Cấp số cộng, cấp số nhân: số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu và ví dụ
Công thức số hạng tổng quát uₙ, tổng n số hạng đầu Sₙ của cấp số cộng và cấp số nhân, tính chất ba số hạng liên tiếp, tổng cấp số nhân lùi vô hạn và bài tập…
Cấp số cộng (công sai d)
- Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ + (n − 1)d
- Tổng n số hạng đầu: Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 = n[2u₁ + (n − 1)d]/2
- Ba số a, b, c là cấp số cộng ⇔ a + c = 2b
Cấp số nhân (công bội q)
- Số hạng tổng quát: uₙ = u₁ · qⁿ⁻¹
- Tổng n số hạng đầu (q ≠ 1): Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q)
- Ba số a, b, c là cấp số nhân ⇔ b² = ac
- Cấp số nhân lùi vô hạn (|q| < 1): S = u₁/(1 − q)
Ví dụ
Ví dụ 1. Cấp số cộng có u₁ = 3, d = 4: u₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39; S₁₀ = 10(3 + 39)/2 = 210.
Ví dụ 2. Cấp số nhân có u₁ = 2, q = 3: u₅ = 2 · 3⁴ = 162; S₅ = 2(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 242.
Ví dụ 3 (thực tế). Gửi tiết kiệm 100 triệu đồng, lãi kép 6%/năm: sau n năm có 100 · (1,06)ⁿ triệu đồng (số hạng của cấp số nhân công bội 1,06).