Chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng: cơ năng quyết định tất cả
Chuyên đề Vật lí 10–12: cơ năng như ngân hàng năng lượng, vì sao dây cần căn(5gl) còn thanh chỉ cần 2 căn(gl), và vật rời cung tròn ở C bay xiên ra sao. Có 3…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ 10 – 12
CƠ NĂNG · CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỨNG
Chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng:
cơ năng quyết định tất cả
Muốn biết vật có đi hết vòng hay không, đừng bắt đầu bằng lực. Hãy bắt đầu bằng ngân hàng cơ năng : tốc độ ở mỗi độ cao đã được quyết định. Lực chỉ cho biết dây hay thanh có đủ khả năng giữ vật trên đường tròn hay không.
- 1. Hiểu cơ năng như một ngân hàng
- 2. Hiểu vì sao dây và thanh khác nhau
- 3. Dự đoán chỗ vật rời cung
3 phòng lab
ngân hàng cơ năng, dây hay thanh, rời cung ở C
2 ngưỡng
6,0 m/s cho thanh và 6,708 m/s cho dây khi l = 0,9 m
6 bẫy
hiểu lầm kinh điển được phản ví dụ
01
Khái niệm lõi · Bảo toàn cơ năng
Cơ năng là một ngân hàng: gửi bằng động năng, rút bằng thế năng
Cơ năng của vật trong trọng trường là tổng của động năng và thế năng trọng trường : W = W đ + W t = 1 2 m v 2 + m g h . Khi chỉ có trọng lực (hoặc lực đàn hồi) sinh công, tổng này không đổi : động năng giảm bao nhiêu thì thế năng tăng bấy nhiêu. Hãy hình dung tổng số tiền trong ngân hàng không đổi; vật chỉ chuyển tiền qua lại giữa hai tài khoản.
BƯỚC 1 Chọn mốc thế năng (h = 0), thường là điểm thấp nhất
BƯỚC 2 Viết cơ năng lúc đầu: W 1 = 1 2 m v 0 2 + m g h 0
BƯỚC 3 Viết cơ năng ở vị trí cần xét: W 2 = 1 2 m v 2 + m g h
BƯỚC 4 Cho W 1 = W 2 ; khối lượng m triệt tiêu: v 2 = v 0 2 - 2 g (h - h 0 )
Vì sao được dùng
Lực căng và phản lực không sinh công
Lực căng dây, lực thanh và phản lực của mặt cong luôn vuông góc với vận tốc : chúng hướng dọc bán kính còn vật chuyển động theo tiếp tuyến. Công suất F · v bằng 0 nên các lực này không làm đổi động năng. Chỉ còn trọng lực sinh công.
Chỉ cần độ cao
Không cần biết đường đi
Công của trọng lực chỉ phụ thuộc hiệu độ cao giữa điểm đầu và điểm cuối. Vì vậy tốc độ tại một độ cao chỉ phụ thuộc độ cao đó , dù vật đi theo cung nào, miễn là các lực khác không sinh công.
Khối lượng
Khối lượng triệt tiêu
Mỗi số hạng của cơ năng đều tỉ lệ với m nên chia được hai vế cho m. Công thức v 2 = v 0 2 - 2gh không chứa m : tốc độ tối thiểu để lên tới một độ cao không phụ thuộc khối lượng.
Khi nào cơ năng không bảo toàn
Khi có lực cản hoặc ma sát sinh công âm, cơ năng giảm đúng bằng nhiệt tỏa ra: W sau = W đầu - Q . Phòng lab 1 có chế độ lực cản nhỏ để em thấy tổng giảm dần.
Mốc thế năng chọn tùy ý
Đổi mốc thì W t và W cùng đổi một hằng số, còn độ biến thiên và tốc độ thì không đổi. Em sẽ tự kiểm chứng trong phòng lab bằng nút đổi mốc.
02
Phòng lab 1 · Ngân hàng cơ năng
Kéo vật quanh vòng: năng lượng chỉ đổi tài khoản, không biến mất
Vật nặng 0,4 kg gắn vào thanh nhẹ cứng dài l = 0,9 m, được truyền tốc độ v 0 ở điểm thấp nhất. Kéo thanh trượt vị trí và xem ba cột W đ , W t , W. Sau đó bấm “Chạy mô phỏng” và bật lực cản nhỏ để thấy khác biệt.
Phòng lab 1: ngân hàng cơ năng TƯƠNG TÁC
Cột xanh là động năng, cột cam là thế năng, cột navy là cơ năng toàn phần, cột đỏ là nhiệt đã tỏa ra. Đồ thị bên phải vẽ W đ , W t , W theo góc b (nét liền: không ma sát).
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Vị trí (góc lệch b): 90 độ
Tốc độ ở điểm thấp nhất v 0 : 6,0 m/s
Mốc thế năng:
Độ cao h
Tốc độ v
Động năng W đ
Thế năng W t
Cơ năng W
Mô hình: g = 10 m/s 2 , thanh nhẹ cứng nên vật ở trên đường tròn ở mọi tốc độ; lực cản nhỏ chọn tỉ lệ với vận tốc để minh họa mất mát, không phải số đo thực. Cơ năng tính bằng W đ + W t ; nhiệt Q lấy từ công của lực cản.
Em cần nhìn thấy gì
(1) Cột W đứng yên dù cột W đ và W t lên xuống ngược nhau. (2) Với v 0 = 6,0 m/s, tại điểm cao nhất W đ = 0 và W t = W: ngân hàng đã chuyển hết sang thế năng. (3) Đổi mốc sang tâm O: các cột W t và W đổi giá trị nhưng tốc độ v không đổi.
03
Khái niệm sâu · Lực ràng buộc được phép làm gì
Dây chỉ kéo được, thanh vừa kéo vừa đẩy được: cùng cơ năng, hai ngưỡng khác nhau
Cơ năng cho biết vật có tốc độ bao nhiêu ở mỗi điểm. Nhưng vật còn phải ở lại trên đường tròn , và việc đó do lực ràng buộc đảm nhiệm. Dây chỉ có thể kéo (lực căng T lớn hơn hoặc bằng 0). Thanh nhẹ cứng có thể kéo hoặc đẩy .
CƠ NĂNG Góc lệch b tính từ điểm thấp nhất, độ cao h = l (1 - cos b): v 2 = v 0 2 - 2 g l (1 - cos b)
HƯỚNG TÂM Chiều dương hướng về O: T - m g cos b = m v 2 l
GHÉP LẠI T = m ( v 0 2 l - 2g + 3g cos b )
Điểm thấp nhất · b = 0
Lực căng lớn nhất
T đáy = m ( g + v 0 2 l ) . Trọng lực hướng xuống, ra xa tâm, nên dây phải kéo vừa đủ cho trọng lượng, vừa đủ cho lực hướng tâm.
Điểm cao nhất · b = 180 độ
Lực căng nhỏ nhất
T đỉnh = m ( v 0 2 l - 5g ) = m ( v đỉnh 2 l - g ) . Ở đỉnh trọng lực cũng hướng về tâm nên góp một phần lực hướng tâm.
Dây
T lớn hơn hoặc bằng 0 ở mọi điểm
T nhỏ nhất ở đỉnh nên chỉ cần xét đỉnh: v đỉnh 2 lớn hơn hoặc bằng g l . Thay vào cơ năng v đỉnh 2 = v 0 2 - 4gl, ta được v 0 lớn hơn hoặc bằng căn(5 g l) .
Thanh
Lực thanh được phép âm (đẩy)
Không cần T lớn hơn hoặc bằng 0, chỉ cần vật còn tới được đỉnh: v đỉnh 2 lớn hơn hoặc bằng 0 , tức v 0 2 - 4gl lớn hơn hoặc bằng 0 và v 0 lớn hơn hoặc bằng 2 căn(g l) .
Tình huống số: l = 0,9 m, g = 10 m/s 2
Thanh: 2 căn(gl) = 2 căn 9 = 6,0 m/s . Dây: căn(5gl) = căn 45 = 6,708 m/s . Dây đòi hỏi nhiều hơn vì ở đỉnh vật vẫn phải giữ tốc độ căn(gl) = 3 m/s. Tại ngưỡng của dây, T đáy = 6mg và T đỉnh = 0; nói chung T đáy - T đỉnh = 6mg với mọi v 0 .
v 0 nhỏ
Chưa lên tới ngang tâm
Khi v 0 2 nhỏ hơn hoặc bằng 2gl, vật chưa vượt độ cao của tâm O. T luôn dương, vật lắc qua lại như con lắc, dừng ở góc b max với cos b max = 1 - v 0 2 /(2gl).
Dây · giữa hai ngưỡng
Dây chùng rồi bay xiên
Khi 2gl nhỏ hơn v 0 2 nhỏ hơn 5gl, vật qua ngang tâm nhưng không tới đỉnh. Tại cos b = (2 - v 0 2 /(gl))/3 thì T = 0: dây chùng, vật rời đường tròn và chỉ còn trọng lực, bay như vật ném xiên.
Thanh · v 0 nhỏ hơn 2 căn(gl)
Dừng ngắn đỉnh, quay về
Thanh giữ vật trên đường tròn. Vật dừng ở b max nhỏ hơn 180 độ rồi quay ngược lại và dao động. Nếu đúng v 0 = 2 căn(gl) thì vật chỉ tiến sát đỉnh, đứng yên ở vị trí cân bằng không bền.
Phòng lab 2: dây hay thanh? TƯƠNG TÁC
Chọn dây hoặc thanh, kéo v 0 và khối lượng. Chương trình giải số phương trình chuyển động (RK4) rồi hoạt họa: đủ vòng, dây chùng bay xiên, hay dừng và quay về. Đồ thị phải vẽ lực dây hoặc thanh chia cho mg theo góc b; thang dưới đánh dấu ngưỡng lí thuyết.
Ràng buộc:
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Tốc độ ở điểm thấp nhất v 0 : 6,30 m/s
Khối lượng m: 0,5 kg
Ngưỡng v 0 tối thiểu
Tốc độ ở đỉnh (nếu tới)
Lực dây/thanh ở đỉnh
Lực ở điểm thấp nhất
Kết quả
Mô hình: l = 0,9 m, g = 10 m/s 2 , dây và thanh nhẹ, không lực cản. Khi dây chùng, vật chỉ chịu trọng lực; mô hình dừng lại ngay khi dây căng trở lại (không tính cú giật). Ngưỡng lí thuyết không phụ thuộc khối lượng; khối lượng chỉ làm đổi độ lớn lực.
04
Tự dự đoán trước khi xem đáp án
Bốn tình huống nhanh
Quả cầu buộc vào dây dài l quay trong mặt phẳng thẳng đứng. Điều kiện nào chắc chắn phải có ở điểm cao nhất để dây không chùng?
Thanh nhẹ cứng, l = 0,9 m, g = 10 m/s 2 . Tốc độ nhỏ nhất ở điểm thấp nhất để vật tới được điểm cao nhất là
Tăng khối lượng quả cầu lên gấp đôi (dây vẫn không đứt). Tốc độ nhỏ nhất ở điểm thấp nhất để quay đủ vòng sẽ
Thanh nhẹ, vật tới đỉnh với tốc độ 2 m/s (nhỏ hơn căn(gl) = 3 m/s). Lực thanh tác dụng lên vật ở đỉnh
05
Tư duy nguyên lý · Không cần con số
Vì sao dây và thanh cho hai ngưỡng khác nhau?
Một vật nặng quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một điểm cố định, lúc nối bằng dây nhẹ, lúc nối bằng thanh nhẹ cứng. Bằng nguyên lý, hãy giải thích: (a) điều kiện để quay trọn vòng được đặt ở điểm nào của vòng và vì sao; (b) vì sao tốc độ tối thiểu ở đáy không phụ thuộc khối lượng; (c) vì sao thanh cho ngưỡng thấp hơn dây.
Hãy tự viết ba ý trên giấy, mỗi ý một câu nguyên lý, rồi mở từng phần để đối chiếu.
Gợi ý 1 · Tìm điểm yếu nhất
Dây chỉ kéo, không đẩy. Trên vòng tròn, lực căng cần có nhỏ nhất ở điểm nào? Ở điểm đó trọng lực hướng về tâm hay ra xa tâm?
Gợi ý 2 · Hai công cụ, hai việc khác nhau
Phương trình hướng tâm chỉ nói về một điểm (điều kiện về lực). Bảo toàn cơ năng nối hai điểm (điều kiện về tốc độ). Hãy xem khối lượng m xuất hiện ở đâu trong cả hai.
Chuỗi suy luận
BƯỚC 1 Đặt điều kiện ở điểm yếu nhất: điểm cao nhất, nơi lực căng nhỏ nhất. Dây chỉ kéo nên T lớn hơn hoặc bằng 0
BƯỚC 2 Phương trình hướng tâm ở đỉnh: T + mg = m v đ 2 / l . Với T lớn hơn hoặc bằng 0 thì v đ 2 lớn hơn hoặc bằng g l
BƯỚC 3 Lực căng luôn vuông góc vận tốc, không sinh công, nên cơ năng bảo toàn: v 0 2 = v đ 2 + 4 g l (đỉnh cao hơn đáy 2l)
BƯỚC 4 Ghép lại: dây cho v 0 2 lớn hơn hoặc bằng 5 g l . Thanh có thể đẩy nên chỉ cần v đ lớn hơn hoặc bằng 0, cho v 0 2 lớn hơn hoặc bằng 4 g l
Giải thích mẫu
Quay trọn vòng nghĩa là vật không bao giờ rời quỹ đạo tròn. Với dây, ràng buộc bị phá khi lực căng muốn âm, và lực căng nhỏ nhất ở điểm cao nhất, nơi trọng lực cũng hướng tâm. Vì vậy chỉ cần kiểm tra điều kiện ở đỉnh: v đ 2 lớn hơn hoặc bằng g l . Khối lượng m có mặt ở cả hai vế của phương trình hướng tâm và của bảo toàn cơ năng nên triệt tiêu; ngưỡng chỉ phụ thuộc g và l. Cơ năng nối đỉnh về đáy, thêm 4 g l vào bình phương tốc độ, nên ngưỡng ở đáy là v 0 2 = 5 g l . Thanh thay dây cái khả năng đẩy, nên ở đỉnh vật chỉ cần dừng lại được: ngưỡng hạ xuống 4 g l . Số minh họa, chỉ để cảm nhận độ lớn: với l = 0,9 m và g = 10 m/s 2 , ngưỡng của dây là căn 45, khoảng 6,7 m/s; của thanh là 6,0 m/s.
Ba lỗi hay gặp
Đặt v đ = 0 cho dây: khi đó T = -mg, dây phải đẩy, điều không thể. Viết T = m v 2 /l ở đỉnh: quên rằng trọng lực ở đỉnh cũng hướng tâm. Tính độ cao tăng l thay cho 2l: đỉnh cao hơn đáy hai lần chiều dài dây.
Bí kíp Điểm yếu nhất quyết định ngưỡng
Quy tắc. Điều kiện “quay trọn vòng” chỉ cần kiểm tra tại một điểm duy nhất: điểm mà ràng buộc dễ bị phá nhất (đỉnh đối với dây). Viết điều kiện ở đó, rồi dùng bảo toàn cơ năng nối về điểm cho trước.
Vì sao đúng. Lực căng giảm dần từ đáy lên đỉnh. Nếu ràng buộc còn thỏa ở đỉnh thì thỏa ở mọi điểm thấp hơn, nên không phải kiểm tra từng điểm.
Khi nào gãy. Khi có lực cản làm mất cơ năng, hoặc khi quỹ đạo không phải đường tròn bán kính không đổi. Lúc đó phải tìm lại điểm yếu nhất và viết lại cơ năng.
06
Khái niệm · Rời cung tròn nhẵn
Rời cung ở C: vận tốc theo tiếp tuyến nên vật bay xiên, không đi thẳng đứng
Vật chạy trên mặt ngang nhẵn tới B rồi vào cung tròn nhẵn BC có tâm O nằm ngay trên B (OB thẳng đứng, OC = R, góc BOC = a). Mọi thứ đều rút ra từ cơ năng và hướng của tiếp tuyến .
ĐỘ CAO CỦA C Từ hình học: h C = R - R cos a = R (1 - cos a)
TỐC ĐỘ Ở C Cơ năng: v C 2 = v 0 2 - 2 g R (1 - cos a)
HƯỚNG Ở C Tiếp tuyến tại C hợp với phương ngang đúng góc a
SAU C Chỉ còn trọng lực: ném xiên; lên cao nhất khi v y = 0
a = 90 độ
Rời thẳng đứng
Tiếp tuyến thẳng đứng nên v C hướng lên, không có thành phần ngang. Vật lên thẳng, toàn bộ động năng ở B thành thế năng: H = v 0 2 /(2g) so với B. Với v 0 = 10 m/s, R = 2 m: v C = căn 60 = 7,746 m/s , H = 5 m .
a = 60 độ
Rời xiên 60 độ
Cùng v 0 = 10 m/s, R = 2 m: v C 2 = 100 - 2·10·2·(1 - 0,5) = 80, v C = 4 căn 5 = 8,944 m/s , hướng 60 độ trên phương ngang. v y = v C sin 60 = căn 60, nên H = 1 + 60/20 = 4,0 m . Ở điểm cao nhất vẫn còn v x = căn 20 = 4,472 m/s.
Hai cách, một đáp số
Kiểm tra bằng cơ năng
Ở điểm cao nhất của quỹ đạo vật chỉ còn v x = v C cos a. Bảo toàn cơ năng từ B: H = (v 0 2 - v C 2 cos 2 a)/(2g) = (100 - 20)/20 = 4,0 m, trùng với cách tính bằng ném xiên.
Vì sao vật không rời cung trước C
Vật ở mặt trong của cung, phản lực N theo cùng công thức hướng tâm: N = m (v 2 /R + g cos b). Với b từ 0 đến 90 độ thì cos b không âm nên N dương: cung chỉ cần đẩy, và đẩy được. Vật chỉ rời cung tại mép C vì cung hết.
Điểm rơi trên mặt ngang qua B
Thời gian bay t = (v y + căn(v y 2 + 2g h C ))/g, tầm xa tính từ B là x = R sin a + v C cos a · t. Với a = 60 độ: t = 1,669 s, x = 9,196 m. Tốc độ chạm đất đúng bằng v 0 = 10 m/s vì cùng mức với B.
Phòng lab 3: rời cung ở C TƯƠNG TÁC
Kéo góc a (bước 5 độ) và tốc độ v 0 ở B. Quả bóng chạy trên mặt ngang, lên cung rồi bay theo quỹ đạo. Nét đứt ngang là độ cao cực đại so với B; nét vàng đứt kéo dài là phần cung tròn không còn dùng.
Vuốt ngang để xem toàn bộ sơ đồ.
Góc a (góc BOC): 60 độ
Tốc độ ở B v 0 : 10,0 m/s
Độ cao C so với B
Tốc độ v C
Hướng v C so với phương ngang
Độ cao cực đại so với B
Điểm rơi (từ B)
Mô hình: cung nhẵn, R = 2 m, g = 10 m/s 2 , bỏ qua lực cản không khí; mặt ngang qua B là mặt đất, bóng chạy sẵn 2 m trước B. Hoạt họa tích phân số (RK4) trên cung, còn quỹ đạo ném xiên tính từ công thức; hai cách khớp nhau.