🔥 [2026 CHUYÊN LÝ BONUS] LĂN KHÔNG TRƯỢT TRÊN MẶT CẦU CỐ ĐỊNH — HSG Liên Tỉnh
Premium Chuyên Lý module bổ sung: vật rắn lăn không trượt trên mặt cầu cố định — công thức tổng quát theo hệ số mômen quán tính, điều kiện rời mặt, điều kiện…
THPT AI LUKATO · PHYSICS OLYMPIAD · BONUS
🔥 [2026 CHUYÊN LÝ BONUS] LĂN KHÔNG TRƯỢT TRÊN MẶT CẦU CỐ ĐỊNH — HSG Liên Tỉnh
Hợp nhất bảo toàn cơ năng có động năng quay, điều kiện rời mặt cong và điều kiện bắt đầu trượt — mô hình tổng quát theo hệ số mômen quán tính, ví dụ định lượng tính lại độc lập, cổng kiểm tra đơn vị.
CHUYÊN LÝ HSG 2025–2026 MODULE BONUS LỜI GIẢI ĐỘC LẬP VERIFY GATE
Bản đồLý thuyếtGiải đềLuyện thêmKiểm chứng
01 · BẢN ĐỒ CHỦ ĐỀ
Vật rắn lăn trên mặt cong: một chuỗi ba khóa
3 khóa suy luận liên tiếp
k hệ số mômen quán tính tổng quát
SI cổng đơn vị & giới hạn
Phạm vi chủ đề
Dạng bài vật rắn (bi đặc, hình trụ, vành, cầu rỗng) lăn không trượt trên mặt cong cố định — thường gặp trong đề học sinh giỏi cấp tỉnh và chuyên Lý lớp 12. Toàn bộ công thức trong bài được suy ra lại từ định luật bảo toàn năng lượng và định luật II Newton cho chuyển động quay, không dùng số liệu có sẵn từ bất kỳ nguồn nào khác.
02 · LÝ THUYẾT KHÓA ĐIỂM
Ba phương trình gốc và điều kiện dùng
Điều kiện lăn không trượt
v=r\omega; a=r\alpha
Điểm tiếp xúc tức thời đứng yên so với mặt lăn. Đây là ràng buộc động học, không phải định luật lực — chỉ đúng khi chưa xảy ra trượt.
Mômen quán tính khối cầu đặc
I_{G}=\dfrac{2}{5}mr^{2}
Tổng quát hoá: I_{G}=kmr^{2} với k=\dfrac{2}{5} (cầu đặc), k=\dfrac{2}{3} (cầu rỗng mỏng), k=\dfrac{1}{2} (trụ đặc), k=1 (vành mỏng).
Bảo toàn cơ năng có quay
mgh=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}I_{G}\omega^{2}
Với h=(R+r)(1-\cos\theta) là độ hạ của tâm vật khi tâm quét góc \theta quanh tâm mặt cầu lớn.
Điều kiện rời mặt cong
N=0
Phản lực pháp tuyến triệt tiêu đúng tại thời điểm vật không còn ép vào mặt cong nữa — không phải khi v=0 hay khi \omega=0.
Công thức tổng quát rút gọn — điểm khác biệt của bài này
Thay \omega=v/r vào phương trình năng lượng: mg(R+r)(1-\cos\theta)=\dfrac{1}{2}mv^{2}(1+k), suy ra v^{2}=\dfrac{2g(R+r)(1-\cos\theta)}{1+k}. Đây là công thức trung tâm dùng cho mọi vật rắn tròn xoay đồng chất, chỉ cần thay đúng k.
03 · THỰC CHIẾN
Suy luận đầy đủ: rời mặt và bắt đầu trượt
Bài toán mẫu
Một vật rắn tròn xoay đồng chất khối lượng m, bán kính r, có mômen quán tính I_{G}=kmr^{2}, lăn không trượt từ đỉnh một mặt cầu cố định bán kính R (đặt yên). Gọi \theta là góc ở tâm mặt cầu lớn tính từ đỉnh. Tìm góc rời mặt và, nếu hệ số ma sát nghỉ cực đại giữa hai vật là \mu, tìm góc vật bắt đầu trượt.
Bước 1 — Vận tốc theo góc. Từ mục 02: v^{2}=\dfrac{2g(R+r)(1-\cos\theta)}{1+k}.
Bước 2 — Phương trình hướng tâm. Chiếu định luật II Newton theo phương bán kính tại tâm vật: mg\cos\theta-N=\dfrac{mv^{2}}{R+r}, suy ra N=mg\cos\theta-\dfrac{2mg(1-\cos\theta)}{1+k}.
Bước 3 — Góc rời mặt. Cho N=0: \cos\theta(1+k)=2(1-\cos\theta), suy ra \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3+k}. Với cầu đặc k=\dfrac{2}{5}: \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{17/5}=\dfrac{10}{17}, tức \theta_{r}\approx53,97^{\circ}.
Bước 4 — Phương trình quay khi còn lăn. Chiếu phương tiếp tuyến: mg\sin\theta-F_{ms}=ma; phương trình quay quanh tâm: F_{ms}r=I_{G}\alpha=kmr^{2}\alpha, với a=r\alpha suy ra F_{ms}=kma. Thế vào: mg\sin\theta=ma(1+k), suy ra a=\dfrac{g\sin\theta}{1+k} và F_{ms}=\dfrac{k}{1+k}mg\sin\theta. Với k=\dfrac{2}{5}: F_{ms}=\dfrac{2}{7}mg\sin\theta.
Bước 5 — Điều kiện bắt đầu trượt. Trượt xảy ra khi lực ma sát cần thiết vượt quá lực ma sát nghỉ cực đại: F_{ms}=\mu N. Thay các biểu thức: \dfrac{k}{1+k}mg\sin\theta=\mu mg\left(\cos\theta-\dfrac{2(1-\cos\theta)}{1+k}\right). Nhân hai vế với (1+k): k\sin\theta=\mu\left[(3+k)\cos\theta-2\right]. Với k=\dfrac{2}{5}, nhân tiếp cho 5: 2\sin\theta=17\mu\cos\theta-10\mu.
Bước 6 — Giải phương trình lượng giác. Đặt x=\cos\theta, \sin\theta=\sqrt{1-x^{2}} (hợp lệ vì 0\le\theta Bước 7 — Nghiệm và kiểm tra giới hạn. Nghiệm nhận được (lấy dấu cộng vì cần x\ge\dfrac{10}{17} để vế phải của bước 5 không âm): \cos\theta_{t}=\dfrac{170\mu^{2}+\sqrt{756\mu^{2}+16}}{289\mu^{2}+4}. Kiểm tra giới hạn: khi \mu=0, tử số bằng \sqrt{16}=4 và mẫu số cũng bằng 4, nên \cos\theta_{t}=1, tức \theta_{t}=0$ — hợp lý vì không ma sát thì trượt ngay từ đỉnh.
Bẫy tính toán thường gặp
Khi bình phương một phương trình dạng k\sin\theta=\mu[(3+k)\cos\theta-2] rồi gộp thành phương trình bậc hai, hằng số tự do dưới căn rất dễ chép sai một chữ số. Luôn tự kiểm tra bằng trường hợp giới hạn \mu=0 (phải cho \theta=0) trước khi chấp nhận công thức nghiệm cuối cùng — đây là cách phát hiện lỗi nhanh nhất, không cần giải lại từ đầu.
Ví dụ số minh hoạ
Bi đặc bán kính r=3\ \text{cm} lăn không trượt từ đỉnh một chỏm cầu cố định bán kính R=27\ \text{cm}, hệ số ma sát nghỉ cực đại \mu=0,3. Thay k=\dfrac{2}{5}: \cos\theta_{t}=\dfrac{170(0,09)+\sqrt{756(0,09)+16}}{289(0,09)+4}=\dfrac{15,3+\sqrt{84,04}}{30,01}=\dfrac{15,3+9,167}{30,01}\approx0,815, suy ra \theta_{t}\approx35,4^{\circ}. Vì $35,4^{\circ} Kết quả tổng quát đáng nhớ
Với mọi \mu hữu hạn, $\theta_{t} 04 · CHUYỂN GIAO
Sáu checkpoint áp dụng công thức tổng quát
1 CHECKPOINT
Tại sao dùng v=r\omega chứ không phải một hệ thức khác cho vật lăn không trượt?
A. Vì vật có khối lượng riêng đều
B. Vì điểm tiếp xúc tức thời có vận tốc bằng không so với mặt lăn
C. Vì mặt cầu lớn đứng yên
D. Vì bán kính r nhỏ hơn R
Đáp án & kiểm tra
Lăn không trượt là ràng buộc động học tại điểm tiếp xúc, không liên quan trực tiếp đến khối lượng riêng hay tỉ lệ bán kính.
2 CHECKPOINT
Công thức tổng quát cho góc rời mặt cong theo hệ số k (I_{G}=kmr^{2}) là
A. \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{1+k}
B. \cos\theta_{r}=\dfrac{k}{3+k}
C. \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3+k}
D. \cos\theta_{r}=\dfrac{3+k}{2}
Đáp án & kiểm tra
Suy từ N=0 trong phương trình hướng tâm kết hợp bảo toàn năng lượng, xem Bước 3 ở mục Thực chiến.
3 CHECKPOINT
Một vành tròn mỏng đồng chất (k=1) lăn không trượt trên đỉnh một mặt cầu cố định. Góc rời mặt là
A. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)
B. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)
C. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{6}{11}\right)
D. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{17}\right)
Đáp án & kiểm tra
Thay k=1 vào \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3+k}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}, tức \theta_{r}=60^{\circ}.
4 CHECKPOINT
Nếu bỏ qua động năng quay (coi vật là chất điểm trượt không ma sát, k=0) thì góc rời mặt là
A. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)
B. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)
C. \theta_{r}=\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{17}\right)
D. \theta_{r}=0^{\circ}
Đáp án & kiểm tra
Thay k=0: \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3} — đúng bằng kết quả kinh điển của bài toán chất điểm trượt trên chỏm cầu, dùng để kiểm tra tính đúng đắn của công thức tổng quát.
5 CHECKPOINT
Khi \theta tăng dần từ 0 đến \theta_{r}, tỉ số \dfrac{F_{ms}}{N} cần thiết để duy trì lăn không trượt sẽ
A. Giảm dần về không
B. Không đổi
C. Tăng dần, có thể vượt quá \mu trước khi N=0
D. Chỉ phụ thuộc vào \mu, không phụ thuộc \theta
Đáp án & kiểm tra
F_{ms} tăng theo \sin\theta trong khi N giảm dần về không, nên tỉ số luôn tăng — đây chính là lý do vật luôn trượt trước khi rời mặt, xem khung Kết quả tổng quát đáng nhớ.
6 CHECKPOINT
Một hình trụ đặc đồng chất (k=\dfrac{1}{2}) lăn không trượt từ đỉnh mặt cầu cố định. Góc rời mặt gần nhất với giá trị nào?
A. 48,19^{\circ}
B. 53,97^{\circ}
C. 55,15^{\circ}
D. 60^{\circ}
Đáp án & kiểm tra
\cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3+0,5}=\dfrac{2}{3,5}=\dfrac{4}{7}\approx0,5714, suy ra \theta_{r}=\cos^{-1}(0,5714)\approx55,15^{\circ}. Phương án A ứng với k=0 (chất điểm), phương án B ứng với k=\dfrac{2}{5} (cầu đặc), phương án D ứng với k=1 (vành mỏng) — bốn giá trị k khác nhau cho bốn góc rời mặt tăng dần đúng theo quy luật \cos\theta_{r}=\dfrac{2}{3+k}.
04A · QUY TRÌNH GIẢI CHUẨN
Năm bước áp dụng cho mọi vật rắn tròn xoay
- Xác định mômen quán tính I_{G}=kmr^{2} của vật (tra hoặc suy từ hình dạng khối).
- Viết bảo toàn cơ năng kèm \omega=v/r để có v^{2} theo \theta và k.
- Viết phương trình hướng tâm để có N(\theta); cho N=0 nếu đề hỏi góc rời mặt.
- Nếu đề có ma sát: viết cặp phương trình tịnh tiến — quay để có F_{ms}(\theta), rồi lập điều kiện F_{ms}=\mu N.
- Giải phương trình lượng giác thu được, đối chiếu nghiệm với miền hợp lệ và với trường hợp giới hạn (\mu=0 hoặc k=0) trước khi kết luận.
05 · VERIFY GATE
Năm khóa chống sai
- Xác định đúng k trong I_{G}=kmr^{2} trước khi thay số — sai k làm sai toàn bộ kết quả phía sau.
- Không nhầm điều kiện rời mặt (N=0) với điều kiện dừng lăn hay điều kiện vận tốc bằng không.
- Luôn kiểm tra nghiệm \cos\theta nằm trong đoạn [\cos\theta_{r},1] khi giải phương trình trượt bằng phương pháp bình phương, vì bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai.
- Kiểm tra bằng trường hợp giới hạn \mu=0 (phải cho \theta_{t}=0) và k=0 (phải cho \cos\theta_{r}=2/3) trước khi chốt công thức tổng quát.
- Diễn giải kết quả cuối về đúng đại lượng đề hỏi (góc, vận tốc, hay lực), không dừng ở biểu thức trung gian.
Trạng thái
Toàn bộ công thức trong bài đã được suy diễn lại độc lập từ định luật bảo toàn năng lượng và định luật II Newton, kiểm tra chéo bằng hai trường hợp giới hạn (k=0 và \mu=0) và bằng phép thế số ngược: PASS .
LUKATO AI · PREMIUM MASTERCLASS
Nội dung được tái biên soạn độc lập, chuẩn hóa lỗi nguồn và kiểm tra đáp án trước khi phát hành.