Khung 1 — Đạo hàm & Khảo sát hàm số

4 câu thuộc Khung 2 — Mô hình hóa thực tế

6 câu thuộc Khung 3 — Vector & tọa độ hóa

2 câu thuộc Khung 4 — Cấu trúc ẩn (quỹ tích & xác suất)

Cách dùng bài đặc giảng này Học đúng thứ tự Khung 1 → 2 → 3 → 4. Mỗi khung có: (1) bản chất khung tư duy, (2) toàn bộ câu hỏi liên quan được giải theo đúng khung đó, (3) checkpoint tự kiểm tra. Đừng nhảy cóc sang khung sau khi chưa làm checkpoint của khung trước.

KHUNG TƯ DUY 1 / 4

🧩 Đạo hàm & Khảo sát hàm số toàn năng

Đây là khung tư duy xuất hiện nhiều nhất trong đề (10/22 câu). Bản chất: đạo hàm là công cụ đọc vị hành vi của hàm số — biết dấu đạo hàm là biết hàm tăng/giảm ở đâu, cực trị ở đâu, GTLN-GTNN là bao nhiêu. Chỉ cần nắm chắc 4 bước dưới đây, mọi câu hỏi "khảo sát hàm số" dù ở dạng bảng biến thiên, đồ thị, hay công thức đều quy về cùng một quy trình.

f(x) → f'(x) → xét dấu f'(x) → kết luận đơn điệu / cực trị / GTLN-GTNN

NHÓM 1A

Đọc bảng biến thiên & đồ thị (không cần tính toán)

Kỹ năng: bảng biến thiên và đồ thị đã "làm hộ" bước tính đạo hàm — việc của bạn chỉ là đọc đúng chiều mũi tên và tọa độ các điểm đặc biệt . Bẫy phổ biến nhất: nhầm giá trị cực trị trên trục y với mốc trên trục x.

PHẦN I · Câu 1 Đọc bảng biến thiên

Hàm số y=f(x) liên tục trên \mathbb{R}, có bảng biến thiên: f'(x)>0 trên (-\infty;2), f'(x)=0 tại x=2, f'(x) 0 trên (4;+\infty); f(2)=3, f(4)=-2. Hàm số đạt cực tiểu tại đâu?

A. x=4

B. x=2

C. x=3

D. x=-2

Xem lời giải

✓ Cực tiểu là điểm mà f'(x) đổi dấu từ âm sang dương . Nhìn bảng: tại x=2, f' đổi từ + sang - → đó là cực đại (f(2)=3). Tại x=4, f' đổi từ - sang + → đó là cực tiểu .

Bẫy: số "3" và "-2" là giá trị của hàm số (trục y), còn "2" và "4" mới là vị trí (trục x) — đề hỏi "đạt cực tiểu tại" nghĩa là hỏi giá trị x, không phải giá trị y=-2.

Đáp án: A (x=4)

PHẦN I · Câu 3 Đọc đồ thị — bẫy mốc trục x/y

Đồ thị y=f(x): hàm giảm trên (-\infty;-1), tăng trên (-1;0) đạt cực đại f(0)=3, giảm trên (0;2) đạt cực tiểu f(2)=-3, tăng trên (2;+\infty). Mệnh đề nào đúng?

A. Đồng biến trên (0;2)

B. Nghịch biến trên (-3;0)

C. Đồng biến trên (-1;0)

D. Nghịch biến trên (0;3)

Xem lời giải

✓ Lập lại đúng bảng dấu từ đồ thị: giảm (-\infty,-1) — tăng (-1,0) — giảm (0,2) — tăng (2,+\infty).

• A sai: (0;2) nằm trong khoảng giảm , không phải đồng biến.
• B sai: (-3;0) cắt qua cả đoạn giảm (-3,-1) lẫn đoạn tăng (-1,0) → không đơn điệu trên toàn khoảng.
• C đúng: (-1;0) chính xác là khoảng đồng biến.
• D sai: (0;3) cắt qua cả đoạn giảm (0,2) lẫn đoạn tăng (2,3) → không đơn điệu.

Bẫy kép: con số 3 và -3 trên trục y (giá trị cực đại/cực tiểu) bị đưa vào B, D như thể là mốc trục x — học sinh ẩu sẽ chọn nhầm. Luôn hỏi: "khoảng này nằm trên trục nào?"

Đáp án: C

NHÓM 1B

GTLN – GTNN trên một đoạn

Quy trình bất biến: GTLN/GTNN của f(x) trên [a;b] luôn nằm trong tập \{f(a), f(b), f(x_i)\} với x_i là các điểm mà f'(x_i)=0 và nằm trong [a;b] . Không cần xét dấu đạo hàm — chỉ cần liệt kê và so sánh.

PHẦN I · Câu 2 GTLN hàm bậc ba trên đoạn

Giá trị lớn nhất của f(x)=x^3-3x trên đoạn [0;2]?

A. 0

B. -2

C. 2

D. 3

Xem lời giải

✓ f'(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1. Chỉ x=1 nằm trong [0;2].

So sánh: f(0)=0, f(1)=1-3=-2, f(2)=8-6=2.

\max\{0,-2,2\}=2, đạt tại x=2 (đầu mút, không phải điểm cực trị!).

Bẫy: GTLN không nhất thiết đạt tại điểm f'=0 — ở đây nó đạt tại đầu mút x=2, còn x=1 lại cho GTNN.

Đáp án: C (2)

PHẦN I · Câu 4 GTLN–GTNN hàm phân thức

Gọi M,m lần lượt là GTLN, GTNN của y=\dfrac{2x-1}{x+1} trên [0;2]. Tính M+m.

A. 0

B. 1

C. 2

D. -1

Xem lời giải

✓ y'=\dfrac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{3}{(x+1)^2}>0 với mọi x trong TXĐ → hàm đồng biến trên toàn đoạn , không có cực trị bên trong.

Vì đồng biến: m=y(0)=\dfrac{-1}{1}=-1 (GTNN tại đầu trái), M=y(2)=\dfrac{3}{3}=1 (GTLN tại đầu phải).

M+m = 1+(-1)=0.

Kỹ năng lõi: hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất luôn đơn điệu tuyệt đối trên TXĐ (không có cực trị) — nên GTLN, GTNN trên một đoạn luôn rơi vào hai đầu mút.

Đáp án: A (0)

NHÓM 1C

Tiệm cận & Tập xác định

Tiệm cận đứng của y=\frac{ax+b}{cx+d}: giải mẫu số =0. Tập xác định của \log: bắt biểu thức trong ngoặc >0.

PHẦN I · Câu 5 Tiệm cận đứng

Đồ thị y=\dfrac{3x-2}{x+2} có tiệm cận đứng là đường thẳng?

A. x=3

B. y=3

C. x=-2

D. y=-2

Xem lời giải

✓ Mẫu số =0: x+2=0 \Rightarrow x=-2. Tử số tại x=-2: 3(-2)-2=-8\ne0 → thực sự là tiệm cận đứng (không bị triệt tiêu).

Đáp án: C (x=-2)

PHẦN I · Câu 10 Tập xác định hàm log

Tìm tập xác định D của y=\log_2(3^x-9).

A. D=(0;+\infty)

B. D=[2;+\infty)

C. D=(2;+\infty)

D. D=\mathbb{R}

Xem lời giải

✓ Điều kiện: 3^x-9>0 \Leftrightarrow 3^x>3^2 \Leftrightarrow x>2 (vì cơ số 3>1, hàm mũ đồng biến nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức).

Bẫy: dễ nhầm điều kiện thành 3^x-9 \ge 0 (chọn nhầm B) — điều kiện của \log là lớn hơn nghiêm ngặt, không có dấu bằng.

Đáp án: C (D=(2;+\infty))

NHÓM 1D

Công thức đạo hàm cơ bản

Hai công thức phải thuộc lòng: (a^x)'=a^x\ln a và quy tắc tích (uv)'=u'v+uv'.

PHẦN I · Câu 6 Đạo hàm hàm mũ

Đạo hàm của y=3^x là?

A. y'=x\cdot3^{x-1}

B. y'=\dfrac{3^x}{\ln3}

C. y'=3^x\ln3

D. y'=3^x

Xem lời giải

✓ Công thức: (a^x)'=a^x\ln a. Với a=3: y'=3^x\ln3.

Bẫy: A áp nhầm công thức đạo hàm lũy thừa (x^n)'=nx^{n-1} cho hàm số mũ — hai công thức hoàn toàn khác nhau vì biến số nằm ở vị trí khác nhau (số mũ vs. cơ số).

Đáp án: C

PHẦN I · Câu 8 Đạo hàm tích hai hàm

Đạo hàm của y=x\cos x là?

A. y'=\cos x+x\sin x

B. y'=-\sin x

C. y'=1-\sin x

D. y'=\cos x - x\sin x

Xem lời giải

✓ Quy tắc tích: (uv)'=u'v+uv' với u=x,\ v=\cos x: y'=1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x) = \cos x - x\sin x.

Đáp án: D

NHÓM 1E

Khảo sát toàn diện hàm bậc ba (dạng đúng/sai 4 mệnh đề)

Dạng Phần II mới: một hàm số, 4 mệnh đề hỏi 4 kỹ năng khác nhau cùng lúc (TXĐ, đơn điệu, khoảng cách 2 điểm cực trị, hệ số góc tiếp tuyến). Chiến thuật: giải trọn hàm số một lần, rồi soi từng mệnh đề — không giải lại từ đầu cho mỗi ý.

PHẦN II · Câu 1 Khảo sát toàn diện hàm bậc ba

Giải trọn một lần: y'=3x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm1. Cực đại tại (-1;2), cực tiểu tại (1;-2).

Mệnh đề · Đúng/Sai · Vì sao

a) TXĐ D=\mathbb{R} · ĐÚNG · Hàm đa thức, xác định với mọi x.

b) Đồng biến trên (-\infty;0) và (0;+\infty) · SAI · Thực tế: đồng biến trên (-\infty;-1) và (1;+\infty), nghịch biến trên (-1;1) — khoảng (-1;0)\subset(-\infty;0) đang nghịch biến , mâu thuẫn với mệnh đề.

c) Khoảng cách 2 điểm cực trị bằng 4 · SAI · d=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx4{,}47, không phải 4.

d) Tiếp tuyến tại A(2;2) có hệ số góc bằng 3 · SAI · f(2)=8-6=2 (đúng là điểm thuộc đồ thị), nhưng f'(2)=3(4)-3=9\ne3.

Nhận xét quan trọng: chỉ 1/4 mệnh đề đúng — dạng bài "bẫy dồn dập" rất phổ biến ở chương hàm số. Đừng hoảng nếu thấy 3 mệnh đề sai liên tiếp, đó là chủ đích ra đề.

NHÓM 1F

Hàm lượng giác dao động f(x)=a\sin(\omega x+\varphi)+c

3 hằng đẳng thức phải nhớ: chu kỳ T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}; GTLN-GTNN =2|a|; đạo hàm =a\omega\cos(\omega x+\varphi). Khi đề cho "đồ thị đi qua điểm", luôn thay số trước để tìm ẩn còn thiếu.

PHẦN II · Câu 2 Hàm lượng giác dao động — tìm ẩn từ điểm đi qua

Tìm a trước: f(\frac13)=a\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+2=a\sin(\frac{\pi}{2})+2=a+2=5 \Rightarrow a=3.

Mệnh đề · Đúng/Sai · Vì sao

a) f'(x)=a\pi\cos(\pi x+\frac{\pi}{6}) · ĐÚNG · Công thức tổng quát (\sin(\omega x+\varphi))'=\omega\cos(\omega x+\varphi), ở đây \omega=\pi — đúng với mọi a, không cần biết a=3.

b) Chu kỳ T=1 · SAI · T=\dfrac{2\pi}{\pi}=2, không phải 1.

c) a=2 · SAI · Đã tính ở trên: a=3.

d) Hiệu GTLN-GTNN trên TXĐ là 5 · SAI · Với a=3: GTLN=2+3=5, GTNN=2-3=-1 → hiệu =5-(-1)=6, không phải 5.

Bẫy chuỗi: mệnh đề (a) đúng khiến học sinh có xu hướng tin luôn (c) đúng theo — nhưng (a) chỉ đúng vì nó là công thức dạng tổng quát , không liên quan tới giá trị cụ thể của a. Luôn tính a độc lập bằng dữ kiện "đồ thị qua điểm".

✅ CHECKPOINT KHUNG 1 Trước khi sang Khung 2, tự hỏi: (1) Tôi có phân biệt được "giá trị cực trị" (trục y) và "vị trí cực trị" (trục x) không? (2) Tôi có nhớ GTLN/GTNN trên đoạn phải so cả 2 đầu mút lẫn điểm f'=0 không? (3) Với bài đúng/sai, tôi có giải trọn hàm số 1 lần rồi soi 4 mệnh đề, thay vì giải lại 4 lần không? Nếu cả 3 câu trả lời là "có" — sẵn sàng học Khung 2.

KHUNG TƯ DUY 2 / 4

🏗️ Mô hình hóa thực tế thành hàm một biến & Tối ưu hóa

Khung này xuất hiện toàn bộ ở dạng "bài toán có lời văn" — chìa khóa không nằm ở đạo hàm (đã học ở Khung 1) mà nằm ở bước dịch bài toán thực tế thành một hàm số theo đúng 1 biến . Quy trình 3 bước cố định:

Gọi ẩn (1 biến, ghi rõ điều kiện) → Biểu diễn ĐẠI LƯỢNG CẦN TỐI ƯU theo ẩn đó → Dùng đạo hàm hoặc AM-GM để tìm cực trị

Vì sao hay sai? 90% lỗi sai ở dạng này không nằm ở đạo hàm, mà nằm ở bước dịch — biểu diễn sai đại lượng theo ẩn (ví dụ nhầm một cạnh phải xuất hiện hai lần trong chu vi, hoặc quên điều kiện ẩn phải là số nguyên/ước số).

NHÓM 2A

Từ hình học / thực tế sang hàm 1 biến + AM-GM

PHẦN II · Câu 3 Mương dẫn nước — bẫy "quên nhân đôi"

Mặt cắt mương là hình chữ nhật ABCD, diện tích luôn bằng 1{,}2\ \text{m}^2. BC=x là chiều rộng đáy; AB, CD là hai thành mương (2 cạnh bên bằng nhau). Muốn y=AB+BC+CD ngắn nhất, với BC Dịch đúng: Diện tích =AB\times BC=1{,}2 \Rightarrow AB=CD=\dfrac{1{,}2}{x} (không phải 1{,}2x — đây là phép chia, không phải phép nhân). Vậy y=AB+BC+CD=\dfrac{1{,}2}{x}+x+\dfrac{1{,}2}{x}=x+\dfrac{2{,}4}{x} — chú ý AB và CD là hai cạnh riêng biệt , phải cộng cả hai, không được viết tắt thành một số hạng \frac{1,2}{x}$ duy nhất.

Mệnh đề · Đúng/Sai · Vì sao

a) AB=CD=1{,}2x · SAI · Đúng phải là AB=CD=\dfrac{1{,}2}{x} (từ diện tích =1{,}2).

b) y=AB+BC+CD=\dfrac{1{,}2}{x}+x · SAI · Thiếu một lần \frac{1,2}{x} — công thức đúng là y=x+\dfrac{2{,}4}{x} (cộng cả AB lẫn CD).

c) f'(x)=1-\dfrac{2{,}4}{x^2} với f(x)=AB+BC+CD · ĐÚNG · Đạo hàm của hàm đúng f(x)=x+\frac{2,4}{x} chính là 1-\frac{2,4}{x^2} — mệnh đề này đúng dù mệnh đề (b) sai, vì nó dùng đúng hàm gốc.

d) GTNN đạt tại x=2 (m) · SAI · Giải f'(x)=0 \Rightarrow x^2=2{,}4 \Rightarrow x=\sqrt{2{,}4}=\dfrac{2\sqrt{15}}{5}\approx1{,}549, không phải 2.

Bài học lớn nhất: ba mệnh đề (a),(b),(d) sai đều bắt nguồn từ MỘT lỗi dịch đề duy nhất (quên rằng có 2 cạnh AB,CD bằng nhau cần cộng riêng) — nhưng (c) vẫn đúng vì nó tình cờ khớp với hàm đúng. Đây là lý do phải luôn tự dịch lại đề từ đầu bằng lời của mình , không dựa vào công thức mà mệnh đề (b) gợi ý.

PHẦN III · Câu 1 Tối ưu chi phí vận chuyển — ràng buộc "số nguyên là ước số"

Cần chở 3600 kg sầu riêng, mỗi chuyến chở x kg (x là ước của 3600, x\in\mathbb{N}^*). Chi phí/chuyến: phí cố định 50 (nghìn đồng) + phí bảo quản 0{,}005x^2 (nghìn đồng). Chở bao nhiêu kg/chuyến để tổng chi phí nhỏ nhất?

Xem lời giải

✓ Số chuyến =\dfrac{3600}{x}. Tổng chi phí: f(x)=\dfrac{3600}{x}\left(50+0{,}005x^2\right)=\dfrac{180000}{x}+18x.

Áp dụng AM-GM: \dfrac{180000}{x}+18x \ge 2\sqrt{\dfrac{180000}{x}\cdot18x}=2\sqrt{3\,240\,000}=2(1800)=3600.

Dấu "=" khi \dfrac{180000}{x}=18x \Leftrightarrow x^2=10000 \Leftrightarrow x=100.