Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng (Toán 12) kèm ví dụ
Bảng công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp và nguyên hàm dạng mở rộng với ax + b, tính chất nguyên hàm, công thức tích phân Newton – Leibniz và ví…
Tính chất
- ∫k·f(x)dx = k∫f(x)dx (k ≠ 0)
- ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
- ∫f'(x)dx = f(x) + C
Bảng nguyên hàm
| Hàm số | Nguyên hàm cơ bản | Mở rộng với (ax + b), a ≠ 0 |
|---|---|---|
| k (hằng số) | kx + C | — |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C | (ax + b)ⁿ⁺¹ / [a(n + 1)] + C |
| 1/x | ln|x| + C | (1/a)·ln|ax + b| + C |
| eˣ | eˣ + C | (1/a)·eᵃˣ⁺ᵇ + C |
| aˣ (0 < a ≠ 1) | aˣ/ln a + C | — |
| sin x | −cos x + C | −(1/a)·cos(ax + b) + C |
| cos x | sin x + C | (1/a)·sin(ax + b) + C |
| 1/cos²x | tan x + C | (1/a)·tan(ax + b) + C |
| 1/sin²x | −cot x + C | −(1/a)·cot(ax + b) + C |
Tích phân
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) (F là một nguyên hàm của f trên [a; b]).
Ví dụ: ∫₀¹ (3x² + 2x)dx = [x³ + x²]₀¹ = 1 + 1 = 2.
Ứng dụng tích phân
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)|dx.
- Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ f²(x)dx.
Ví dụ
- ∫(2x + 1)³dx = (2x + 1)⁴/8 + C
- ∫e²ˣdx = e²ˣ/2 + C
- ∫cos(3x)dx = sin(3x)/3 + C