🔥 [TSA · TOÁN ỨNG DỤNG] Hàm Số Trong Bài Toán Thực Tế — Đơn Điệu, Tối Ưu Lợi Nhuận, Tiệm Cận & Quỹ Đạo
Chuyên đề TSA Tư duy Toán học: 5 dạng bài hàm số thực tế — đọc dấu đạo hàm (Đúng/Sai), tối ưu lợi nhuận “mỗi lần tăng giá”, chi phí trung bình và tiệm cận…
f′(x)=0
THPT AI LUKATO · TSA Tư duy Toán học · Chuyên đề ứng dụng
Hàm số trong bài toán thực tế
Năm dạng bài xuất hiện dày đặc trong phần Tư duy Toán học của kỳ thi TSA và ở Phần II–III đề thi tốt nghiệp THPT: đọc dấu đạo hàm, tối ưu lợi nhuận kiểu “mỗi lần tăng giá”, chi phí trung bình và tiệm cận ngang, dựng lại quỹ đạo từ tiệm cận và cực trị, tối ưu thời gian bằng lượng giác. Toàn bộ đề bài do LUKATO biên soạn mới, mọi đáp số đều đã được kiểm chứng bằng máy tính.
🎯 TSA · Tư duy Toán học 60 phút
📝 THPT 2026: Đúng/Sai + Trả lời ngắn
5 dạng bài · 4 mô phỏng
12 câu luyện tập tự chấm
00 Bản đồ chuyên đề
Đề thi hỏi gì, và vì sao chuyên đề này đáng học trước?
Đề thi hiện nay ít khi chỉ yêu cầu tính đạo hàm. Đề đưa một tình huống (doanh thu, chi phí, quỹ đạo, quãng đường), bạn phải tự dựng hàm số rồi mới khảo sát. Đó chính là năng lực mà TSA gọi là tư duy toán học.
Kỳ thi Đánh giá tư duy TSA · ĐHBK Hà Nội
3 phần thi độc lập, làm trên máy tính
Tư duy Toán học 60 phút · Tư duy Đọc hiểu 30 phút · Tư duy Khoa học/Giải quyết vấn đề 60 phút . Tổng 150 phút, thang 100 điểm.
Phần Toán kết hợp nhiều dạng: nhiều lựa chọn, đúng/sai, kéo thả, điền đáp án. Nội dung ưu tiên bài toán gắn với thực tế.
Đề thi tốt nghiệp THPT · môn Toán
22 câu · 90 phút · 3 phần
Phần I: 12 câu nhiều lựa chọn (0,25 điểm/câu). Phần II: 4 câu Đúng/Sai, mỗi câu 4 ý (đúng 1 ý: 0,1; 2 ý: 0,25; 3 ý: 0,5; 4 ý: 1 điểm). Phần III: 6 câu trả lời ngắn (0,5 điểm/câu).
Ô trả lời ngắn chỉ ghi được vài kí tự (chữ số, dấu “−”, dấu “,”), nên đáp số không nguyên thường kèm yêu cầu làm tròn. Đọc kĩ yêu cầu làm tròn trước khi tô.
Năm dạng bài và cách nhận ra chúng
Dạng · Dấu hiệu trong đề · Công cụ chính · Câu hỏi hay gặp
1. Đọc dấu đạo hàm · Cho bảng xét dấu f'(x) hoặc công thức f'(x) dạng tích · Quy tắc đổi dấu, bội chẵn/bội lẻ · Đúng/Sai về đơn điệu, cực trị, so sánh giá trị
2. Tối ưu “mỗi lần” · “Cứ mỗi lần tăng giá… thì giảm… người/sản phẩm” · Hàm bậc hai, đỉnh parabol · Giá bán/số lần điều chỉnh để lợi nhuận lớn nhất
3. Chi phí trung bình · Chi phí cố định + chi phí mỗi đơn vị, hỏi “trung bình” · Giới hạn, tiệm cận ngang · “Không thể thấp hơn…”, “ít nhất bao nhiêu sản phẩm…”
4. Dựng lại quỹ đạo · Đồ thị phân thức, cho tiệm cận + điểm đi qua + đỉnh · Hệ 3 phương trình, tiệm cận xiên · Tọa độ điểm chạm đất, khoảng cách tới “điểm giới hạn”
5. Tối ưu thời gian · Đi hai chặng với hai vận tốc, có đường tròn · Đặt góc làm ẩn, đạo hàm lượng giác · Thời gian lớn nhất/nhỏ nhất
Quy trình 4 bước dùng cho mọi dạng
① Đặt ẩn và miền: ẩn là gì, đơn vị gì, nguyên hay thực, giới hạn ở đâu. ② Lập hàm: mỗi đại lượng viết một dòng riêng. ③ Khảo sát: đỉnh parabol, đạo hàm, hoặc giới hạn. ④ Đối chiếu: kiểm tra điều kiện, so sánh với hai đầu mút, làm tròn đúng yêu cầu.
01 Dạng 1 · Đọc dấu đạo hàm
Ba định lí đủ để chấm mọi câu Đúng/Sai về đơn điệu và cực trị
① Đơn điệu
Nếu f'(x)\ge 0 trên khoảng K và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì f đồng biến trên K. Tương tự với nghịch biến.
② Cực trị
f liên tục tại x_0 và f' đổi dấu khi đi qua x_0 thì x_0 là điểm cực trị, kể cả khi f'(x_0) không tồn tại .
③ Đan dấu
Với f'(x) dạng tích, đi qua nghiệm bội lẻ thì f' đổi dấu, đi qua nghiệm bội chẵn thì không.
Ví dụ 1.1 Đúng/Sai Mức vận dụng
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \mathbb R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau (kí hiệu ‖ nghĩa là f'(x) không xác định tại điểm đó):
x · -\infty · · -2 · · 1 · · 3 · · +\infty
f'(x) · · − · 0 · + · 0 · + · ‖ · − ·
a) Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;3). ·
b) Hàm số đạt cực đại tại x=1. ·
c) Hàm số đạt cực đại tại x=3. ·
d) Hàm số nghịch biến trên tập (-\infty;-2)\cup(3;+\infty). ·
Lời giải chi tiết
a) Đúng. Trên (-2;3) ta có f'(x)>0, chỉ bằng 0 tại đúng một điểm x=1. Theo định lí ①, f đồng biến trên (-2;3). Điểm x=3 là đầu mút, không thuộc khoảng nên không ảnh hưởng.
b) Sai. Khi đi qua x=1, f' vẫn mang dấu + ở cả hai phía, nên x=1 không phải điểm cực trị (chỉ là điểm dừng).
c) Đúng. f liên tục tại x=3 và f' đổi dấu từ + sang - nên f đạt cực đại tại x=3, dù f'(3) không tồn tại.
d) Sai. Vì f đồng biến trên (-2;3) nên f(-2)<f(3). Do f liên tục, ta chọn được x_1<-2 đủ gần -2 và x_2>3 đủ gần 3 sao cho f(x_1)<f(x_2), dù x_1<x_2. Vậy f không nghịch biến trên cả tập hợp. Cách viết đúng: “nghịch biến trên từng khoảng (-\infty;-2) và (3;+\infty)”.
Đáp án: Đ – S – Đ – S
Ví dụ 1.2 Đúng/Sai Đạo hàm dạng tích
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x)=(x+1)^2(2-x)(x-5)^3 với mọi x\in\mathbb R.
a) f(x) nghịch biến trên khoảng (-3;0). ·
b) f(x) có đúng 3 điểm cực trị. ·
c) f(3)>f(4). ·
d) f(6)<f(5). ·
Lời giải chi tiết
Nghiệm của f': x=-1 (bội 2, không đổi dấu), x=2 (bội 1, đổi dấu), x=5 (bội 3, đổi dấu). Xét x rất lớn: (2-x)<0, (x-5)^3>0 nên f'<0. Đi từ phải sang trái và đan dấu:
x · -\infty · · -1 · · 2 · · 5 · · +\infty
f'(x) · · − · 0 · − · 0 · + · 0 · − ·
a) Đúng. Trên (-3;0), f'(x)\le 0 và chỉ bằng 0 tại x=-1 nên f nghịch biến.
b) Sai. Chỉ có 2 điểm cực trị: x=2 (cực tiểu) và x=5 (cực đại). x=-1 là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.
c) Sai. f đồng biến trên (2;5) nên f(3)<f(4).
d) Đúng. f nghịch biến trên (5;+\infty) nên f(6)<f(5).
Đáp án: Đ – S – S – Đ
Ví dụ 1.3 Đúng/Sai Vận dụng cao
Cho hàm số f(x)=(x^2-3)e^{-x}.
a) f(x) đồng biến trên khoảng (-1;3). ·
b) f(x) nghịch biến trên khoảng (3;+\infty). ·
c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -\dfrac{2}{e}. ·
d) Phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0<m<\dfrac{6}{e^3}. ·
Lời giải chi tiết
f'(x)=2x\,e^{-x}-(x^2-3)e^{-x}=-(x^2-2x-3)e^{-x}=-(x+1)(x-3)e^{-x}. Vì e^{-x}>0 nên dấu của f' là dấu của -(x+1)(x-3): dương trên (-1;3), âm ở ngoài.
Giới hạn: \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty; \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0 vì e^{x} tăng nhanh hơn mọi đa thức, và f(x)>0 khi x>\sqrt3.
⇆ Vuốt ngang để xem đầy đủ
Bảng biến thiên: f(-1)=(1-3)e^{1}=-2e\approx-5{,}44; f(3)=6e^{-3}\approx 0{,}299.
a) Đúng, b) Đúng (đọc thẳng từ dấu của f').
c) Sai. Tại x=-1: e^{-x}=e^{1}=e, nên f_{CT}=-2e, không phải -\dfrac2e. Đây là bẫy thay số vào e^{-x}.
d) Đúng. Với 0<m<6e^{-3}, đường y=m cắt mỗi nhánh đơn điệu đúng một lần: nhánh (-\infty;-1) nhận mọi giá trị trong (-2e;+\infty), nhánh (-1;3) nhận mọi giá trị trong (-2e;6e^{-3}), nhánh (3;+\infty) nhận mọi giá trị trong (0;6e^{-3}). Khi m\le 0 hoặc m\ge 6e^{-3} thì số nghiệm ít hơn 3.
Đáp án: Đ – Đ – S – Đ
⚡ Mẹo chấm Đúng/Sai nhanh Gặp “đồng biến/nghịch biến trên A\cup B”: theo định nghĩa phải so sánh cả các cặp x_1\in A, x_2\in B, nên mệnh đề này thường Sai . Gặp nghiệm bội chẵn của f': gạch ngay khỏi danh sách cực trị. Gặp ‖ trong bảng xét dấu: vẫn xét cực trị nếu f liên tục.
02 Dạng 2 · Tối ưu “mỗi lần”
“Cứ mỗi lần tăng giá…”: đặt số lần làm ẩn, mọi thứ thành bậc hai
Đại lượng = giá trị gốc ± bước thay đổi × x ⟹ P(x)=Ax^2+Bx+C,\;\; x_0=-\dfrac{B}{2A}
Khi A<0 (parabol quay bề lõm xuống) và đỉnh x_0 nằm trong miền cho phép, parabol đối xứng qua đường thẳng x=x_0. Vì vậy, nếu x phải là số nguyên thì số nguyên gần x_0 nhất cho giá trị lớn nhất (nếu x_0 cách đều hai số nguyên thì cả hai cùng tốt). Tính chất đối xứng này chỉ có ở parabol (xem ô cảnh báo cuối mục).
Ví dụ 2.1 · Ứng dụng học ngoại ngữ Trả lời ngắn Vận dụng
Một ứng dụng học ngoại ngữ đang có 12\,000 người dùng trả phí với giá 90\,000 đồng/tháng. Công ty dự định bổ sung tính năng cao cấp. Mỗi tính năng mới thu hút thêm 600 người dùng, đồng thời giá thuê bao tăng thêm 4\,000 đồng/tháng, và mỗi lần tăng giá như vậy khiến 900 người dùng hiện tại hủy gói. Chi phí phát triển và duy trì mỗi tính năng là 8 triệu đồng/tháng. Công ty nên bổ sung bao nhiêu tính năng để lợi nhuận hằng tháng (doanh thu trừ chi phí phát triển) lớn nhất?
Lời giải từng bước
Đặt ẩn. Gọi x là số tính năng mới, x\in\mathbb N.
Mỗi đại lượng một dòng (đơn vị tiền: nghìn đồng).
Số người dùng: N(x)=12\,000+600x-900x=12\,000-300x. Số người hủy 900x không vượt quá 12\,000 người dùng hiện có, nên 0\le x\le13.
Giá thuê bao: G(x)=90+4x.
Chi phí phát triển: 8\,000x.
Lập hàm lợi nhuận. \begin{aligned}P(x)&=(90+4x)(12\,000-300x)-8\,000x\\&=-1\,200x^2+13\,000x+1\,080\,000.\end{aligned}
Đỉnh parabol. x_0=\dfrac{13\,000}{2\cdot1\,200}=\dfrac{65}{12}\approx 5{,}42. Số nguyên gần nhất là 5. Kiểm tra: P(5)=1\,115\,000 và P(6)=1\,114\,800; x=5 nằm trong miền [0;13].
Đáp án: 5 tính năng · lợi nhuận lớn nhất 1\,115\,000 nghìn đồng = 1,115 tỉ đồng/tháng
Bẫy dấu khi lập số người dùng Viết gộp kiểu N=12\,000-(600-900)x=12\,000+300x là đảo ngược chiều tăng giảm ngay từ đầu. Hãy tách: gốc + phần tăng − phần giảm , mỗi phần nhân với x.
🎛️ Mô phỏng · Kéo số tính năng x và xem lợi nhuận thay đổi
Số tính năng x = 0
Lưu ý: trục đứng bắt đầu từ 950 triệu đồng (không phải từ 0) để thấy rõ chênh lệch giữa các cột. Cột màu cam là lựa chọn hiện tại, cột viền xanh là phương án tối ưu.
Người dùng 12 000
Giá / tháng 90 000 đ
Doanh thu / tháng 1 080,0 triệu
Lợi nhuận / tháng 1 080,0 triệu
Ví dụ 2.2 · Nhà xe hai loại vé Trả lời ngắn Vận dụng cao
Một nhà xe tuyến Hà Nội – Sa Pa mỗi ngày bán 40 vé giường VIP giá 500 nghìn đồng và 120 vé ghế thường giá 250 nghìn đồng. Chi phí phục vụ mỗi khách là 100 nghìn đồng (VIP) và 50 nghìn đồng (ghế thường), chỉ tính khi bán được vé. Nhà xe tăng giá theo từng bước: mỗi bước, vé VIP tăng 50 nghìn đồng và vé thường tăng 20 nghìn đồng. Khảo sát cho thấy mỗi bước tăng giá làm mất 3 khách VIP, trong đó 2 người chuyển sang mua vé thường và 1 người chuyển sang nhà xe khác; đồng thời số khách cũ mua vé thường giảm 6 người. Số bước tăng giá là số tự nhiên. Hỏi giá vé VIP (nghìn đồng) bằng bao nhiêu thì tổng lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất?
Lời giải từng bước
Sơ đồ dòng khách sau x bước: VIP còn 40-3x khách. Ghế thường =120 (gốc) -\,6x (khách cũ bỏ đi) +\,2x (khách từ VIP chuyển xuống) =120-4x.
Lãi mỗi vé: VIP (500+50x)-100=400+50x; ghế thường (250+20x)-50=200+20x.
Lợi nhuận (nghìn đồng): \begin{aligned}f(x)&=(400+50x)(40-3x)\\&\quad+(200+20x)(120-4x)\\&=-230x^2+2\,400x+40\,000.\end{aligned}
Đỉnh: x_0=\dfrac{2\,400}{460}=\dfrac{120}{23}\approx5{,}22 nên chọn x=5: f(5)=46\,250, f(6)=46\,120. Kiểm tra điều kiện: VIP còn 25 khách, ghế thường 100 khách, đều dương.
Đáp án: vé VIP 750 nghìn đồng · lợi nhuận 46,25 triệu đồng/ngày
Cách lập · Hàm lợi nhuận · Đỉnh · Kết luận
Đúng (có +2x khách chuyển xuống) · -230x^2+2\,400x+40\,000 · \approx5{,}22 · VIP 750 nghìn đồng
Sai (quên khách chuyển xuống) · -270x^2+2\,000x+40\,000 · \approx3{,}70 · VIP 700 nghìn đồng ✗
🧠 Khi hàm không đối xứng: bẫy làm tròn của C(n)=an+\dfrac bn
Hàm chi phí dạng C(n)=an+\dfrac bn (a,b>0, n nguyên dương) đạt nhỏ nhất (theo BĐT Cauchy) tại n_0=\sqrt{b/a}. Nhưng đồ thị không đối xứng qua n_0, nên “làm tròn n_0” có thể sai. Với k=\lfloor n_0\rfloor:
\begin{aligned}&C(k)\le C(k+1)\\\iff&\dfrac{b}{k(k+1)}\le a\\\iff&n_0\le\sqrt{k(k+1)}\end{aligned}
Ngưỡng so sánh là trung bình nhân \sqrt{k(k+1)}, không phải k+0{,}5. Ví dụ a=250, b=5\,040: n_0=\sqrt{20{,}16}\approx4{,}49. Làm tròn thông thường cho 4, nhưng \sqrt{4\cdot5}\approx4{,}47<4{,}49 nên phải chọn 5: C(4)=2\,260, C(5)=2\,258.
🧮 Máy kiểm tra làm tròn · nhập a, b của C(n)=an+b/n
a = b =
n₀ = √(b/a) –
Ngưỡng √(k(k+1)) –
C(k) và C(k+1) –
Số máy tối ưu –
03 Dạng 3 · Chi phí trung bình và tiệm cận ngang
“Không thể thấp hơn…” chính là tiệm cận ngang
\begin{aligned}f(t)&=\dfrac{F+v\,t}{t}=v+\dfrac{F}{t}\quad(t\ge1)\\f'(t)&=-\dfrac{F}{t^2}<0,\qquad \lim_{t\to+\infty}f(t)=v\end{aligned}
F là chi phí cố định, v là chi phí cho mỗi sản phẩm. Hàm giảm dần và tiến về v nhưng không bao giờ bằng v. Vì vậy đề thường hỏi “càng gần nhưng không thể nhỏ hơn bao nhiêu”, không hỏi “giá trị nhỏ nhất”.
Ví dụ 3.1 · Xưởng in áo đồng phục Trả lời ngắn Vận dụng
Một xưởng in áo đồng phục chi 15 triệu đồng cho khuôn in và thiết lập máy; sau đó mỗi chiếc áo tốn thêm 45 nghìn đồng tiền phôi và mực. Gọi f(t) là chi phí trung bình mỗi áo (nghìn đồng) khi in t áo (t\ge1).
a) Chi phí trung bình mỗi áo luôn lớn hơn số nào, và có thể tiến gần số đó tùy ý?
b) Cần in ít nhất bao nhiêu áo để chi phí trung bình không vượt quá 50 nghìn đồng?
Lời giải
f(t)=\dfrac{15\,000+45t}{t}=45+\dfrac{15\,000}{t} (nghìn đồng).
a) f(t)>45 với mọi t, f nghịch biến và \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=45. Đường y=45 là tiệm cận ngang: chi phí trung bình tiến gần 45 nghìn đồng tùy ý nhưng không bao giờ đạt.
b) 45+\dfrac{15\,000}{t}\le50\iff\dfrac{15\,000}{t}\le5\iff t\ge3\,000.