🔥 [TOÁN 12 · 2K9] Tham số hóa khoảng cách nhỏ nhất — 4 bài 8,5→10 điểm
Bốn bài toán thực tế nâng cao về khoảng cách nhỏ nhất giữa đường cong, đường thẳng và hai bờ sông; giải bằng pháp tuyến, tham số hóa và tối ưu một biến.
THPT AI LUKATO · TOÁN 12 · 2K9
Tham số hóa khoảng cách nhỏ nhất
Bốn bài thực tế tăng dần từ mức 8,5 đến 10 điểm: đọc dữ kiện từ hình, dựng cặp điểm gần nhất, khóa một tham số và tối ưu đúng đại lượng.
1 chuyên đề 4 bài nguồn Đạo hàm & khoảng cách Lời giải từng bước
1. Khung chiến lược · Bài mức 8,5 điểm
Ba khóa tư duy
Điểm – đường thẳng
Giữ điểm trên đường cong, khoảng cách ngắn nhất tới đường thẳng luôn nằm theo phương vuông góc.
Đường cong – đường cong
Ở cặp điểm gần nhất trong miền trơn, đoạn nối là pháp tuyến chung: vuông góc với cả hai tiếp tuyến.
Đường bắt buộc đi qua một điểm
Đặt phương trình đường bằng một tham số hướng; tìm hai giao điểm rồi tối ưu đúng đoạn nằm giữa hai bờ.
Điểm cách biên theo tia
Viết điểm trong dưới dạng co theo bán kính: M=(1−MK/OK)K.
Đề bài
Mức độ 8,5 điểm. Biết M, N là hai điểm di động trên Parabol (P) và đường thẳng d (tham khảo hình bên). Độ dài MN nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Dữ kiện đọc từ hình: (P) đi qua (−1,0), (0,2), (2,0); d: y=−x+4. Điểm M, N vẽ trong ảnh chỉ minh họa hai điểm di động, không phải cặp tối ưu.
Cặp tối ưu: M*(1,2), N*(3/2,5/2); MN vuông góc với d.
Khôi phục parabol. Từ hai nghiệm −1, 2: y=k(x+1)(x−2). Thay (0,2) được k=−1, nên y=−x²+x+2.
Đưa về khoảng cách điểm – đường. Với M(t,−t²+t+2) và d: x+y−4=0:
MN ≥ d(M,d)= |t−t²+t+2−4| √2 = (t−1)²+1 √2 .
Tối ưu. (t−1)²≥0 nên giá trị nhỏ nhất đạt duy nhất tại t=1.
Kết quả: M=(1,2), N=(3/2,5/2), MN min =√2/2≈0,7071
2. Bài mức 9 điểm · Khúc sông hẹp nhất
Mức độ 9 điểm. Hình vẽ mô tả một phần dòng sông với bờ trái là một phần Parabol (P): y=3x² và bờ phải là một phần đường cong (C): y=(x²−1)/x với x>0; đơn vị mỗi trục tọa độ là kilômét. Tính từ bờ trái sang bờ phải, khúc hẹp nhất của con sông này là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.)
Miền theo hình: bờ (P) là nhánh x≥0, nên A(a,3a²) với a≥0; bờ (C) có b>0.
Ở vị trí gần nhất, AB là pháp tuyến chung của hai bờ.
Đặt A(a,3a²)∈(P), B(b,b−1/b)∈(C), a≥0, b>0. Khi b→0 + hoặc a+b→∞ thì AB→∞; do đó cực tiểu toàn cục chỉ có thể nằm ở miền trong hoặc trên biên a=0.
Hai tiếp tuyến song song tại cặp gần nhất:
6a=1+ 1 b² .
Đồng thời AB vuông góc với tiếp tuyến của (P):
(a−b)+6a(3a²−b+1/b)=0.
Thế a=(1+1/b²)/6 và rút gọn:
(1−b)(24b⁶+21b⁵+21b⁴+16b³+4b²+b+1)=0.
Ngoặc thứ hai dương với b>0, nên b=1 và a=1/3.
A=(1/3,1/3), B=(1,0):
AB=√[(2/3)²+(−1/3)²]=√5/3 km≈0,745356 km.
So sánh biên a=0. Khi đó
AB²=b²+(b−1/b)²=2b²−2+b −2 ≥2√2−2>5/9.
Vì (√5/3)²=5/9, cặp trong A=(1/3,1/3), B=(1,0) đúng là cực tiểu toàn cục.
Đổi đơn vị và làm tròn: (√5/3)·1000≈745,356 m. Khúc hẹp nhất: 745 m
3. Bài mức 9,5 điểm · Cầu ngắn nhất qua hai bờ
Mức độ 9,5 điểm. Trong hệ trục Oxy, mỗi đơn vị dài ứng với 100 m. Hai bờ sông được mô phỏng bởi y=√(6x), x≥0 và y=√(4x−8), x≥2. Một nhà máy đặt tại (6,0). Thiết kế một con đường thẳng từ nhà máy, cắt bờ gần tại C rồi qua bờ bên kia tại B; đoạn cầu là BC. Hỏi cây cầu ngắn nhất dài bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng đơn vị.)
Tại tối ưu: B=(3,3√2), C=(4,2√2), BC=√3 đơn vị tọa độ.
Với tuyến đường không trùng trục Ox, viết x=6−qy . Đặt s=√(q²+4)−q>0. Riêng tuyến y=0 cho BC=2 đơn vị=200 m, lớn hơn đáp số sẽ tìm được.
Thế vào hai phương trình bờ sông:
C=(s²+2, 2s), B=(3s²/2, 3s).
Bình phương chiều dài cầu:
BC²=(s²/2−2)²+s²= (s²−2)² 4 +3≥3.
Dấu bằng khi s²=2.
Khi s=√2: q=1/√2, B=(3,3√2), C=(4,2√2), nên BC=√3 đơn vị tọa độ.
Đổi sang thực tế: 100√3≈173,205 m. Cầu ngắn nhất: 173 m
4. Bài mức 10 điểm · Điểm cách biên 2 đơn vị
Mức độ 10 điểm. Trong mặt phẳng Oxy, đường cong khép kín (H) được tạo bởi hai phần đồ thị của hai Parabol đối xứng qua trục Ox và có chiều cao bằng 4 như hình. Gọi M là điểm sao cho tia OM cắt (H) tại K và MK=2. Gọi N di động trên y=−x+8. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, làm tròn đến hàng đơn vị.
Điều kiện được hình vẽ xác định: hai cung đi qua (−2,0), (2,0), đỉnh trên là (0,4); M nằm trong (H) và O–M–K theo thứ tự. Nếu bỏ vị trí “M ở trong”, đề chữ riêng lẻ sẽ có cách hiểu khác.
Đoạn cam MK=2 theo tia OM; đoạn xanh MN vuông góc với x+y=8.
Khôi phục (H). Cung trên y=4−x², cung dưới y=x²−4, với −2≤x≤2.
Tham số hóa điểm trong. Trên cung trên đặt K=(t,4−t²) và
r=OK=√(t⁴−7t²+16), M=(1−2/r)K.
Điều kiện O–M–K cho r≥2; trên nhánh liên tục chứa đỉnh, |t|≤√3.
Đổi bài toán khoảng cách thành cực đại. Vì N thuộc x+y−8=0:
min N MN= 8−x M −y M √2 .
Do đó cần cực đại
F(t)=(4+t−t²)(1−2/√(t⁴−7t²+16)).
Đạo hàm và so sánh toàn miền. Với q=t⁴−7t²+16:
F′(t)=(1−2t)(1−2/√q)+ 2(4+t−t²)(2t³−7t) q 3/2 .
Nghiệm cho cực đại là t≈0,256007956. So sánh các điểm tới hạn, biên và cung đối xứng cho F max ≈2,064826702.
M≈(0,126146;1,938680). Chiếu vuông góc lên x+y=8 được N≈(3,093733;4,906267):
MN min = 8−2,064826702 √2 ≈4,196801287.
Làm tròn đến hàng đơn vị: MN min ≈4
Bảng chốt bốn bài
Mức · Tham số khóa · Nguyên lý tối ưu · Kết quả
8,5 · M(t,f(t)) · Khoảng cách điểm – đường · √2/2
9 · A(a), B(b) · Pháp tuyến chung · 745 m
9,5 · x=6−qy · Bình phương hoàn chỉnh · 173 m
10 · K(t), M=(1−2/r)K · Cực đại x M +y M · 4
LUKATO AI · Toán 12 · Khoảng cách nhỏ nhất bằng tham số hóa