TSA Số học là cấu trúc phần dư: chữ số tận cùng, dấu hiệu chia hết, đồng dư và số chính phương trong một ngôn ngữ đồng hồ
Chuyên đề TSA Số học: mọi câu hỏi về chữ số tận cùng, chia hết, lũy thừa và số chính phương được gom về một ngôn ngữ duy nhất: mỗi số nguyên nằm ở một vạch…
LUKATO AI · CHUYÊN ĐỀ TSA SỐ HỌC
VẠCH · CHU KÌ · TRỌNG SỐ · BỘ LỌC
Mỗi số là một vạch trên đồng hồ:
hỏi vạch trước khi tính
Chữ số tận cùng, dấu hiệu chia hết, lũy thừa, số chính phương và phương trình nghiệm nguyên đều là cùng một câu hỏi: số ấy nằm ở vạch nào trên đồng hồ m số. Từ chu kì của lũy thừa đến bộ lọc phần dư, mọi con số trong bài được tính lại bằng code.
- 1. Số lớn thu về vài vạch trên đồng hồ
- 2. Dấu hiệu chia hết là bảng trọng số 10 mũ i
- 3. Vạch cấm chứng minh vô nghiệm, không chứng minh có nghiệm
phòng thí nghiệm tương tác
bí kíp có chỗ vỡ
hiểu lầm được phản biện
01
Khái niệm lõi
Một câu hỏi cho mọi bài số học: số ấy ở vạch nào
Phần Số học của TSA hỏi những câu nghe rất khác nhau: chữ số tận cùng của một lũy thừa lớn, số nào chia hết cho 11, phương trình nghiệm nguyên có nghiệm không, hai đèn nháy lúc nào trùng nhau. Cả bốn là một câu hỏi : số đó nằm ở vạch nào trên chiếc đồng hồ m số ? Đồng hồ m số chỉ có các vạch 0, 1, ..., m - 1; số nguyên n đặt vào vạch bằng phần dư của n khi chia cho m. Cộng, trừ, nhân đều đi qua đồng hồ mà không mất thông tin, nên bài toán với số rất lớn thu về bài toán với vài vạch.
Cùng một số 2027 nằm ở vạch 4 trên đồng hồ 7 số (2027 = 7 x 289 + 4), vạch 2 trên đồng hồ 9 số (2027 = 9 x 225 + 2) và vạch 3 trên đồng hồ 11 số (2027 = 11 x 184 + 3). Vạch 0 nghĩa là chia hết.
bước 1
Chọn đồng hồ
Cho tận cùng thì đồng hồ 10; cho chia hết thì chính số chia; cho chính phương thì 4, 8 hoặc 16. Đồng hồ chọn đúng làm câu hỏi gọn lại.
bước 2
Đọc vạch, tính trên vạch
Thay mỗi số bằng vạch, cộng trừ nhân trên vạch rồi rút gọn. Phép chia và phép so sánh độ lớn thì không đi qua đồng hồ.
bước 3
Tìm chỗ quay vòng
Lũy thừa a, a 2 , a 3 , ... lặp sau một chu kì. Tìm chu kì bằng cách liệt kê, rồi lấy phần dư của số mũ.
bước 4
Lọc bằng tập vạch khả dĩ
Nếu vạch của hai vế không thể trùng nhau thì phương trình vô nghiệm; nếu vạch của n ngoài tập của bình phương thì n không là chính phương.
Sáu việc, một ngôn ngữ
Việc · Đồng hồ nào · Vì sao dùng được · Cạm bẫy
Chữ số tận cùng · đồng hồ 10 (hai chữ số cuối: đồng hồ 100) · n = 10q + d nên n và chữ số cuối d cùng vạch trên đồng hồ 10 · tận cùng của một tích chỉ phụ thuộc tận cùng của các thừa số, nhưng tận cùng của tổng hai lũy thừa phải cộng từng vạch rồi mới rút gọn
Dấu hiệu chia hết · chính số chia · mỗi vị trí chữ số có trọng số 10 i đọc trên đồng hồ ấy · chỉ gọn khi 10 i rơi về 0, 1 hoặc -1; với 7 và 13 phải ghép nhóm ba chữ số
Lũy thừa a k · đồng hồ m cần xét · mỗi lần nhân a là một bước cố định nên dãy phải quay vòng · khi a và m có ước chung, dãy có đoạn đầu không lặp (tiền chu kì)
Số chính phương · đồng hồ 3, 4, 5, 8, 16 · bình phương chỉ rơi vào một nhóm vạch · qua lọc chưa chứng minh được là chính phương: 17 ở vạch 1 trên đồng hồ 4 nhưng không phải bình phương
Phương trình nghiệm nguyên · đồng hồ làm hai vế khác vạch · hai vế bằng nhau thì phải cùng vạch · cùng vạch chưa chứng minh có nghiệm; khác vạch mới chứng minh vô nghiệm
Gặp nhau, chia đều · bội chung nhỏ nhất, ước chung lớn nhất · hai chu kì cùng bắt đầu gặp lại ở bội chung · nếu lệch pha lúc đầu thì còn cần độ lệch chia hết cho ước chung lớn nhất
Vì sao thay số bằng vạch không làm mất kết luận
Hai số cùng vạch trên đồng hồ m nghĩa là hiệu của chúng chia hết cho m. Nếu a a' và b b' (mod m) thì (a + b) - (a' + b') = (a - a') + (b - b') chia hết cho m, và ab - a'b' = a(b - b') + b'(a - a') cũng chia hết cho m. Vì vậy cộng, trừ, nhân và lũy thừa đều tính được trên vạch; phép chia thì không (12 0 (mod 12) nhưng chia cho 4 ra 3 0).
Chữ số tận cùng của 7 2027 là gì, nếu không được dùng máy tính?
Gợi ý 1 · Chọn đồng hồ
Chữ số tận cùng là vạch trên đồng hồ 10. Liệt kê 7 1 , 7 2 , 7 3 , 7 4 trên đồng hồ ấy: 7, 9, 3, 1, rồi 7 5 lại ra 7.
Gợi ý 2 · Chu kì
Dãy 7, 9, 3, 1 lặp mỗi 4 số mũ. Số mũ 2027 chia 4 dư 3 (2027 = 4 x 506 + 3).
Kết luận
Vị trí thứ 3 trong chu kì là 3, nên 7 2027 tận cùng bằng 3. Quy tắc: số mũ chia cho chu kì dư r (r khác 0) thì lấy số hạng thứ r; dư 0 thì lấy số hạng cuối của chu kì.
02
Quay vòng
Chữ số tận cùng và chu kì của lũy thừa
Lab này vẽ đường đi của 1, a, a 2 , a 3 , ... trên đồng hồ m số: mỗi mũi tên là một lần nhân với a. Ba thanh trượt chọn đồng hồ, cơ số và số mũ. Màu xanh lá là các vạch trong chu kì, màu xanh dương là các vạch chỉ đi qua một lần ở đầu dãy (tiền chu kì), viền vàng là vạch của a k . Thử ba việc: để m = 10, a = 7 thấy chu kì 4 và hiểu vì sao tận cùng của lũy thừa chỉ cần số mũ chia 4; đặt m = 12, a = 2 để thấy dãy 1, 2, 4, 8, 4, 8, ... có tiền chu kì hai số hạng; đặt m = 7, a = 3 để thấy một chu kì đi hết mọi vạch khác 0.
Phòng thí nghiệm 1 · Đồng hồ và chu kì của lũy thừa LAB 1
Số vạch của đồng hồ (m)
Cơ số a
Số mũ k
Đồng hồ và cơ số
Dãy a j mod m
Tiền chu kì / chu kì
a k mod m
Ước chung của a và m
Chu kì so với số vạch nguyên tố cùng m
Bảng chu kì của chữ số tận cùng
Chữ số a · Chữ số tận cùng của a 1 , a 2 , a 3 , ... · Chu kì
0, 1, 5, 6 · giữ nguyên chữ số đó · 1
4 · 4, 6, 4, 6, ... · 2
9 · 9, 1, 9, 1, ... · 2
2 · 2, 4, 8, 6, 2, ... · 4
3 · 3, 9, 7, 1, 3, ... · 4
7 · 7, 9, 3, 1, 7, ... · 4
8 · 8, 4, 2, 6, 8, ... · 4
Cách đọc số mũ: với chu kì p, số mũ k chia p dư r. Nếu r khác 0 thì a k trùng a r ; nếu r = 0 thì a k trùng a p (số hạng cuối của chu kì). Với chữ số tận cùng chỉ cần nhớ chu kì 4 cho mọi chữ số, vì 1, 2 và 4 đều chia hết 4.
Vì sao dãy phải quay vòng
Đồng hồ m số chỉ có m vạch, mỗi vạch chỉ có một vạch kế tiếp (nhân với a), nên sau không quá m bước dãy gặp lại một vạch đã đi qua và từ đó lặp mãi. Khi a và m nguyên tố cùng nhau, phép nhân với a có phép ngược nên dãy lặp ngay từ 1 và chu kì chia hết số vạch nguyên tố cùng nhau với m (định lí Euler). Kéo m = 10 và a = 3 để thấy chu kì 4 chia hết 4; m = 7 và a = 3 chu kì 6 chia hết 6.
Khi a và m có ước chung
Mũi tên đầu tiên (từ vạch 1) không bao giờ quay lại vạch 1, nên dãy có phần đầu. Với m = 12, a = 2: 1, 2, 4, 8, 4, 8, ... chu kì là 4, 8 và hai số hạng đầu 1, 2 không lặp. Dùng "số mũ chia chu kì" cho các số mũ nhỏ hơn độ dài phần đầu là sai.
03
Chia hết
Dấu hiệu chia hết là bảng trọng số
Dấu hiệu chia hết không phải mẹo rời rạc: mỗi chữ số ở hàng 10 i đóng góp chữ số x 10 i , và trên đồng hồ m số thì 10 i chỉ là một trọng số nhỏ. Chọn số chia ở dãy nút, kéo n: bảng dưới thanh trượt cho thấy chữ số, trọng số của vị trí và tích, rồi so vạch của tổng có trọng số với vạch thật của n. Hai vạch luôn trùng nhau, và vạch 0 nghĩa là chia hết. Với 3 và 9 mọi trọng số bằng 1 (nên chỉ cộng chữ số); với 11 trọng số xen kẽ 1 và -1; với 4, 8 trọng số về 0 sau hai hay ba hàng nên chỉ còn các chữ số cuối; với 7 và 13 trọng số lặp theo chu kì 6 nên không có dấu hiệu gọn.
Phòng thí nghiệm 2 · Dấu hiệu chia hết là bảng trọng số LAB 2
Số n (sáu chữ số)
Số chia
Trọng số của các vị trí
Tổng chữ số x trọng số
Vạch của tổng
Phần dư thật của n
Kết luận
Bảng trọng số của chín số chia
Số chia · Trọng số từ hàng đơn vị lên · Dấu hiệu rút ra
2 · 1, 0, 0, ... · chữ số cuối chẵn
3 · 1, 1, 1, ... · tổng các chữ số chia hết cho 3
4 · 1, 2, 0, ... · chữ số hàng đơn vị cộng 2 lần chữ số hàng chục chia hết cho 4 (tức hai chữ số cuối)
5 · 1, 0, 0, ... · chữ số cuối là 0 hoặc 5
7 · 1, 3, 2, -1, -3, -2, ... · tổng có trọng số chia hết cho 7; hoặc ghép nhóm ba chữ số
8 · 1, 2, 4, 0, ... · chữ số hàng đơn vị + 2 x hàng chục + 4 x hàng trăm chia hết cho 8 (tức ba chữ số cuối)
9 · 1, 1, 1, ... · tổng các chữ số chia hết cho 9
11 · 1, -1, 1, -1, ... · tổng chữ số hàng lẻ trừ tổng chữ số hàng chẵn chia hết cho 11
13 · 1, -3, -4, -1, 3, 4, ... · tổng có trọng số chia hết cho 13; hoặc ghép nhóm ba chữ số
Dấu hiệu chung cho 7, 11, 13: vì 1001 = 7 x 11 x 13 nên 1000 -1 (mod 7), (mod 11) và (mod 13). Chia n thành các nhóm ba chữ số từ phải sang trái, cộng trừ xen kẽ (nhóm đầu mang dấu cộng): kết quả cùng vạch với n trên cả ba đồng hồ. Ví dụ 735294: 294 - 735 = -441 = -7 x 63, chia hết cho 7, nên 735294 chia hết cho 7.
Vì sao tổng chữ số cho phần dư khi chia 9
10 1 (mod 9) nên 10 i 1 với mọi i, và n = d 0 + 10 d 1 + 100 d 2 + ... d 0 + d 1 + d 2 + ... (mod 9). Tổng chữ số không chỉ cho biết chia hết hay không: nó nằm đúng vạch của n trên đồng hồ 9 (và đồng hồ 3), tức cho cả phần dư.
Ghép đồng hồ chỉ khi nguyên tố cùng nhau
Chia hết cho 12 = chia hết cho 3 và cho 4 (hai số nguyên tố cùng nhau). Nhưng chia hết cho 6 và cho 4 chưa đủ để chia hết cho 24: 12 chia hết cho cả 6 và 4 mà không chia hết cho 24. Hai số chung ước 2 thì hai điều kiện chồng lên nhau.
Số 6x24 (x là một chữ số) chia hết cho 36 khi x bằng bao nhiêu?
Gợi ý 1 · Tách 36
36 = 4 x 9 với 4 và 9 nguyên tố cùng nhau, nên cần chia hết cho cả 4 lẫn 9.
Gợi ý 2 · Hai dấu hiệu
Hai chữ số cuối 24 chia hết cho 4: thỏa mãn mọi x. Tổng chữ số 6 + x + 2 + 4 = 12 + x phải chia hết cho 9.
Kết luận
12 + x bằng 18 khi x = 6 (x = 15 không phải chữ số). Vậy số đó là 6624 = 36 x 184.
04
Bộ lọc
Bình phương, lập phương và tập vạch khả dĩ
Bình phương, lập phương và lũy thừa bốn chỉ rơi vào một vài vạch của đồng hồ, vì x ở vạch r thì x 2 ở vạch r 2 (rút gọn), và chỉ có m giá trị x cần thử. Chọn lũy thừa, kéo số vạch m và số N: các ô xanh là vạch hợp lệ, ô đỏ là vạch cấm, viền vàng là vạch của N. Nếu N rơi vào ô đỏ thì N chắc chắn không phải lũy thừa đó. Biểu đồ cột phía dưới so sánh tỉ lệ vạch còn lại của mọi đồng hồ từ 2 đến 16 (cột thấp là bộ lọc mạnh); cột xanh lá là đồng hồ lọc mạnh nhất.
Phòng thí nghiệm 3 · Bộ lọc phần dư cho lũy thừa LAB 3
Số vạch của đồng hồ (m)
Số cần kiểm N
Vạch hợp lệ
Số vạch còn lại
N nằm ở vạch
Kết luận về N
Số bị loại trong 1 đến 9999
Số thật trong 1 đến 9999
Bình phương trên sáu đồng hồ hay dùng
Đồng hồ · Vạch của bình phương · Số vạch · Tỉ lệ
3 · {0, 1} · 2 trên 3 · 66,7%
4 · {0, 1} · 2 trên 4 · 50,0%
5 · {0, 1, 4} · 3 trên 5 · 60,0%
8 · {0, 1, 4} · 3 trên 8 · 37,5%
10 · {0, 1, 4, 5, 6, 9} · 6 trên 10 · 60,0%
16 · {0, 1, 4, 9} · 4 trên 16 · 25,0%
Qua lọc chưa phải là chứng minh: số 17 ở vạch 1 trên đồng hồ 4 và vạch 1 trên đồng hồ 8 nhưng không phải bình phương. Bộ lọc chỉ loại, không xác nhận; muốn xác nhận phải tìm căn hoặc dùng nhiều đồng hồ rồi kiểm tra trực tiếp.
Vì sao đồng hồ 16 và đồng hồ 8 lọc mạnh
Nếu x chẵn thì x 2 chia hết cho 4 (và với x = 2y, x 2 = 4y 2 ở vạch 0 hoặc 4 trên đồng hồ 8); nếu x lẻ thì x 2 1 (mod 8). Bình phương lẻ luôn ở vạch 1 trên đồng hồ 8, nên chỉ có ba vạch 0, 1, 4. Trên đồng hồ 16 chỉ còn bốn vạch 0, 1, 4, 9 trên 16.
Chọn đồng hồ nhỏ hay lớn
Đồng hồ nguyên tố nhỏ lọc ít (đồng hồ 2 giữ lại cả hai vạch, đồng hồ 3 giữ lại 2 trên 3), đồng hồ quá lớn khó tính tay. Với bình phương thì 4, 8, 16 và đồng hồ tận cùng (10) cho nhiều thông tin nhất trong ít phép tính; với lập phương thì đồng hồ 9 (vạch 0, 1, 8).
Số gồm toàn chữ số 1 (từ hai chữ số trở lên), như 11 hoặc 11111, có thể là số chính phương không?
Gợi ý 1 · Hai chữ số cuối
Mọi số như vậy kết thúc bằng 11. Số chia cho 4 dư cùng phần dư với số tạo bởi hai chữ số cuối của nó (vì 100 chia hết cho 4).
Gợi ý 2 · Vạch
11 chia 4 dư 3, tức vạch 3 trên đồng hồ 4. Bình phương chỉ ở vạch 0 hoặc 1.
Kết luận
Không có số nào gồm toàn chữ số 1 (từ hai chữ số trở lên) là số chính phương: vạch 3 là vạch cấm của bình phương trên đồng hồ 4.
05
Lập luận
Vô nghiệm, chia trường hợp, số liên tiếp, gặp nhau
Ba kĩ thuật đã dựng ở các lab (quay vòng, trọng số, bộ lọc) ghép thành bốn mẫu lập luận thường gặp trong đề. Mẫu quan trọng nhất là chứng minh vô nghiệm: không tìm nghiệm mà chỉ ra rằng hai vế không thể cùng vạch. Hình dưới là hai ví dụ: hai đèn gặp nhau sau bội chung nhỏ nhất, và vì sao tổng hai bình phương không có dạng 4k + 3.
Trái: hai chu kì 12 và 18 gặp nhau sau bội chung nhỏ nhất 36. Phải: vì bình phương chỉ ở vạch 0 hoặc 1 trên đồng hồ 4 số, tổng hai bình phương không bao giờ ở vạch 3, tức không có số dạng 4k + 3 nào là tổng hai bình phương.
Bốn mẫu lập luận
Mẫu · Chọn đồng hồ · Ví dụ · Giới hạn
Vô nghiệm bằng tập vạch rời nhau · chọn đồng hồ sao cho hai vế rơi vào hai nhóm vạch khác nhau · x 2 + y 2 = 4k + 3: vế trái chỉ ở vạch 0, 1, 2 trên đồng hồ 4, vế phải ở vạch 3 · chỉ chứng minh vô nghiệm, không bao giờ chứng minh có nghiệm
Chia trường hợp theo vạch · đồng hồ nhỏ (2, 3, 4), xét n ở từng vạch · n(n + 1)(2n + 1) chia hết cho 6: xét n theo vạch trên đồng hồ 2 rồi đồng hồ 3 · phải liệt kê đủ cả m vạch, không bỏ vạch nào