TSA Tư duy Logic là ràng buộc: sắp xếp, phản chứng, tập hợp Venn và quy luật hình đều là cách thu hẹp không gian nghiệm
Chuyên đề TSA Tư duy Logic: mọi bài logic được gom về một khung: dựng không gian nghiệm, mỗi điều kiện là một ràng buộc cắt bớt phương án, đọc phần còn lại…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TSA TƯ DUY LOGIC
KHÔNG GIAN NGHIỆM · RÀNG BUỘC · THU HẸP · KIỂM CHỨNG
Mỗi điều kiện là một lần cắt:
đáp án là phần còn lại
Sắp xếp, bảng gán, người nói thật và nói dối, tập hợp Venn và quy luật hình cùng một khung: dựng không gian nghiệm, dịch từng câu thành ràng buộc, cắt mạnh nhất trước, đọc phần còn lại và thử lại. Mọi con số trong bài được đếm lại bằng vét cạn.
- 1. Hàng: 6 người có 720 cách, sáu điều kiện còn đúng 6
- 2. Phản chứng: một mâu thuẫn loại cả nửa không gian
- 3. Venn: đặt t, mọi vùng không âm, tìm khoảng của t
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản biện
01
Khái niệm lõi
Một cấu trúc cho năm loại bài: không gian nghiệm và ràng buộc
Phần Tư duy Logic của TSA trông như năm loại bài khác nhau: xếp chỗ, bảng gán, người nói thật và nói dối, tập hợp, hình. Học riêng từng loại thì phải nhớ năm bộ mẹo. Nhìn kĩ thì cả năm cùng một cấu trúc: có một tập các phương án (không gian nghiệm), mỗi điều kiện là một ràng buộc loại bớt phương án, và đáp án là phần còn lại . Bài này dạy bạn đo xem mỗi ràng buộc cắt bao nhiêu, cắt theo thứ tự nào cho nhanh, và biết khi nào một ràng buộc không cắt được như bạn tưởng.
Cùng sáu người, bật dần sáu điều kiện: số phương án còn lại giảm từ 720 xuống 6. Chiều dài thanh theo tỉ lệ tuyến tính, nên phần cuối rất mảnh.
Năm loại bài, một cấu trúc
Loại bài · Không gian nghiệm · Ràng buộc điển hình · Công cụ cắt
Sắp xếp hàng, bàn · n! hoán vị (6 người: 720) · kề nhau, trước hoặc sau, ở đầu hoặc cuối, cách k người · gộp khối, đếm bù, cố định một người
Bảng gán · các song ánh (bảng 3 x 3: 3! = 6) · "không phải", "đã chốt" · gạch ô, chốt hàng hoặc cột chỉ còn một ô
Nói thật, nói dối · 2 n kịch bản (4 người: 16) · mỗi lời nói đúng khi và chỉ khi người đó nói thật · giả sử, lan truyền, tìm mâu thuẫn
Tập hợp, Venn · các cách điền bảy vùng và vùng ngoài · kích thước từng tập, từng giao, tổng N · mọi vùng không âm, bao hàm và loại trừ
Quy luật hình · tích các giá trị của từng thuộc tính · mỗi thuộc tính một quy luật riêng · loại đáp án theo từng thuộc tính
bước 1
Dựng không gian
Ghi rõ đối tượng là gì, có bao nhiêu chỗ, thứ tự có quan trọng không, và tổng số phương án. Biết kích cỡ rồi mới biết mỗi điều kiện cắt được bao nhiêu.
bước 2
Mỗi câu một ràng buộc
Dịch từng dữ kiện thành điều kiện kiểm tra được bằng một phép so sánh, ví dụ "B, C kề nhau" thành "vị trí của B và C hơn kém nhau đúng 1".
bước 3
Cắt, đọc, thử lại
Áp ràng buộc cắt mạnh nhất trước, đọc phần còn lại, rồi thay thử một phương án vào mọi dữ kiện của đề để chắc không bỏ sót.
Vì sao thứ tự áp ràng buộc không đổi đáp án, nhưng đổi công sức
Phần còn lại là giao của các tập thỏa từng ràng buộc, và giao không phụ thuộc thứ tự. Nhưng nếu bắt đầu bằng ràng buộc mạnh (giữ lại ít phương án) thì danh sách cần xét ngắn đi ngay. Với sáu người: ràng buộc "giữa B và D một người" giữ lại 192 trong 720 cách, còn "A không ở hai đầu" giữ lại tới 480.
Bản đồ của chuyên đề
1 Khung không gian, ràng buộc
2 Lab 1: đếm phương án sắp xếp
3 Lab 2: phản chứng thật, dối
4 Lab 3: hộp Venn
5 Bảng gán và quy luật hình
Có sáu điều kiện, mỗi điều kiện giữ lại 240 đến 480 trong 720 cách. Ước lượng nhanh bằng cách nhân các tỉ lệ có đủ tin cậy không?
Gợi ý 1 · Ước lượng nhân tỉ lệ
Nhân tỉ lệ giữ lại: 720 x (480/720) x (240/720) x (360/720) x (480/720) x (240/720) x (192/720) cho khoảng 4,7 cách.
Gợi ý 2 · Đếm thật
Vét cạn cho đúng 6 cách. Chênh lệch này không phải ngẫu nhiên: nhân tỉ lệ chỉ đúng khi các điều kiện độc lập, mà ở đây "B, C kề nhau" và "giữa B và D một người" cùng nói về vị trí của B nên ảnh hưởng lẫn nhau.
Kết luận
Dùng nhân tỉ lệ để ước lượng bậc độ lớn thì được, nhưng để đáp án phải đếm: gộp khối, đếm bù hoặc liệt kê phần còn lại. Điều kiện cùng nhắc đến một người thường không độc lập.
02
Dạng sắp xếp
Đếm phương án còn lại khi bật từng ràng buộc
Lab này đặt sáu người trên một hàng ghế và sáu điều kiện. Bật điều kiện nào thì chương trình liệt kê hết các hoán vị (120, 720 hoặc 5 040) và đếm những hoán vị thỏa mọi điều kiện đang bật. Hãy thử ba việc: bật từng điều kiện một và xem cột "Ràng buộc mạnh nhất"; bật cả sáu rồi đổi số người từ 5 sang 7; và bật hai điều kiện cùng nhắc đến B (điều kiện 2 và 6) để thấy chúng không độc lập.
Phòng thí nghiệm 1 · Bật từng ràng buộc, đếm phương án còn lại LAB 1
Số người
Không gian ban đầu
Ràng buộc đang bật
Phương án còn lại
Tỉ lệ còn lại
Ví dụ một cách hợp lệ
Ràng buộc mạnh nhất (riêng lẻ)
Công thức của từng ràng buộc (kiểm bằng vét cạn)
Ràng buộc · Công thức · n = 5 · n = 6 · n = 7
A không ở hai đầu · (n - 2)(n - 1)! · 72 · 480 · 3600
B, C kề nhau · 2 (n - 1)! · 48 · 240 · 1440
D trước E · n! / 2 · 60 · 360 · 2520
A, D không kề · n! - 2 (n - 1)! · 72 · 480 · 3600
E ở một đầu · 2 (n - 1)! · 48 · 240 · 1440
giữa B và D một người · 2 (n - 2) (n - 2)! · 36 · 192 · 1200
Hai phép rút gọn chuẩn: gộp những người buộc phải kề nhau thành một khối rồi nhân thứ tự trong khối; ở bàn tròn, các cách chỉ khác nhau do xoay cả bàn được tính là một, nên cố định một người trước.
Đọc bảng: "kề nhau" và "ở một đầu" đều là 2(n-1)! nhưng vì hai lí do khác nhau (nhân đôi thứ tự trong khối; hai đầu hàng). "Không kề" là đếm bù: lấy tất cả trừ trường hợp kề. Riêng "D đứng trước E" cắt đúng một nửa vì hoán đổi D, E biến mọi hoán vị thỏa thành hoán vị không thỏa.
Một quan sát vét cạn: cùng sáu điều kiện, n = 5, 6, 7 còn lại 1, 6 và 36 cách
Không gian tăng từ 120 lên 720 rồi 5 040 (nhân 6 rồi nhân 7) trong khi phần còn lại tăng từ 1 lên 6 rồi 36 (nhân 6 rồi nhân 6). Đây là kết quả đếm, không phải công thức: nó nhắc rằng phần còn lại có thể rất nhỏ nhưng không được đoán, phải đếm.
Hai lỗi đếm hay gặp
Quên nhân 2 thứ tự trong khối kề nhau (được 120 thay vì 240). Và dùng 6! cho bàn tròn không đánh số ghế (đúng là 5! = 120).
03
Dạng nói thật, nói dối
Phản chứng: giả sử, lan truyền, tìm mâu thuẫn
Câu đố người nói thật, nói dối là một bài toán với 2 n kịch bản : mỗi người nói thật hoặc nói dối. Quy tắc duy nhất là: người nói thật khi và chỉ khi câu họ nói đúng trong kịch bản đó. Kịch bản nào thỏa quy tắc cho mọi người thì "nhất quán với đề". Phản chứng là cách cắt nhanh: giả sử một người nói thật (hoặc dối), lan truyền, nếu ra mâu thuẫn thì loại cả nửa không gian cùng lúc. Kéo thanh "Giả sử" (0 là không giả sử; tiếp theo là "Pi nói thật", rồi "Pi nói dối") và đọc ô xanh, đỏ, xám.
Phòng thí nghiệm 2 · Giả sử rồi tìm mâu thuẫn LAB 2
Giả sử
Số kịch bản
Nhất quán với đề
Còn lại sau giả sử
Chắc chắn
Đang giả sử
Kết luận phản chứng
Màu ô: ô xanh là kịch bản nhất quán với đề; ô đỏ nhạt là kịch bản làm ít nhất một người nói sai về mình (vi phạm quy tắc); ô xám là kịch bản bị loại bởi giả sử bạn chọn. Câu đố 1, 2, 3 có đúng một ô xanh; câu đố 4 có hai ô xanh nhưng một người vẫn "chắc chắn".
Phủ định đúng là kĩ năng riêng
Câu gốc · Phủ định · Ghi chú
Tất cả P đều Q · Có ít nhất một P không Q · Một phản ví dụ là đủ để bác
A và B · Không A hoặc không B · Phủ định của "và" là "hoặc"
A hoặc B · Không A và không B · Hoặc ở đây là "ít nhất một"
Nếu P thì Q · P mà không Q · Phản đảo "nếu không Q thì không P" tương đương với câu gốc; đảo "nếu Q thì P" thì không
Có đúng k người nói thật · Số người nói thật khác k · Đếm toàn nhóm nên tự tham chiếu
Vì sao mâu thuẫn bác được cả giả sử, còn không mâu thuẫn thì chưa chứng minh được gì
Một mâu thuẫn nghĩa là không có kịch bản nhất quán nào chứa giả sử đó, nên giả sử sai và điều ngược lại đúng. Nhưng giả sử không mâu thuẫn chỉ nói rằng còn ít nhất một kịch bản khả dĩ. Ở câu đố 4, giả sử "P2 nói thật" không mâu thuẫn mà P2 cũng không chắc đúng, vì còn kịch bản P2 nói dối.
Câu đố 4 có hai kịch bản nhất quán. Làm sao đọc ra người nào "chắc chắn" mà không cần liệt kê hết?
Gợi ý 1 · Thử hai chiều
Lần lượt giả sử "P1 nói dối" và "P1 nói thật", mỗi lần lan truyền qua các câu còn lại.
Gợi ý 2 · Đọc kết quả
Nếu giả sử "P1 nói dối" dẫn đến mâu thuẫn thì mọi kịch bản nhất quán đều có P1 nói thật. Khi đó P1 chắc chắn, còn P2, P3, P4 có thể đổi giữa hai kịch bản.
Kết luận
"Chắc chắn" nghĩa là giá trị giống nhau trong mọi kịch bản nhất quán. Bài trắc nghiệm thường hỏi đúng điều chắc chắn; một đáp án chỉ đúng ở một kịch bản thì không phải điều chắc chắn.
04
Dạng tập hợp
Hộp Venn ba tập và khoảng giá trị của giao ba
Đề Venn thường cho kích thước từng tập và từng giao đôi nhưng không cho giao ba . Đừng bỏ cuộc: đặt giao ba là một ẩn t, viết cả bảy vùng theo t, rồi bắt buộc mọi vùng không âm. Lab này cố định |A| = 40, |B| = 35, |C| = 30, |A giao B| = 15, |A giao C| = 12, |B giao C| = 10 và để bạn kéo t và tổng N.
Phòng thí nghiệm 3 · Hộp Venn và khoảng giá trị của giao ba LAB 3
Số phần tử thuộc cả ba tập (t)
Tổng số phần tử N
Hợp A, B, C
Ngoài cả ba
Chỉ một tập
Đúng hai tập
Khoảng khả dĩ của t
Trạng thái
Bảy vùng theo t
Vùng · Công thức · Với t = 0 · Với t = 10
Chỉ A · 40 - 15 - 12 + t = 13 + t · 13 · 23
Chỉ B · 35 - 15 - 10 + t = 10 + t · 10 · 20
Chỉ C · 30 - 12 - 10 + t = 8 + t · 8 · 18
A và B, không C · 15 - t · 15 · 5
A và C, không B · 12 - t · 12 · 2
B và C, không A · 10 - t · 10 · 0
Cả ba · t · 0 · 10
Ngoài cả ba (N = 80) · 80 - 68 - t = 12 - t · 12 · 2
Khoảng của t: "B và C, không A" không âm cho t không quá 10; "ngoài cả ba" không âm cho t không quá N - 68; các vùng "chỉ A, B, C" không âm đã thỏa khi t không âm. Với N = 80 thì 0 t 10; với N = 72 thì 0 t 4; với N dưới 68 thì không có t nào: đề vô nghiệm.
Vì sao giao ba bị chặn bởi giao đôi nhỏ nhất
Phần tử thuộc cả ba tập chắc chắn thuộc mọi giao đôi, nên số đó không thể vượt giao đôi nhỏ nhất. Ở đây giao đôi nhỏ nhất là |B giao C| = 10, nên t tối đa 10, bất kể N lớn thế nào.
Hỏi "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" thì trả lời bằng đầu mút
Khi một vùng phụ thuộc t theo một chiều (chỉ A = 13 + t tăng theo t) thì giá trị lớn nhất ứng với t lớn nhất khả dĩ và nhỏ nhất ứng với t nhỏ nhất; phải dùng khoảng t từ cả ràng buộc N, không chỉ ràng buộc giao đôi.
05
Dạng bảng gán và hình
Gạch ô, lan truyền và kiểm từng thuộc tính
Hai dạng còn lại của logic hình thức dùng cùng một khung. Bảng gán là không gian của các song ánh giữa hai nhóm (3 người, 3 môn: 3! = 6 cách); mỗi dữ kiện "không phải" gạch đi một nhóm cách gán, mỗi ô được chốt gạch tiếp cả hàng và cột của nó. Quy luật hình là không gian tích của các thuộc tính: mỗi thuộc tính (góc xoay, số chấm, màu) có quy luật riêng, nên đáp án phải thỏa từng thuộc tính chứ không phải "trông giống".
Bảng gán là không gian nghiệm 3 x 3 = 6 hoán vị; mỗi dấu x cắt một nhóm hoán vị. Khi một hàng hoặc một cột chỉ còn một ô trống thì chốt ô đó và gạch phần còn lại của hàng và cột ấy.
Quy luật hình: kiểm từng thuộc tính
Mỗi thuộc tính của hình là một ràng buộc độc lập: góc xoay cộng 90 độ, số chấm cộng 1, màu xen kẽ. Hình 5 phải có góc 360 = 0 độ, 5 chấm, màu đặc; chỉ C thỏa cả ba. Đáp án A, B, D mỗi cái vi phạm đúng một thuộc tính.
Thuộc tính · Quy luật suy từ hình 1 đến 4 · Hình 5 phải có · Hệ quả
Góc xoay · cộng 90 độ mỗi bước · hình 5 xoay 360 = 0 độ · loại đáp án B
Số chấm · tăng 1 mỗi bước · hình 5 có 5 chấm · loại đáp án D
Màu tam giác · đặc rồi rỗng xen kẽ · hình 5 đặc (hình lẻ đặc) · loại đáp án A
Vì sao phải kiểm từng thuộc tính, không so ấn tượng chung
Ba đáp án A, B, D đều "gần giống" hình 5 vì chỉ sai một thuộc tính trong ba, nên ấn tượng chung dễ chọn nhầm. Kiểm từng thuộc tính biến mỗi đáp án thành ba phép thử có/không, và chỉ một đáp án đi qua cả ba.
Giới hạn của cách gạch ô
Gạch ô chỉ chắc khi đề cho đủ dữ kiện để mỗi hàng cuối cùng còn một ô. Nếu hai hàng cùng còn hai ô giống nhau (cùng hai môn), đề có hai cách gán; hãy kiểm lại xem có dữ kiện nào bị đọc thiếu không.
Bảng 3 x 3 có 6 cách gán. Bốn dấu x trong ví dụ cắt còn đúng 1 cách. Mỗi dấu x cắt bao nhiêu cách, và vì sao 4 dấu mới đủ?
Gợi ý 1 · Đếm theo từng dấu
Một dấu x ở ô (người, môn) loại các hoán vị gán người đó cho môn đó: 2 trong 6 hoán vị. Dấu thứ hai ở người khác môn khác thì cắt tiếp một phần, nhưng hai dấu cùng loại bỏ những hoán vị trùng nhau.
Gợi ý 2 · Phần trùng
Dấu "An không Lý" và "An không Sinh" cùng nằm ở hàng An nên hai dấu ghép lại ép An vào Hóa (một ô), không cần thêm dấu nào cho An.
Kết luận
Số cách còn lại không bằng 6 trừ đi tổng các lần cắt vì các lần cắt trùng nhau. Đó là lí do bài bảng gán dùng gạch rồi lan truyền thay vì cộng trừ số.
06