Đồ thị chuyển động: đọc độ dốc, đọc diện tích
Đọc đồ thị chuyển động thẳng bằng hai phép đọc: độ dốc của d-t là vận tốc, độ dốc của v-t là gia tốc, diện tích dưới v-t là độ dịch chuyển. Phân biệt tốc độ…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 10 – 12
CHUYỂN ĐỘNG THẲNG · ĐỒ THỊ
Đồ thị chuyển động:
đọc độ dốc ,
đọc diện tích
Một đồ thị chuyển động là một câu chuyện được nén lại. Độ dốc cho biết vật đi nhanh hay chậm, theo chiều nào. Diện tích cho biết vật đã dịch chuyển bao xa. Đọc đúng hai thứ ấy, em gần như không phải học thuộc công thức.
- 1. Độ dốc của đồ thị d-t là vận tốc
- 2. Đồ thị v-t: độ dốc là gia tốc, diện tích là độ dịch chuyển
- 3. Tốc độ trung bình khác vận tốc trung bình
2 phép đọc
độ dốc và diện tích, dùng cho mọi đồ thị
3 phòng lab
đọc d-t, diện tích dưới v-t, đường đi rẽ hướng
6 bẫy
hiểu lầm kinh điển được phản ví dụ
01
Khái niệm lõi · Vị trí, độ dịch chuyển, quãng đường
Đồ thị d-t kể lại vị trí của vật theo thời gian
Chọn một gốc O và một chiều dương trên đường đi. Vị trí d của vật là số đo có dấu từ O tới vật. Đồ thị d-t vẽ vị trí ấy theo thời gian. Vì d có thể âm, đồ thị hoàn toàn có thể đi xuống dưới trục thời gian: khi đó vật nằm ở phía âm của gốc O.
BƯỚC 1 · ĐỌC TRỤC Trục tung là vị trí d (m), trục hoành là thời gian t (s). Tìm dòng d = 0, đó là gốc O.
BƯỚC 2 · ĐỌC ĐỘ DỐC Dốc lên: v dương. Nằm ngang: v = 0. Dốc xuống: v âm.
BƯỚC 3 · ĐỌC ĐỘ LỚN Độ lớn v bằng độ tăng (hay giảm) của d chia cho thời gian tương ứng. Càng dốc, vật càng nhanh.
BƯỚC 4 · TỔNG KẾT Độ dịch chuyển = d cuối - d đầu. Quãng đường = cộng độ lớn của từng đoạn.
v = d 2 - d 1 t 2 - t 1 (đơn vị m/s)
Phép đọc thứ nhất
Độ dốc là vận tốc
Dấu của v cho biết chiều chuyển động so với chiều dương; độ lớn của v cho biết nhanh hay chậm. Với đồ thị cong, độ dốc của tiếp tuyến tại mỗi thời điểm là vận tốc tức thời .
Hai đại lượng khác nhau
Độ dịch chuyển và quãng đường
Độ dịch chuyển có dấu, bằng d cuối trừ d đầu, chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối. Quãng đường cộng dồn độ dài đường đi, không bao giờ âm. Đi 4 m rồi quay lại 4 m: độ dịch chuyển 0, quãng đường 8 m.
Đoạn nằm ngang
Vị trí không đổi
Đoạn nằm ngang trên đồ thị d-t nghĩa là d không đổi theo t: vật đứng yên so với gốc. Nhớ rằng đồ thị không phải hình dạng con đường: đường đồ thị dốc lên không có nghĩa là vật leo dốc.
02
Hình dung bằng chuyển động thật
Xe chạy trên đường thẳng, con trỏ chạy trên đồ thị
Chọn một câu chuyện chuyển động rồi bấm “Chạy”. Xe (nhìn từ trên xuống) và con trỏ đỏ trên đồ thị d-t chuyển động cùng một lúc . Hãy nhìn tam giác độ dốc màu cam: cạnh dọc chia cạnh ngang chính là vận tốc.
Phòng lab 1: đọc đồ thị d-t TƯƠNG TÁC
Câu chuyện:
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Thời gian: 0,0 s
Vị trí d
Vận tốc v (độ dốc)
Độ dịch chuyển từ t = 0
Quãng đường từ t = 0
Vận tốc trung bình
Tốc độ trung bình
Mô hình: mỗi đoạn đồ thị là chuyển động thẳng đều (đồ thị là các đoạn thẳng). Chiều dương hướng sang phải; vận tốc trung bình và tốc độ trung bình tính từ t = 0 đến thời điểm hiện tại.
03
Quy luật · Đồ thị v-t
Độ dốc là gia tốc, diện tích là độ dịch chuyển
Ở đồ thị v-t , trục tung là vận tốc v, trục hoành là thời gian t. Hai phép đọc: độ dốc bằng a = ( v 2 - v 1 )/( t 2 - t 1 ) , tức gia tốc ; diện tích giữa đồ thị và trục t là độ dịch chuyển , phần nằm dưới trục t tính là âm.
Chạy đều
Đường nằm ngang
v không đổi, độ dốc bằng 0, nên a = 0. Diện tích là hình chữ nhật: d = v · t . Chú ý: nằm ngang ở v khác 0 vẫn là vật đang chạy.
Nhanh dần đều
Đường dốc lên
Độ dốc không đổi nên a không đổi. Diện tích là hình thang, đáy là v 0 và v , cao là t .
Chậm dần đều đến dừng
Đường dốc xuống
a có dấu ngược với v. Diện tích là tam giác, giúp ta tính ngay quãng đường hãm: d = v 0 2 /(2| a |) .
Suy ra công thức từ đồ thị, không cần học thuộc
- Độ dốc: a = ( v - v 0 )/ t , suy ra v = v 0 + a · t .
- Diện tích hình thang: d = ( v 0 + v )/2 · t .
- Thay v ở bước 1: d = (2 v 0 + a t )/2 · t = v 0 t + a t 2 /2 .
- Khử t bằng t = ( v - v 0 )/ a : d = ( v 2 - v 0 2 )/(2 a ) , tức v 2 - v 0 2 = 2 a d .
- Hãm đến dừng ( v = 0, a ngược chiều v 0 ): t = v 0 /| a | và d = v 0 2 /(2| a |) .
Đổi đơn vị trước khi tính
1 km/h = 1000 m / 3600 s, nên chia cho 3,6 để ra m/s: 100,8 km/h chia 3,6 = 28 m/s . Nếu bỏ quên và đưa 100,8 vào công thức cùng gia tốc 3,92 m/s 2 , quãng đường hãm ra 1296 m thay vì 100 m, sai 12,96 lần (vì công thức có bình phương của tốc độ: 3,6 · 3,6 = 12,96).
Phòng lab 2: diện tích dưới đồ thị v-t TƯƠNG TÁC
Tình huống: xe chạy đều trên đoạn thẳng AB, rồi hãm đều đến khi dừng tại C. Mặc định: 100,8 km/h, AB = 100 m, gia tốc hãm 3,92 m/s 2 . Kéo các thanh trượt, bấm “Chạy” để con trỏ quét thời gian và tô diện tích.
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Tốc độ ban đầu: 100,8 km/h
Độ lớn gia tốc hãm: 3,92 m/s 2
Chiều dài AB: 100 m
Thời gian: 0,0 s
Đổi đơn vị
Vận tốc v lúc này
Diện tích đã tô (quãng đường)
Thời gian chạy đều t 1
Thời gian hãm t 2
Tổng thời gian
Quãng đường hãm BC
Tốc độ trung bình AC
Mô hình: xe là chất điểm, chạy đều rồi hãm với gia tốc không đổi cho tới khi dừng; bỏ qua thời gian phản ứng của người lái. Diện tích hình thang tính bằng (đáy lớn + đáy nhỏ)/2 nhân chiều cao, đối chiếu với công thức hãm v 0 2 /(2|a|).
04
Tự dự đoán trước khi xem đáp án
Bốn tình huống nhanh
Đồ thị d-t là một đường thẳng dốc xuống, đi qua gốc tọa độ. Vật đang làm gì?
Một vật đi từ gốc tới d = 4 m, đứng yên 2 s, rồi quay về tới d = -4 m. Độ dịch chuyển và quãng đường của cả hành trình là bao nhiêu?
Trên đồ thị v-t, xe giảm đều từ 28 m/s về 0 trong 7,143 s. Độ dốc của đường (gia tốc) bằng bao nhiêu?
Đổi 72 km/h sang m/s.
05
Tư duy nguyên lý · Không cần con số
Vì sao độ dốc là gia tốc, diện tích là quãng đường, và không được lấy trung bình cộng tùy tiện?
Một vật chuyển động thẳng, đồ thị vận tốc theo thời gian gồm một đoạn nằm ngang rồi một đoạn đi xuống chạm trục thời gian. Bằng nguyên lý, hãy giải thích: (a) vì sao độ dốc của đồ thị là gia tốc; (b) vì sao diện tích dưới đồ thị là quãng đường; (c) vì sao tốc độ trung bình của cả hành trình không bằng trung bình cộng của vận tốc đầu và vận tốc cuối.
Hãy tự viết ba ý trên giấy, mỗi ý một câu nguyên lý, rồi mở từng phần để đối chiếu.
Gợi ý 1 · Chia thật nhỏ
Chia thời gian thành những khoảng rất nhỏ. Trong mỗi khoảng, vận tốc gần như không đổi: quãng đường nhỏ bằng vận tốc nhân khoảng thời gian, tức diện tích của một dải hẹp dưới đồ thị.
Gợi ý 2 · Hình chữ nhật thay thế
Tốc độ trung bình bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian. Nếu thay đồ thị bằng một đường nằm ngang có cùng diện tích và cùng đáy, thì độ cao của đường đó chính là gì?
Chuỗi suy luận
BƯỚC 1 a = (độ biến thiên vận tốc) / (thời gian) chính là độ dốc của đồ thị v-t
BƯỚC 2 Quãng đường là tổng các dải nhỏ v · dt nên bằng diện tích dưới đồ thị: hình chữ nhật cho đoạn đều, tam giác hoặc hình thang cho đoạn biến đổi đều
BƯỚC 3 Tốc độ trung bình bằng diện tích chia đáy, là độ cao của hình chữ nhật cùng diện tích, cùng đáy
BƯỚC 4 Trung bình cộng (v đầu + v cuối ) / 2 chỉ là độ cao trung bình khi đồ thị là một đoạn thẳng nối hai đầu, tức biến đổi đều trên toàn bộ khoảng xét
Giải thích mẫu
Gia tốc là tốc độ biến thiên của vận tốc, nên trên đồ thị v-t nó là độ dốc: đoạn nằm ngang có độ dốc 0 (chuyển động đều), đoạn đi xuống có độ dốc âm (hãm). Khi chia thời gian thành các khoảng rất nhỏ, mỗi khoảng cho một quãng đường nhỏ bằng v nhân khoảng thời gian, là diện tích một dải hẹp; cộng lại được diện tích dưới đồ thị. Tốc độ trung bình bằng tổng quãng đường chia tổng thời gian, nên bằng độ cao của hình chữ nhật có cùng đáy và cùng diện tích. Công thức (v đầu + v cuối )/2 chỉ cho đúng độ cao đó khi đồ thị là một đoạn thẳng; với đồ thị gồm đoạn đều rồi đoạn hãm, phần vận tốc giữ ở mức cao làm giá trị trung bình lớn hơn. Số minh họa, chỉ để cảm nhận: chạy đều 20 m/s trong 10 s rồi hãm đều trong 10 s, quãng đường 300 m trong 20 s nên tốc độ trung bình là 15 m/s, lớn hơn (20 + 0)/2 = 10 m/s.
Ba lỗi hay gặp
Lấy (v đầu + v cuối )/2 cho cả hành trình có đoạn đều: ra giá trị quá nhỏ. Trung bình cộng hai tốc độ trung bình của hai đoạn khi hai đoạn kéo dài khác nhau: chỉ đúng khi hai đoạn có cùng thời gian; cách luôn đúng là tổng quãng đường chia tổng thời gian. Coi diện tích dưới trục thời gian là dương: phần đó là độ dời ngược chiều; độ dời là tổng đại số, quãng đường là tổng các diện tích dương.
Bí kíp Cùng diện tích, cùng đáy
Quy tắc. Mọi trung bình theo thời gian đều bằng diện tích chia thời gian. Muốn tìm tốc độ trung bình, đừng cộng rồi chia đôi: tính diện tích dưới đồ thị v-t rồi chia cho đáy.
Vì sao đúng. Tốc độ trung bình được định nghĩa là quãng đường chia thời gian, mà quãng đường chính là diện tích dưới đồ thị v-t.
Khi nào gãy. Khi đồ thị không phải v-t (ví dụ x-t) thì diện tích không còn là quãng đường; và trung bình theo quãng đường (không theo thời gian) có định nghĩa khác, phải đọc kĩ đề.
06
Quy luật · Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình
Hai đại lượng khác nhau khi đường đi rẽ hướng
Cùng một hành trình, ta có thể hỏi hai câu khác nhau: “đã đi được bao nhiêu mét?” và “rốt cuộc đã dời đi bao xa, theo hướng nào?”. Hai câu hỏi cho hai đại lượng khác nhau.
Tốc độ trung bình
Quãng đường chia thời gian
tốc độ TB = quãng đường thời gian . Đại lượng không có hướng, luôn không âm.
Vận tốc trung bình
Độ dịch chuyển chia thời gian
vận tốc TB = độ dịch chuyển thời gian . Là vectơ, cùng hướng với độ dịch chuyển, nên có thể bằng 0 hoặc âm.
Vì sao khác nhau
Đường thẳng là ngắn nhất
Độ lớn độ dịch chuyển |AC| luôn nhỏ hơn hoặc bằng quãng đường AB + BC. Vì cùng chia cho thời gian, nên độ lớn vận tốc TB nhỏ hơn hoặc bằng tốc độ TB ; chỉ bằng nhau khi đi thẳng và không đổi chiều.
|AC| 2 = AB 2 + BC 2 - 2·AB·BC·cos(góc B) (định lí hàm cosin cho góc B của tam giác ABC)
Phòng lab 3: tốc độ trung bình hay vận tốc trung bình? TƯƠNG TÁC
Nhìn từ trên xuống. Xe chạy đều 28 m/s (100,8 km/h) trên AB, rẽ tại B rồi hãm đều để dừng đúng tại C. Kéo thanh trượt góc B: 180 độ nghĩa là đi thẳng. Quan sát hai thanh bên phải: quãng đường đã đi và độ dịch chuyển |AP|.
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Góc tại B (góc giữa BA và BC): 160 độ
Chiều dài AB: 100 m Chiều dài BC: 100 m
Thời gian: 0,0 s
Quãng đường AB + BC
Độ dịch chuyển |AC|
Tổng thời gian
Tốc độ trung bình
Độ lớn vận tốc trung bình
Tỉ số (vận tốc TB)/(tốc độ TB)
Hướng vận tốc TB so với AB
Mô hình: xe là chất điểm, đổi hướng tức thời tại B (bỏ qua đoạn cong), gia tốc hãm là hằng số và được chọn để xe dừng đúng tại C. Con số ở các ô là của cả hành trình, hai thanh bên phải chạy theo thời gian.
07
Phản ví dụ
Sáu hiểu lầm kinh điển
Bấm vào từng thẻ để lật. Mặt trước là câu em dễ nghĩ sai; mặt sau là cách sửa kèm một phản ví dụ.
08
Vận dụng và tổng kết
Dùng hai phép đọc cho tình huống mới
Gặp một đồ thị lạ, đừng vội nhớ công thức. Hãy hỏi: “mình cần độ dốc hay diện tích?” rồi kiểm tra bằng đơn vị. Ba ví dụ dưới đây cho em luyện tập.
Quãng đường hãm
Gấp đôi tốc độ, gấp bốn quãng hãm
Với a = 3,92 m/s 2 và d = v 0 2 /(2| a |) : 36 km/h (10 m/s) hãm trong 12,76 m; 72 km/h (20 m/s) hãm trong 51,02 m; 144 km/h (40 m/s) hãm trong 204,08 m. Đây là lí do giữ khoảng cách an toàn khi chạy nhanh (chưa tính thời gian phản ứng).
Đồ thị v-t cắt trục t
Phần dưới trục tính âm
Vật có v = 6 - 2t (m/s). Từ 0 đến 3 s diện tích phía trên là +9 m; từ 3 đến 6 s diện tích phía dưới là -9 m. Độ dịch chuyển = 0 (về chỗ cũ), quãng đường = 9 + 9 = 18 m, tốc độ trung bình 3 m/s, vận tốc trung bình 0.
Từ v-t suy ra d-t
Hình dạng d-t theo gia tốc
v không đổi: d-t là đường thẳng. Xe hãm đều: d-t là cung parabol cong dần về độ dốc 0 khi dừng. Trên BC, d = 28t - 1,96t 2 (t tính từ B); tại t = 50/7 s thì d = 100 m và độ dốc 28 - 3,92t = 0.
Quy tắc rút ra: kiểm tra bằng đơn vị
Độ dốc có đơn vị (trục tung)/(trục hoành); diện tích có đơn vị (trục tung)·(trục hoành). Đồ thị d-t: độ dốc là m/s, tức vận tốc; diện tích là m·s, vô nghĩa. Đồ thị v-t: độ dốc là m/s 2 , tức gia tốc; diện tích là m/s · s = m, tức độ dịch chuyển.
Đồ thị v-t là đường nằm ngang tại v = -3 m/s. Chuyển động của vật là gì?
Sáu câu cần thuộc
- Đồ thị d-t: độ dốc là vận tốc , dấu là chiều; đoạn nằm ngang là đứng yên.
- Độ dịch chuyển = d cuối - d đầu (có dấu); quãng đường cộng độ lớn từng đoạn, không âm.
- Đồ thị v-t: độ dốc là gia tốc ; diện tích có dấu là độ dịch chuyển .
- Từ hình thang suy ra v = v 0 + at, d = v 0 t + at 2 /2, v 2 - v 0 2 = 2ad; hãm đến dừng: d = v 0 2 /(2|a|).
- Tốc độ TB = quãng đường / thời gian; vận tốc TB = độ dịch chuyển / thời gian; độ lớn vận tốc TB nhỏ hơn hoặc bằng tốc độ TB.
- Đổi km/h sang m/s: chia cho 3,6 . Kiểm tra mọi phép đọc bằng đơn vị của độ dốc và diện tích.