🌀 Lăn Không Trượt: Dốc Nghiêng → Máng Cong Lõm — Bán Kính Hiệu Dụng & Phản Lực Theo Góc (HSG Vật Lý THPT)
Masterclass nguyên bản LUKATO: 4 kỹ thuật xử lý vật rắn lăn không trượt qua đoạn dốc thẳng rồi vào máng cong lõm — nối quỹ đạo bằng bảo toàn cơ năng, đổi dấu…
THPT AI LUKATO · PHYSICS OLYMPIAD · BONUS
Lăn Không Trượt: Từ Dốc Nghiêng Vào Máng Cong — Bán Kính Hiệu Dụng & Phản Lực Theo Góc
Nối hai đoạn quỹ đạo khác dạng bằng bảo toàn cơ năng, đổi dấu đúng phương trình hướng tâm giữa mặt lồi và mặt lõm, và phân rã phản lực pháp tuyến — tiếp tuyến theo góc quét \varphi — ba khóa suy luận hay bị nhầm nhất của dạng bài vật rắn lăn qua nhiều đoạn quỹ đạo.
CHUYÊN LÝ HSG 2025–2026 MODULE BONUS LỜI GIẢI ĐỘC LẬP VERIFY GATE
Bản đồ Lý thuyết Giải đề Luyện thêm Kiểm chứng
01 · BẢN ĐỒ CHỦ ĐỀ
Vật rắn lăn qua hai đoạn quỹ đạo khác dạng: dốc thẳng rồi đến máng cong
2 đoạn quỹ đạo nối tiếp — thẳng rồi cong
R∓r bán kính hiệu dụng đổi dấu theo mặt lồi/lõm
φ góc quét — biến số duy nhất chi phối N_t,N_n
Phạm vi chủ đề
Dạng bài vật rắn tròn xoay (đĩa, trụ, vành, cầu) lăn không trượt qua một đoạn dốc thẳng rồi chuyển tiếp vào một đoạn máng cong lõm — thường gặp trong đề học sinh giỏi cấp tỉnh/thành phố. Toàn bộ hàm số, số liệu và ví dụ trong bài đều do LUKATO tự dựng riêng cho chuyên đề này, suy ra lại từ định luật bảo toàn năng lượng và định luật II Newton, không sao chép số liệu từ bất kỳ đề thi cụ thể nào. Chuyên đề này là phần bổ sung trực tiếp cho bài LĂN KHÔNG TRƯỢT TRÊN MẶT CẦU CỐ ĐỊNH — nơi đó xử lý mặt lồi , còn ở đây xử lý mặt lõm với hệ quả vật lý hoàn toàn trái ngược.
02 · LÝ THUYẾT KHÓA ĐIỂM
Bốn kỹ thuật xử lý quỹ đạo ghép thẳng — cong
Kỹ thuật 1 — Nối hai đoạn bằng bảo toàn cơ năng
mgh=\dfrac{1}{2}(1+k)mv^{2}
Lực ma sát nghỉ giữ điều kiện lăn không trượt đặt tại điểm tiếp xúc tức thời đứng yên nên không sinh công . Do đó dù quỹ đạo gồm bao nhiêu đoạn thẳng, đoạn cong nối tiếp nhau, cơ năng toàn phần vẫn bảo toàn từ đầu đến cuối — chỉ cần biết độ hạ/độ nâng tổng cộng h của khối tâm giữa hai điểm, không cần quan tâm hình dạng chi tiết của quỹ đạo ở giữa.
Kỹ thuật 2 — Đổi dấu phương trình hướng tâm: lồi ↔ lõm
Lồi: mg\cos\varphi-N=\dfrac{mv^{2}}{r_{hd}} | Lõm: N-mg\cos\varphi=\dfrac{mv^{2}}{r_{hd}}
Gia tốc hướng tâm luôn hướng về tâm cong O. Trên mặt lồi , O nằm phía dưới vật nên N và thành phần mg\cos\varphi ngược chiều nhau trong tổng hợp lực hướng tâm — N có thể giảm về 0 (vật rời mặt). Trên mặt lõm , O nằm phía trên vật nên N và mg\cos\varphi cùng chiều với gia tốc hướng tâm — N luôn dương , vật không bao giờ rời khỏi máng.
Kỹ thuật 3 — Bán kính hiệu dụng: R+r hay R-r?
Lồi: r_{hd}=R+r | Lõm: r_{hd}=R-r
Tâm vật luôn cách bề mặt đúng r theo phương pháp tuyến, tức theo phương nối tâm vật với tâm cong O. Trên mặt lồi, tâm vật bị "đẩy ra" xa O hơn bề mặt nên bán kính quỹ đạo khối tâm là R+r. Trên mặt lõm, tâm vật bị "kéo vào" gần O hơn bề mặt máng nên bán kính quỹ đạo khối tâm là R-r.
Kỹ thuật 4 — Phân rã N_t,N_n tại một điểm bất kỳ theo góc \varphi
N_t=\dfrac{k}{1+k}mg\sin\varphi | N_n=mg\cos\varphi+\dfrac{mv^{2}(\varphi)}{r_{hd}}
Viết cặp phương trình tịnh tiến–quay theo phương tiếp tuyến để tìm N_t (lực ma sát, không phụ thuộc r_{hd}, chỉ phụ thuộc k và góc nghiêng cục bộ \varphi); viết phương trình theo phương pháp tuyến (Kỹ thuật 2) kết hợp v^{2}(\varphi) từ Kỹ thuật 1 để tìm N_n.
Bộ ba công thức tổng quát trên máng lõm — mốc \varphi=0 tại đáy máng (nơi vật vừa rời đoạn thẳng với vận tốc v_0)
a_G(\varphi)=-\dfrac{g\sin\varphi}{1+k} · N_t(\varphi)=\dfrac{k}{1+k}mg\sin\varphi · N_n(\varphi)=\dfrac{mv_0^{2}}{R-r}+\left(1+\dfrac{2}{1+k}\right)mg\cos\varphi-\dfrac{2}{1+k}mg
03 · THỰC CHIẾN
Suy luận đầy đủ: từ dốc nghiêng vào máng lõm
Bài toán mẫu
Một vành tròn mỏng đồng chất (mômen quán tính I_G=mr^{2}, tức k=1), bán kính r=5\,\text{cm}, khối lượng m, lăn không trượt không vận tốc đầu từ đỉnh một mặt phẳng nghiêng góc \alpha=30^{\circ}, cao H=0,9\,\text{m} so với chân dốc. Tại chân dốc, vành đi thẳng vào một máng cong lõm bán kính mặt cong R=1,05\,\text{m} (tiếp tuyến với chân dốc đúng tại đáy máng), lấy g=10\,\text{m/s}^{2}. Gọi \varphi là góc chắn bởi bán kính nối tâm máng với vành, tính từ đáy máng. Tìm: a) vận tốc khối tâm v_0 tại đáy máng; b) N_t(\varphi), N_n(\varphi) và giá trị tại \varphi=60^{\circ}; c) góc cao nhất \varphi_{max} mà khối tâm lên tới trước khi dừng lại tức thời.
Bước 1 — Bán kính hiệu dụng (Kỹ thuật 3). Máng lõm nên r_{hd}=R-r=1,05-0,05=1,00\,\text{m}.
Bước 2 — Vận tốc v_0 (Kỹ thuật 1). Bảo toàn cơ năng qua dốc: mgH=\dfrac12(1+k)mv_0^{2}\Rightarrow v_0^{2}=\dfrac{2gH}{1+k}=\dfrac{2(10)(0,9)}{2}=9\Rightarrow v_0=3\,\text{m/s}.
Bước 3 — Áp dụng bộ công thức Kỹ thuật 4 với k=1 (1+k=2, \frac{k}{1+k}=\frac12, \frac{2}{1+k}=1): a_G(\varphi)=-5\sin\varphi\ (\text{m/s}^2); N_t(\varphi)=5m\sin\varphi\ (\text{N}); N_n(\varphi)=9m+2(10)m\cos\varphi-10m=m(20\cos\varphi-1)\ (\text{N}).
Bước 4 — Thay \varphi=60^{\circ} (\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0,866, \cos60^{\circ}=0,5): N_t=5m(0,866)\approx4,33m\,\text{N}; N_n=m(20\cdot0,5-1)=9m\,\text{N}; a_G=-5(0,866)\approx-4,33\,\text{m/s}^2.
Bước 5 — Góc dừng tức thời (Kỹ thuật 2). Vì máng lõm nên N_n không bao giờ triệt tiêu — điều kiện dừng đúng ở đây là v(\varphi)=0, không phải N_n=0. Từ Kỹ thuật 1: v^{2}(\varphi)=v_0^{2}-g(R-r)(1-\cos\varphi)=9-10(1-\cos\varphi). Cho v^2=0: \cos\varphi_{max}=1-\dfrac{9}{10}=0,1\Rightarrow\varphi_{max}=\cos^{-1}(0,1)\approx84,3^{\circ}.
Bước 6 — Kiểm tra chéo. Tại \varphi_{max}, thay lại vào N_n: N_n=m(20\cdot0,1-1)=m(2-1)=1m=mg\cos\varphi_{max} — đúng bằng đúng thành phần trọng lực pháp tuyến khi v=0 (số hạng ly tâm triệt tiêu), và giá trị này dương , xác nhận vành chưa từng rời máng trước khi dừng lại — khớp với Kỹ thuật 2.
04 · CHUYỂN GIAO
Sáu checkpoint áp dụng công thức tổng quát
1 CHECKPOINT
Vì sao trên mặt lõm, phản lực pháp tuyến N_n không thể triệt tiêu khi vật còn tiếp xúc với $\varphi
A. Vì lực ma sát luôn đủ lớn để giữ vật
B. Vì N_n=mg\cos\varphi+\dfrac{mv^{2}}{r_{hd}} — cả hai số hạng đều không âm khi $\varphi C. Vì vận tốc luôn giữ nguyên không đổi
D. Vì bán kính hiệu dụng luôn âm trên mặt lõm
Đáp án & kiểm tra
Trên mặt lõm, N_n và mg\cos\varphi cùng chiều với gia tốc hướng tâm nên cộng vào nhau — khác hẳn mặt lồi nơi hai đại lượng này trừ nhau và có thể triệt tiêu.
2 CHECKPOINT
Vì sao bán kính hiệu dụng quỹ đạo khối tâm là R+r trên mặt lồi nhưng lại là R-r trên mặt lõm?
A. Vì trên mặt lồi vật luôn lăn nhanh hơn
B. Vì tâm vật luôn cách bề mặt đúng r theo phương pháp tuyến; trên mặt lồi tâm vật bị đẩy ra xa tâm cong O hơn bề mặt, trên mặt lõm tâm vật bị kéo về gần O hơn bề mặt
C. Vì công thức bảo toàn năng lượng khác nhau giữa hai mặt
D. Không có quy luật cố định, tùy từng đề bài
Đáp án & kiểm tra
Đây chính là Kỹ thuật 3 — bản chất hình học của phép cộng/trừ bán kính, xem sơ đồ so sánh ở mục Lý thuyết.
3 CHECKPOINT
Một đĩa đặc đồng chất (k=\frac12) lăn không trượt từ đỉnh dốc cao H=0,3\,\text{m} xuống chân dốc rồi vào ngay máng lõm, g=10\,\text{m/s}^2. Vận tốc khối tâm ở đáy máng là
A. 2\,\text{m/s}
B. 2,45\,\text{m/s}
C. 2,83\,\text{m/s}
D. 1,41\,\text{m/s}
Đáp án & kiểm tra
v_0^{2}=\dfrac{2gH}{1+k}=\dfrac{2(10)(0,3)}{1,5}=4\Rightarrow v_0=2\,\text{m/s}. Phương án B ứng với việc quên động năng quay (coi là chất điểm trượt trơn: v=\sqrt{2gH}); phương án D ứng với lỗi cộng thêm hệ số (1+k) vào mẫu một lần nữa.
4 CHECKPOINT
Vẫn đĩa ở Checkpoint 3, bán kính đĩa r=0,1\,\text{m}, máng lõm có bán kính mặt cong R=0,6\,\text{m}. Bán kính hiệu dụng quỹ đạo khối tâm là
A. 0,5\,\text{m}
B. 0,7\,\text{m}
C. 0,6\,\text{m}
D. 0,05\,\text{m}
Đáp án & kiểm tra
Máng lõm dùng r_{hd}=R-r=0,6-0,1=0,5\,\text{m} (Kỹ thuật 3). Phương án B là lỗi dùng công thức của mặt lồi (R+r); phương án C là lỗi quên trừ r.
5 CHECKPOINT
Với đĩa ở Checkpoint 3–4 (v_0=2\,\text{m/s}, r_{hd}=0,5\,\text{m}), tại đáy máng (\varphi=0), phản lực pháp tuyến N_n bằng
A. 18m\,\text{N}
B. 10m\,\text{N}
C. 8m\,\text{N}
D. 26m\,\text{N}
Đáp án & kiểm tra
Tại \varphi=0: N_n=mg+\dfrac{mv_0^{2}}{r_{hd}}=10m+\dfrac{4m}{0,5}=10m+8m=18m\,\text{N}. Phương án B chỉ tính trọng lực, phương án C chỉ tính số hạng ly tâm, phương án D cộng nhầm gấp đôi số hạng ly tâm.
6 CHECKPOINT
Vẫn đĩa ở Checkpoint 3–5, khối tâm lên tới góc \varphi_{max} nào (tính từ đáy máng) thì dừng lại tức thời?
A. \varphi_{max}\approx66,4^{\circ}
B. \varphi_{max}\approx53,1^{\circ}
C. \varphi_{max}=90^{\circ}
D. \varphi_{max}\approx36,9^{\circ}
Đáp án & kiểm tra
\cos\varphi_{max}=1-\dfrac{v_0^{2}(1+k)}{2g\,r_{hd}}=1-\dfrac{4(1,5)}{2(10)(0,5)}=1-0,6=0,4\Rightarrow\varphi_{max}\approx66,4^{\circ}. Phương án B là lỗi quên hệ số (1+k); phương án C nhầm với điều kiện rời mặt của mặt lồi (không áp dụng được cho mặt lõm).
04A · QUY TRÌNH GIẢI CHUẨN
Năm bước áp dụng cho mọi bài lăn qua nhiều đoạn quỹ đạo
- Xác định hệ số k trong I_G=kmr^{2} theo hình dạng vật.
- Dùng bảo toàn cơ năng qua toàn bộ quãng đường (không quan tâm hình dạng chi tiết giữa hai điểm) để tìm v tại điểm cần xét — vì ma sát nghỉ giữ điều kiện lăn không trượt không sinh công.
- Xác định đúng bán kính hiệu dụng: R+r nếu vật lăn NGOÀI mặt lồi, R-r nếu vật lăn TRONG máng lõm.
- Viết phương trình pháp tuyến (hướng tâm) đúng dấu theo dạng mặt để tìm N_n(\varphi).
- Viết cặp phương trình tịnh tiến–quay theo phương tiếp tuyến để tìm N_t(\varphi) và a_G(\varphi); trên mặt lồi kiểm tra thêm điều kiện rời mặt (N_n=0), trên mặt lõm kiểm tra điều kiện dừng tức thời (v=0) vì N_n không bao giờ triệt tiêu.
05 · VERIFY GATE
Năm khóa chống sai
- Xác định đúng vật đang ở mặt lồi hay mặt lõm trước khi chọn dấu phương trình hướng tâm và bán kính hiệu dụng — đây là lỗi phổ biến nhất của dạng bài này.
- Không áp dụng điều kiện "rời mặt" (N=0) cho máng lõm — hiện tượng vật lý tương ứng trên mặt lõm là dừng lại tức thời (v=0), không phải rời mặt.
- Kiểm tra bằng trường hợp giới hạn k=0 (chất điểm trượt trơn không ma sát): công thức phải quy về kết quả kinh điển không có động năng quay, v_0^{2}=2gH.
- Kiểm tra thứ nguyên (N) và dấu của từng số hạng trong N_n(\varphi) trước khi thay số — số hạng ly tâm và số hạng trọng lực phải cùng đơn vị lực.
- Đối chiếu nghiệm góc thu được có nằm trong miền vật lý hợp lệ hay không (ví dụ 0\le\varphi\le90^{\circ} nếu máng chỉ là một phần tư đường tròn).
Trạng thái
Toàn bộ công thức trong bài đã được suy diễn lại độc lập từ định luật bảo toàn năng lượng và định luật II Newton, kiểm chứng bằng tính toán ký hiệu (SymPy) đối chiếu với một đề vật lý đã công bố (khớp tuyệt đối với k=\frac12), và kiểm tra chéo bằng trường hợp giới hạn cùng phép thế số ngược: PASS .
LUKATO AI · PREMIUM MASTERCLASS
Nội dung được tái biên soạn độc lập, chuẩn hóa lỗi nguồn và kiểm tra đáp án trước khi phát hành.