Công thức Oxyz đầy đủ: phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu và khoảng cách (Toán 12)
Tổng hợp công thức hình học tọa độ Oxyz lớp 12: tích có hướng, phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, khoảng cách, góc và ví dụ giải nhanh cho đề thi…
Phần phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz thuộc chương trình Toán 12 và thường chiếm nhiều câu trong đề thi tốt nghiệp THPT. Bài này gom toàn bộ công thức cần nhớ vào một chỗ, kèm ví dụ tính nhanh.
1. Vectơ và tọa độ
Cho u = (x₁; y₁; z₁), v = (x₂; y₂; z₂), điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B).
| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| Vectơ AB | (x_B − x_A; y_B − y_A; z_B − z_A) |
| Độ dài AB | √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²] |
| Trung điểm I của AB | ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2) |
| Trọng tâm G tam giác ABC | ((x_A + x_B + x_C)/3; …) |
| Tích vô hướng | u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ |
| u ⊥ v | x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0 |
| cos(u, v) | (u·v) / (‖u‖·‖v‖) |
Tích có hướng
[u, v] = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂)
- [u, v] vuông góc với cả u và v → dùng để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Diện tích tam giác ABC: S = ½·|[AB, AC]|.
- Thể tích tứ diện ABCD: V = (1/6)·|[AB, AC]·AD|.
- u, v, w đồng phẳng ⇔ [u, v]·w = 0.
2. Mặt phẳng
Mặt phẳng (P) đi qua M₀(x₀; y₀; z₀), có vectơ pháp tuyến n = (A; B; C) ≠ 0:
A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, dạng tổng quát Ax + By + Cz + D = 0.
| Trường hợp đặc biệt | Phương trình |
|---|---|
| Mặt phẳng (Oxy) | z = 0 |
| Mặt phẳng (Oyz) | x = 0 |
| Mặt phẳng (Oxz) | y = 0 |
| Mặt phẳng theo đoạn chắn qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) | x/a + y/b + z/c = 1 |
Khoảng cách từ M(x₀; y₀; z₀) đến (P): d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Góc giữa hai mặt phẳng có pháp tuyến n₁, n₂: cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|).
3. Đường thẳng
Đường thẳng d đi qua M₀(x₀; y₀; z₀), vectơ chỉ phương u = (a; b; c):
- Tham số: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ)
- Chính tắc (a, b, c ≠ 0): (x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c
Góc giữa đường thẳng d (u) và mặt phẳng (P) (n): sin φ = |u·n| / (|u|·|n|).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d (đi qua M₀, chỉ phương u): d = |[M₀M, u]| / |u|.
Vị trí tương đối của d với (P): u·n ≠ 0 ⇒ d cắt (P); u·n = 0 và M₀ ∉ (P) ⇒ d song song (P); u·n = 0 và M₀ ∈ (P) ⇒ d nằm trong (P).
4. Mặt cầu
Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
Dạng khai triển: x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 với điều kiện a² + b² + c² − d > 0, khi đó R = √(a² + b² + c² − d).
| Vị trí mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) | Điều kiện (h = d(I, (P))) |
|---|---|
| Không cắt | h > R |
| Tiếp xúc | h = R |
| Cắt theo đường tròn bán kính r | h < R, r = √(R² − h²) |
5. Ví dụ giải nhanh
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng qua A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). → Dùng đoạn chắn: x/1 + y/2 + z/3 = 1 ⇔ 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
Ví dụ 2. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến (P): 2x − y + 2z + 1 = 0. → d = |2 − 2 + 6 + 1| / √(4 + 1 + 4) = 7/3.
Ví dụ 3. Mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 5 = 0 có tâm và bán kính? → a = 1, b = −2, c = 3, d = 5 ⇒ I(1; −2; 3), R = √(1 + 4 + 9 − 5) = 3.
6. Mẹo làm trắc nghiệm
- Đọc hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng để lấy ngay vectơ pháp tuyến.
- Thay tọa độ điểm vào phương trình để loại đáp án sai nhanh hơn giải trực tiếp.
- Hai mặt phẳng song song có pháp tuyến cùng phương và hệ số D khác tỉ lệ.
- Dùng chức năng VECTOR của máy tính cầm tay để tính tích có hướng, tránh nhầm dấu.