Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và xác suất: công thức và cách phân biệt
Công thức hoán vị Pₙ = n!, chỉnh hợp Aₙᵏ, tổ hợp Cₙᵏ, quy tắc cộng – quy tắc nhân, cách phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, công thức xác suất cổ điển và bài tập…
Quy tắc đếm
- Quy tắc cộng: công việc hoàn thành bởi một trong các phương án (không đồng thời) → cộng số cách.
- Quy tắc nhân: công việc gồm nhiều công đoạn liên tiếp → nhân số cách.
Công thức
| Khái niệm | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Hoán vị | Pₙ = n! | Sắp xếp n phần tử |
| Chỉnh hợp | Aₙᵏ = n! / (n − k)! | Chọn k phần tử có thứ tự |
| Tổ hợp | Cₙᵏ = n! / [k!(n − k)!] | Chọn k phần tử không thứ tự |
Tính chất: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ; 0! = 1.
Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp
- Chọn rồi xếp vị trí/phân vai (lớp trưởng, lớp phó; số có các chữ số khác nhau) → chỉnh hợp.
- Chỉ chọn nhóm (chọn 3 bạn đi thi, chọn 2 quả bóng) → tổ hợp.
Xác suất cổ điển
P(A) = n(A) / n(Ω), trong đó n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu.
- P(Ā) = 1 − P(A)
- A, B xung khắc: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- A, B độc lập: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Ví dụ
Một hộp có 5 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Xác suất lấy được 2 đỏ, 1 xanh:
P = C₅² · C₄¹ / C₉³ = 10 · 4 / 84 = 10/21.